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4. 下面是小华同学的数学小论文,请认真阅读,并完成下面的任务.
解方程:$x(x+4)=6$.
解:原方程可变形,
得$[(x+2)-2][(x+2)+2]=6$,
$(x+2)^{2}-2^{2}=6$,
$(x+2)^{2}=6+2^{2}$,
$(x+2)^{2}=10$,
直接开平方并整理,得 $x_{1}=-2+\sqrt{10}$,$x_{2}=$$-2-\sqrt{10}$.
我们称这种解法为“平均数法”.
任务:
(1)用“平均数法”解方程$(x+2)(x+6)=5$的两个解分别是$x_{1}=$
(2)请用“平均数法”解方程:
①$(50-2x)(40-2x)=936$;
②$(200+x)(64-\dfrac{x}{10})=14\ 400$.
解方程:$x(x+4)=6$.
解:原方程可变形,
得$[(x+2)-2][(x+2)+2]=6$,
$(x+2)^{2}-2^{2}=6$,
$(x+2)^{2}=6+2^{2}$,
$(x+2)^{2}=10$,
直接开平方并整理,得 $x_{1}=-2+\sqrt{10}$,$x_{2}=$$-2-\sqrt{10}$.
我们称这种解法为“平均数法”.
任务:
(1)用“平均数法”解方程$(x+2)(x+6)=5$的两个解分别是$x_{1}=$
-1
,$x_{2}=$-7
;(2)请用“平均数法”解方程:
①$(50-2x)(40-2x)=936$;
②$(200+x)(64-\dfrac{x}{10})=14\ 400$.
答案
(1)-1 -7 解析: 原方程可变形为 $[(x+4)-2][(x+4)+2]=5$,$\therefore (x+4)^2-2^2=5$,$\therefore (x+4)^2=5+2^2$,$\therefore x+4=\pm3$,$\therefore x_1=-1,x_2=-7$.
(2)①原方程可变形为 $(2x-50)(2x-40)=936$,$\therefore [(2x-45)-5][(2x-45)+5]=936$,$\therefore (2x-45)^2-25=936$,$\therefore (2x-45)^2=961$,$\therefore 2x-45=31$ 或 $2x-45=-31$,解得 $x_1=38,x_2=7$.
②原方程可变形为 $(x+200)(x-640)=-144\ 000$,$\therefore [(x-220)+420][(x-220)-420]=-144\ 000$,$\therefore (x-220)^2-420^2=-144\ 000$,$\therefore (x-220)^2=32\ 400$,$\therefore x-220=180$ 或 $x-220=-180$,解得 $x_1=400,x_2=40$.
(2)①原方程可变形为 $(2x-50)(2x-40)=936$,$\therefore [(2x-45)-5][(2x-45)+5]=936$,$\therefore (2x-45)^2-25=936$,$\therefore (2x-45)^2=961$,$\therefore 2x-45=31$ 或 $2x-45=-31$,解得 $x_1=38,x_2=7$.
②原方程可变形为 $(x+200)(x-640)=-144\ 000$,$\therefore [(x-220)+420][(x-220)-420]=-144\ 000$,$\therefore (x-220)^2-420^2=-144\ 000$,$\therefore (x-220)^2=32\ 400$,$\therefore x-220=180$ 或 $x-220=-180$,解得 $x_1=400,x_2=40$.
