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9.下列说法：
(1)一个等边三角形一定不是钝角三角形；
(2)一个钝角三角形一定不是等腰三角形；
(3)一个等腰三角形一定不是锐角三角形；
(4)一个直角三角形一定不是等腰三角形.
其中正确的有 （
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
(1)一个等边三角形一定不是钝角三角形；
(2)一个钝角三角形一定不是等腰三角形；
(3)一个等腰三角形一定不是锐角三角形；
(4)一个直角三角形一定不是等腰三角形.
其中正确的有 （
A
）A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案
9.A
解析
【分析】
要判断这4个说法是否正确，我们结合不同类型三角形的定义和特征逐个验证即可：先回忆等边三角形、钝角三角形、等腰三角形、直角三角形的角的特点，对每个说法要么直接证明正确，要么举反例说明错误。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
(1) 等边三角形的三个内角都是60°，三个角均为锐角，因此一定不是钝角三角形，该说法正确；
(2) 举反例：若三角形三个角为120°、30°、30°，它既是钝角三角形，也是等腰三角形，因此“钝角三角形一定不是等腰三角形”的说法错误；
(3) 举反例：若三角形三个角为80°、50°、50°，它既是等腰三角形，也是锐角三角形，因此该说法错误；
(4) 举反例：等腰直角三角形的三个角为90°、45°、45°，它既是直角三角形，也是等腰三角形，因此该说法错误。
综上，只有1个说法正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的分类、等腰三角形的特征、等边三角形的特征
【点评】
本题主要考查不同类别三角形的定义和性质，解题关键是明确等腰三角形只对边（或底角）有相等的要求，和按角划分的三角形类型不存在互斥关系，通过举反例可以快速判断错误说法。
【难度系数】
0.7
要判断这4个说法是否正确，我们结合不同类型三角形的定义和特征逐个验证即可：先回忆等边三角形、钝角三角形、等腰三角形、直角三角形的角的特点，对每个说法要么直接证明正确，要么举反例说明错误。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
(1) 等边三角形的三个内角都是60°，三个角均为锐角，因此一定不是钝角三角形，该说法正确；
(2) 举反例：若三角形三个角为120°、30°、30°，它既是钝角三角形，也是等腰三角形，因此“钝角三角形一定不是等腰三角形”的说法错误；
(3) 举反例：若三角形三个角为80°、50°、50°，它既是等腰三角形，也是锐角三角形，因此该说法错误；
(4) 举反例：等腰直角三角形的三个角为90°、45°、45°，它既是直角三角形，也是等腰三角形，因此该说法错误。
综上，只有1个说法正确，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的分类、等腰三角形的特征、等边三角形的特征
【点评】
本题主要考查不同类别三角形的定义和性质，解题关键是明确等腰三角形只对边（或底角）有相等的要求，和按角划分的三角形类型不存在互斥关系，通过举反例可以快速判断错误说法。
【难度系数】
0.7
10.如图,图中以BC为边的三角形的个数为
（第10题图）
（第11题图）
4
.（第10题图）
（第11题图）
答案
10.4
解析
【分析】要找出以BC为边的三角形，首先明确三角形的构成特点：三角形有3个顶点，本题中已确定两个顶点为B、C，只需按从外到内的顺序寻找所有能和B、C构成三角形的第三个顶点即可，这样可以避免计数时出现遗漏或重复的问题。
【解析】根据三角形的定义，以BC为边的三角形的第三个顶点分别为A、E、F、D，对应的三角形依次为：
1. $△ ABC$
2. $△ EBC$
3. $△ FBC$
4. $△ DBC$
因此以BC为边的三角形总共有4个。
【答案】4
【知识点】三角形的定义；图形计数
【点评】本题是基础的图形计数题，解题核心是按照固定顺序枚举符合要求的三角形，就能有效规避漏数、多算的错误。
【难度系数】0.8
【解析】根据三角形的定义，以BC为边的三角形的第三个顶点分别为A、E、F、D，对应的三角形依次为：
1. $△ ABC$
2. $△ EBC$
3. $△ FBC$
4. $△ DBC$
因此以BC为边的三角形总共有4个。
【答案】4
【知识点】三角形的定义；图形计数
【点评】本题是基础的图形计数题，解题核心是按照固定顺序枚举符合要求的三角形，就能有效规避漏数、多算的错误。
【难度系数】0.8
11.如图,把手机放在一个支架上面,就可以非常方便地使用,这是因为手机支架利用了三角形的
稳定
性.答案
11.稳定
解析
【分析】
解题时先明确题目考查的是三角形实际应用的相关性质，首先回忆三角形区别于四边形等多边形的独有特性：三角形三边长度确定后，形状和大小就固定不变，不容易发生形变，也就是稳定性，生活中需要结构稳固的物品常利用这一特性。手机支架需要保持固定形态稳定承托手机，其支撑结构为三角形，由此可判断用到的是三角形的稳定性。
【解析】
三角形具有稳定性，即三角形的结构确定后不易发生形变，这是三角形独有的特性，四边形等多边形不具备该特性，容易发生变形。本题中的手机支架设计了三角形的支撑结构，正是利用三角形不易变形的特点，来稳定承托手机，因此此处应填“稳定”。
【答案】
稳定
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活中常见的手机支架考查三角形的基本性质，体现了数学知识在实际生活中的应用，有助于学生理解数学的实用性。
【难度系数】
0.9
解题时先明确题目考查的是三角形实际应用的相关性质，首先回忆三角形区别于四边形等多边形的独有特性：三角形三边长度确定后，形状和大小就固定不变，不容易发生形变，也就是稳定性，生活中需要结构稳固的物品常利用这一特性。手机支架需要保持固定形态稳定承托手机，其支撑结构为三角形，由此可判断用到的是三角形的稳定性。
【解析】
三角形具有稳定性，即三角形的结构确定后不易发生形变，这是三角形独有的特性，四边形等多边形不具备该特性，容易发生变形。本题中的手机支架设计了三角形的支撑结构，正是利用三角形不易变形的特点，来稳定承托手机，因此此处应填“稳定”。
【答案】
稳定
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活中常见的手机支架考查三角形的基本性质，体现了数学知识在实际生活中的应用，有助于学生理解数学的实用性。
【难度系数】
0.9
12.如图所示，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别为$BC$，$AD$的中点，且$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$，则阴影部分的面积为
（第12题图）
（第13题图）
1
$\mathrm{cm}^2$.（第12题图）
（第13题图）
答案
12.1
解析
【分析】
解题时可利用三角形中线的性质推导：三角形的中线会将三角形分成两个等底同高的三角形，二者面积相等。我们先通过D是BC中点的条件，求出△ABD的面积，再通过E是AD中点的条件，求出阴影部分△BED的面积。
【解析】
∵ 点D是BC的中点，
∴ AD是△ABC的中线，$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
又
∵ $S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$。
∵ 点E是AD的中点，
∴ BE是△ABD的中线，$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
1
【知识点】
三角形中线性质，等底同高三角形面积关系
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，解题时只需逐步利用中线的面积关系推导，即可快速得到结果，熟练掌握该性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时可利用三角形中线的性质推导：三角形的中线会将三角形分成两个等底同高的三角形，二者面积相等。我们先通过D是BC中点的条件，求出△ABD的面积，再通过E是AD中点的条件，求出阴影部分△BED的面积。
【解析】
∵ 点D是BC的中点，
∴ AD是△ABC的中线，$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
又
∵ $S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$。