解析
【分析】
本题是新定义“平均数法”解一元二次方程，核心思路是：对于形如$(a)(b)=c$的方程，先找到两个因式$a$和$b$的平均数$m=\frac{a+b}{2}$，再将$a$表示为$m+d$，$b$表示为$m-d$（$d$为两个因式与平均数的差），利用平方差公式展开后转化为$m^2 - d^2 = c$，进而得到$m^2 = c + d^2$，通过直接开平方求解$m$，最终得到方程的解。解题时需准确找到两个因式的平均数，注意符号处理，灵活运用平方差公式简化计算。
【解析】
(1) 解方程$(x+2)(x+6)=5$
原方程中两个因式为$x+2$和$x+6$，它们的平均数为$\frac{(x+2)+(x+6)}{2}=x+4$，差为$(x+4)-(x+2)=2$，因此原方程可变形为：
$[(x+4)-2][(x+4)+2]=5$
利用平方差公式展开得：
$(x+4)^2 - 2^2 =5$
整理得：
$(x+4)^2=5+4=9$
直接开平方得：
$x+4=\pm3$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-7$
(2) 用“平均数法”解方程
① $(50-2x)(40-2x)=936$
原方程中两个因式为$50-2x$和$40-2x$，它们的平均数为$\frac{(50-2x)+(40-2x)}{2}=45-2x$，差为$(45-2x)-(40-2x)=5$，因此原方程可变形为：
$[(45-2x)+5][(45-2x)-5]=936$
利用平方差公式展开得：
$(45-2x)^2 -5^2=936$
整理得：
$(45-2x)^2=936+25=961$
直接开平方得：
$45-2x=\pm31$
当$45-2x=31$时，解得$x=7$；当$45-2x=-31$时，解得$x=38$，因此$x_1=38$，$x_2=7$
② $(200+x)(64-\frac{x}{10})=14400$
先将原方程变形：两边同乘10得$(200+x)(640 -x)=144000$，移项得$(200+x)(x-640)=-144000$，此时两个因式为$200+x$和$x-640$，它们的平均数为$\frac{(200+x)+(x-640)}{2}=x-220$，差为$(200+x)-(x-220)=420$，因此原方程可变形为：
$[(x-220)+420][(x-220)-420]=-144000$
利用平方差公式展开得：
$(x-220)^2 -420^2=-144000$
计算得：$420^2=176400$，整理得：
$(x-220)^2=176400 -144000=32400$
直接开平方得：
$x-220=\pm180$
当$x-220=180$时，解得$x=400$；当$x-220=-180$时，解得$x=40$，因此$x_1=400$，$x_2=40$
【答案】
(1) $-1$；$-7$
(2) ① $x_1=38$，$x_2=7$；② $x_1=400$，$x_2=40$
【知识点】
一元二次方程解法、平方差公式
【点评】
本题以新定义“平均数法”为载体，考查一元二次方程的解法，核心是利用平方差公式将复杂的一元二次方程转化为完全平方形式，简化计算。解题关键在于准确找到两个因式的平均数，灵活运用平方差公式，注意符号的处理，能有效提升对一元二次方程解法的灵活应用能力。
【难度系数】
0.5
本题是新定义“平均数法”解一元二次方程，核心思路是：对于形如$(a)(b)=c$的方程，先找到两个因式$a$和$b$的平均数$m=\frac{a+b}{2}$，再将$a$表示为$m+d$，$b$表示为$m-d$（$d$为两个因式与平均数的差），利用平方差公式展开后转化为$m^2 - d^2 = c$，进而得到$m^2 = c + d^2$，通过直接开平方求解$m$，最终得到方程的解。解题时需准确找到两个因式的平均数，注意符号处理，灵活运用平方差公式简化计算。
【解析】
(1) 解方程$(x+2)(x+6)=5$
原方程中两个因式为$x+2$和$x+6$，它们的平均数为$\frac{(x+2)+(x+6)}{2}=x+4$，差为$(x+4)-(x+2)=2$，因此原方程可变形为：
$[(x+4)-2][(x+4)+2]=5$
利用平方差公式展开得：
$(x+4)^2 - 2^2 =5$
整理得：
$(x+4)^2=5+4=9$
直接开平方得：
$x+4=\pm3$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-7$
(2) 用“平均数法”解方程
① $(50-2x)(40-2x)=936$
原方程中两个因式为$50-2x$和$40-2x$，它们的平均数为$\frac{(50-2x)+(40-2x)}{2}=45-2x$，差为$(45-2x)-(40-2x)=5$，因此原方程可变形为：
$[(45-2x)+5][(45-2x)-5]=936$
利用平方差公式展开得：
$(45-2x)^2 -5^2=936$
整理得：
$(45-2x)^2=936+25=961$
直接开平方得：
$45-2x=\pm31$
当$45-2x=31$时，解得$x=7$；当$45-2x=-31$时，解得$x=38$，因此$x_1=38$，$x_2=7$
② $(200+x)(64-\frac{x}{10})=14400$
先将原方程变形：两边同乘10得$(200+x)(640 -x)=144000$，移项得$(200+x)(x-640)=-144000$，此时两个因式为$200+x$和$x-640$，它们的平均数为$\frac{(200+x)+(x-640)}{2}=x-220$，差为$(200+x)-(x-220)=420$，因此原方程可变形为：
$[(x-220)+420][(x-220)-420]=-144000$
利用平方差公式展开得：
$(x-220)^2 -420^2=-144000$
计算得：$420^2=176400$，整理得：
$(x-220)^2=176400 -144000=32400$
直接开平方得：
$x-220=\pm180$
当$x-220=180$时，解得$x=400$；当$x-220=-180$时，解得$x=40$，因此$x_1=400$，$x_2=40$
【答案】
(1) $-1$；$-7$
(2) ① $x_1=38$，$x_2=7$；② $x_1=400$，$x_2=40$
【知识点】
一元二次方程解法、平方差公式
【点评】
本题以新定义“平均数法”为载体，考查一元二次方程的解法，核心是利用平方差公式将复杂的一元二次方程转化为完全平方形式，简化计算。解题关键在于准确找到两个因式的平均数，灵活运用平方差公式，注意符号的处理，能有效提升对一元二次方程解法的灵活应用能力。
【难度系数】
0.5
5. 新趋势 项目式学习 (2025·厦门月考)阅读材料,完成任务.
我国古代三国时期的数学家赵爽曾给出一元二次方程的几何解法,其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程 $x^{2}+5x-14=0$, 即 $x(x+$$5)=14$ 的方法.首先构造了如图①所示的图形,图中的大正方形面积是 $(x+x+5)^{2}$,其中四个全等的小矩形面积分别为 $x(x+5)=14$,中间的小正方形面积为$5^{2}$,所以大正方形的面积又可表示为 $4×14+5^{2}$,据此易得原方程的正数解为 $x=2$.
任务:
(1)参照上述图解一元二次方程的方法,下面三个构图中能够说明方程 $x^{2}-3x-10=0$ 解法的正确构图是
(2)请你通过上述问题的学习,在图②的网格中设计正确的构图,用几何法求方程 $x^{2}+2x-$$15=0$ 的正数解(写出必要的思考过程,图②中的网格不要求全部使用);
(3)一般地,对于形如 $x^{2}+ax=b$ 的一元二次方程可以构造图③来解,已知图③由4个相同矩形构成,这4个矩形的总面积为20,中间围成的正方形边长为$\sqrt{5}$,那么 $a=$
我国古代三国时期的数学家赵爽曾给出一元二次方程的几何解法,其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程 $x^{2}+5x-14=0$, 即 $x(x+$$5)=14$ 的方法.首先构造了如图①所示的图形,图中的大正方形面积是 $(x+x+5)^{2}$,其中四个全等的小矩形面积分别为 $x(x+5)=14$,中间的小正方形面积为$5^{2}$,所以大正方形的面积又可表示为 $4×14+5^{2}$,据此易得原方程的正数解为 $x=2$.
任务:
(1)参照上述图解一元二次方程的方法,下面三个构图中能够说明方程 $x^{2}-3x-10=0$ 解法的正确构图是
乙
;(2)请你通过上述问题的学习,在图②的网格中设计正确的构图,用几何法求方程 $x^{2}+2x-$$15=0$ 的正数解(写出必要的思考过程,图②中的网格不要求全部使用);
(3)一般地,对于形如 $x^{2}+ax=b$ 的一元二次方程可以构造图③来解,已知图③由4个相同矩形构成,这4个矩形的总面积为20,中间围成的正方形边长为$\sqrt{5}$,那么 $a=$
√5
,$b=$5
.答案
(1)乙 解析:$\because$ 应构造面积是 $(x+x-3)^2$ 的大正方形,其中四个全等的小矩形面积分别为 $x(x-3)=10$,中间的小正方形面积为 $3^2$,$\therefore$ 大正方形的面积又可表示为 $4×10+3^2=49$,$\therefore$ 大正方形的边长为 7,$\therefore x+x-3=7$,$\therefore x=5$,$\therefore$ 解法的正确构图是乙.
(2)如图①所示(合理即可).思考过程:图中的大正方形面积是 $(x+x+2)^2$,其中四个全等的小矩形面积分别为 $x(x+2)=15$,中间的小正方形面积为 $2^2$,$\therefore$ 大正方形的面积又可表示为 $4×15+2^2=64$,$\therefore$ 大正方形的边长为 8,$\therefore x+x+2=8$,解得 $x=3$,$\therefore$ 方程 $x^2+2x-15=0$ 的正数解是 $x=3$.