∵ 点E是AD的中点，
∴ BE是△ABD的中线，$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ BED}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，
∴ $S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
1
【知识点】
三角形中线性质，等底同高三角形面积关系
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查三角形中线平分三角形面积的性质，解题时只需逐步利用中线的面积关系推导，即可快速得到结果，熟练掌握该性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
13.(原创题)学习了三角形的相关概念后,王老师出了一道题目考考同学们:如图,A,B,C,D,E是同一平面内的五个点(B,C,D三个点在同一条直线上),以其中任意三个点为顶点画三角形,则最多可以画
9
个三角形.答案
13.9
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确三角形的构成条件：不在同一直线上的三个点才能构成三角形。本题中已知B、C、D三点共线，这三个点无法构成三角形，其余任意三个点均不共线。我们可以通过分类枚举的方式计数，按是否包含点A、点E的规则分类，避免重复或遗漏，最终统计符合条件的三角形总数。
【解析】
我们按分类计数的方法逐步统计：
1. 统计包含点A的三角形：剩余2个顶点从B、C、D、E中任选，由于A不在B、C、D所在直线上，任意组合都可构成三角形，分别为△ABC、△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE，共6个。
2. 统计不含A但包含点E的三角形：剩余2个顶点从B、C、D中任选，E也不在B、C、D所在直线上，任意组合都可构成三角形，分别为△EBC、△EBD、△ECD，共3个。
3. 统计既不含A也不含E的三角形：仅剩B、C、D三个点，三点共线无法构成三角形，数量为0。
将三类数量相加：6+3=9（个）。
【答案】
9
【知识点】
三角形的定义；分类枚举计数；三点共线的性质
【点评】
本题侧重考查三角形构成的基础条件，解题的关键是先排除三点共线的无效情况，再通过有序分类的方法计数，能很好地锻炼学生的逻辑严谨性，避免出现多算、漏算的错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确三角形的构成条件：不在同一直线上的三个点才能构成三角形。本题中已知B、C、D三点共线，这三个点无法构成三角形，其余任意三个点均不共线。我们可以通过分类枚举的方式计数，按是否包含点A、点E的规则分类，避免重复或遗漏，最终统计符合条件的三角形总数。
【解析】
我们按分类计数的方法逐步统计：
1. 统计包含点A的三角形：剩余2个顶点从B、C、D、E中任选，由于A不在B、C、D所在直线上，任意组合都可构成三角形，分别为△ABC、△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE，共6个。
2. 统计不含A但包含点E的三角形：剩余2个顶点从B、C、D中任选，E也不在B、C、D所在直线上，任意组合都可构成三角形，分别为△EBC、△EBD、△ECD，共3个。
3. 统计既不含A也不含E的三角形：仅剩B、C、D三个点，三点共线无法构成三角形，数量为0。
将三类数量相加：6+3=9（个）。
【答案】
9
【知识点】
三角形的定义；分类枚举计数；三点共线的性质
【点评】
本题侧重考查三角形构成的基础条件，解题的关键是先排除三点共线的无效情况，再通过有序分类的方法计数，能很好地锻炼学生的逻辑严谨性，避免出现多算、漏算的错误。
【难度系数】
0.7
14.若3和9是一个三角形的两边长，且第三边长为偶数，求该三角形的周长。
答案
14.【解析】设第三边长为x,由题意得9−3＜x＜9+3，
即6＜x＜12.
∵x为偶数，
∴x=8或10，
∴三角形的周长为3+8+9=20或3+9+10=22，
综上所述，该三角形的周长为20或22.
即6＜x＜12.
∵x为偶数，
∴x=8或10，
∴三角形的周长为3+8+9=20或3+9+10=22，
综上所述，该三角形的周长为20或22.