(3)$\sqrt{5}$ 5 解析: 如图②,$\because x^2+ax=b$,$\therefore x(x+a)=b$.$\because 4$ 个矩形的总面积为 20,$\therefore 4x(x+a)=20$,$\therefore 4b=20$,解得 $b=5$.
$\because$ 中间围成的正方形边长为 $\sqrt{5}$,$\therefore a=\sqrt{5}$.
解析
【分析】
本题利用赵爽的几何法解一元二次方程，核心是将一元二次方程转化为矩形面积形式，通过构造大正方形，利用大正方形面积等于4个矩形面积加中间小正方形面积的关系，建立代数方程求解。对于形如$x^2+ax=b$的方程，先变形为$x(x+a)=b$，构造边长为$2x+a$的大正方形，其面积为$(2x+a)^2=4b+a^2$，进而求解正数解；对于含负系数的方程，如$x^2-3x-10=0$，变形为$x(x-3)=10$，中间小正方形边长为3，大正方形边长为$2x-3$，同样利用面积关系求解。
【解析】
(1) 方程$x^2-3x-10=0$变形为$x(x-3)=10$，根据几何解法，构造的大正方形边长为$2x-3$，其面积等于4个矩形面积（每个为10）加中间小正方形面积（$3^2$），即：
$(2x-3)^2 = 4×10 + 3^2 = 49$
大正方形边长为7，故$2x-3=7$，解得$x=5$，因此正确构图为乙。
(2) 方程$x^2+2x-15=0$变形为$x(x+2)=15$，构造大正方形，边长为$2x+2$，面积为：
$(2x+2)^2 = 4×15 + 2^2 = 64$
大正方形边长为8，故$2x+2=8$，解得$x=3$，即方程的正数解为$x=3$。
(3) 对于方程$x^2+ax=b$，4个矩形总面积为20，每个矩形面积为$b$，故$4b=20$，解得$b=5$；中间围成的正方形边长为$\sqrt{5}$，对应$a=\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 乙
(2) $x=3$
(3) $\sqrt{5}$；$5$
【知识点】
一元二次方程的几何解法、整式运算、正方形面积计算
【点评】
本题结合古代数学成就，将代数问题转化为几何图形面积关系求解，体现了数形结合的数学思想，需要理解构造图形的边长与方程系数的对应关系，难度适中，能考查学生的转化能力和几何直观。
【难度系数】
0.5
本题利用赵爽的几何法解一元二次方程，核心是将一元二次方程转化为矩形面积形式，通过构造大正方形，利用大正方形面积等于4个矩形面积加中间小正方形面积的关系，建立代数方程求解。对于形如$x^2+ax=b$的方程，先变形为$x(x+a)=b$，构造边长为$2x+a$的大正方形，其面积为$(2x+a)^2=4b+a^2$，进而求解正数解；对于含负系数的方程，如$x^2-3x-10=0$，变形为$x(x-3)=10$，中间小正方形边长为3，大正方形边长为$2x-3$，同样利用面积关系求解。
【解析】
(1) 方程$x^2-3x-10=0$变形为$x(x-3)=10$，根据几何解法，构造的大正方形边长为$2x-3$，其面积等于4个矩形面积（每个为10）加中间小正方形面积（$3^2$），即：
$(2x-3)^2 = 4×10 + 3^2 = 49$
大正方形边长为7，故$2x-3=7$，解得$x=5$，因此正确构图为乙。
(2) 方程$x^2+2x-15=0$变形为$x(x+2)=15$，构造大正方形，边长为$2x+2$，面积为：
$(2x+2)^2 = 4×15 + 2^2 = 64$
大正方形边长为8，故$2x+2=8$，解得$x=3$，即方程的正数解为$x=3$。
(3) 对于方程$x^2+ax=b$，4个矩形总面积为20，每个矩形面积为$b$，故$4b=20$，解得$b=5$；中间围成的正方形边长为$\sqrt{5}$，对应$a=\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 乙
(2) $x=3$
(3) $\sqrt{5}$；$5$
【知识点】
一元二次方程的几何解法、整式运算、正方形面积计算
【点评】
本题结合古代数学成就，将代数问题转化为几何图形面积关系求解，体现了数形结合的数学思想，需要理解构造图形的边长与方程系数的对应关系，难度适中，能考查学生的转化能力和几何直观。
【难度系数】
0.5