解析
【分析】
解决本题首先要用到三角形的三边关系确定第三边的取值范围，具体思考步骤如下：第一步，回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为3和9，据此可列出关于第三边x的不等式，得到x的取值范围；第二步，结合题目给出的“第三边长为偶数”的限定条件，在得到的取值范围内筛选出符合要求的x的值；第三步，根据三角形周长等于三边之和，分别代入符合条件的x计算即可得到最终的周长。
【解析】
设第三边长为x，根据三角形三边关系可得：
9−3＜x＜9+3，
即6＜x＜12。
∵x为偶数，
∴x的取值为8或10，
当x=8时，三角形的周长为3+8+9=20；
当x=10时，三角形的周长为3+9+10=22。
【答案】
20或22
【知识点】
三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的应用，解题的关键是先根据三边关系确定第三边的取值范围，再结合限定条件筛选出符合要求的边长，解题时要注意不要漏解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要用到三角形的三边关系确定第三边的取值范围，具体思考步骤如下：第一步，回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，已知两边长为3和9，据此可列出关于第三边x的不等式，得到x的取值范围；第二步，结合题目给出的“第三边长为偶数”的限定条件，在得到的取值范围内筛选出符合要求的x的值；第三步，根据三角形周长等于三边之和，分别代入符合条件的x计算即可得到最终的周长。
【解析】
设第三边长为x，根据三角形三边关系可得：
9−3＜x＜9+3，
即6＜x＜12。
∵x为偶数，
∴x的取值为8或10，
当x=8时，三角形的周长为3+8+9=20；
当x=10时，三角形的周长为3+9+10=22。
【答案】
20或22
【知识点】
三角形三边关系；三角形周长计算
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的应用，解题的关键是先根据三边关系确定第三边的取值范围，再结合限定条件筛选出符合要求的边长，解题时要注意不要漏解。
【难度系数】
0.8
15.如图,在$△ ABC$中,AF是中线,AD是角平分线,AE是高.请完成以下填空:
(1)$BF=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}$
(2)$∠ BAD=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}$
(3)$∠ AEB=$
(4)$S_{△ ABC}=$
(1)$BF=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}$
BC
;(2)$∠ BAD=\_\_\_\_\_\_=\frac{1}{2}$
∠BAC
;(3)$∠ AEB=$
∠AEC
$=90°$;(4)$S_{△ ABC}=$
$\frac{1}{2} BC · AE$
.答案
15.【解析】(1)
∵AF是中线，
$\therefore BF=CF=\frac{1}{2}BC$.
(2)
∵AD是△ABC的角平分线，
$\therefore ∠BAD=∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC$.
(3)
∵AE是△ABC的高，
$\therefore ∠AEB=∠AEC=90°$.
(4)
∵AE是△ABC的高，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AE$.
∵AF是中线，
$\therefore BF=CF=\frac{1}{2}BC$.
(2)
∵AD是△ABC的角平分线，
$\therefore ∠BAD=∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC$.
(3)
∵AE是△ABC的高，
$\therefore ∠AEB=∠AEC=90°$.
(4)
∵AE是△ABC的高，
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AE$.
解析
【分析】
解题时结合三角形中线、角平分线、高的定义以及三角形面积公式逐一推导即可：
1. 第一问依据三角形中线的定义：中线连接顶点与对边中点，可将对边分为等长的两段，每段长度是对边总长的$\frac{1}{2}$；
2. 第二问依据三角形角平分线的定义：角平分线可将对应内角分为两个相等的角，每个角的大小是原内角的$\frac{1}{2}$；
3. 第三问依据三角形高的定义：高是顶点向对边作的垂线段，因此高与对边的夹角均为直角；
4. 第四问结合三角形面积公式：三角形面积=底×对应高÷2，选取BC为底，AE为BC边上的高代入公式即可。
【解析】
(1)
∵AF是$△ ABC$的中线，
∴F是BC的中点，
$\therefore BF=CF=\frac{1}{2}BC$.
(2)
∵AD是$△ ABC$的角平分线，
∴AD平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠BAD=∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC$.
(3)
∵AE是$△ ABC$的高，
∴$AE⊥ BC$，
$\therefore ∠AEB=∠AEC=90°$.
(4)
∵AE是BC边上的高，
∴根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AE$.
【答案】
(1)$CF$，$BC$；(2)$∠CAD$，$∠BAC$；(3)$∠AEC$；(4)$\frac{1}{2}BC·AE$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是基础概念考查题，核心考察三角形三类特殊线段的性质和面积公式，熟练掌握相关定义即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时结合三角形中线、角平分线、高的定义以及三角形面积公式逐一推导即可：
1. 第一问依据三角形中线的定义：中线连接顶点与对边中点，可将对边分为等长的两段，每段长度是对边总长的$\frac{1}{2}$；
2. 第二问依据三角形角平分线的定义：角平分线可将对应内角分为两个相等的角，每个角的大小是原内角的$\frac{1}{2}$；
3. 第三问依据三角形高的定义：高是顶点向对边作的垂线段，因此高与对边的夹角均为直角；
4. 第四问结合三角形面积公式：三角形面积=底×对应高÷2，选取BC为底，AE为BC边上的高代入公式即可。
【解析】
(1)
∵AF是$△ ABC$的中线，
∴F是BC的中点，
$\therefore BF=CF=\frac{1}{2}BC$.
(2)
∵AD是$△ ABC$的角平分线，
∴AD平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠BAD=∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC$.
(3)
∵AE是$△ ABC$的高，
∴$AE⊥ BC$，
$\therefore ∠AEB=∠AEC=90°$.
(4)
∵AE是BC边上的高，
∴根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC · AE$.
【答案】
(1)$CF$，$BC$；(2)$∠CAD$，$∠BAC$；(3)$∠AEC$；(4)$\frac{1}{2}BC·AE$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是基础概念考查题，核心考察三角形三类特殊线段的性质和面积公式，熟练掌握相关定义即可快速解答。
【难度系数】
0.9
16.如图,在$△ ABC$中,$BE$,$CF$分别是$AC$,$AB$边上的中线,若$AE=5$,$BF=6$,且$△ ABC$的周长为$32$,求$BC$的长.
答案
16.【解析】
∵△ABC的周长为32，
$\therefore AB+AC+BC=32$.
∵BE,CF分别是AC,AB边上的中线,AE=5,BF=6，
$\therefore AC=2AE=10,AB=2BF=12$，
$\therefore BC=32-10-12=10$.
∵△ABC的周长为32，
$\therefore AB+AC+BC=32$.
∵BE,CF分别是AC,AB边上的中线,AE=5,BF=6，
$\therefore AC=2AE=10,AB=2BF=12$，
$\therefore BC=32-10-12=10$.
解析
【分析】
要求BC的长度，已知△ABC的周长，只需先求出AB、AC的长度即可。首先根据三角形中线的定义，BE是AC边上的中线，说明E是AC的中点，因此AC的长度是AE的2倍；同理CF是AB边上的中线，说明F是AB的中点，因此AB的长度是BF的2倍。算出AB、AC的长度后，再用三角形周长减去AB与AC的长度和，就能得到BC的长。
【解析】
∵△ABC的周长为32，
$\therefore AB+AC+BC=32$。
∵BE，CF分别是AC，AB边上的中线，$AE=5$，$BF=6$，
$\therefore AC=2AE=2×5=10$，$AB=2BF=2×6=12$，
$\therefore BC=32-AB-AC=32-12-10=10$。
【答案】
10
【知识点】
三角形中线的定义；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查三角形中线的性质及周长公式的运用，解题思路清晰，计算难度低，只要熟练掌握相关概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
要求BC的长度，已知△ABC的周长，只需先求出AB、AC的长度即可。首先根据三角形中线的定义，BE是AC边上的中线，说明E是AC的中点，因此AC的长度是AE的2倍；同理CF是AB边上的中线，说明F是AB的中点，因此AB的长度是BF的2倍。算出AB、AC的长度后，再用三角形周长减去AB与AC的长度和，就能得到BC的长。
【解析】
∵△ABC的周长为32，
$\therefore AB+AC+BC=32$。
∵BE，CF分别是AC，AB边上的中线，$AE=5$，$BF=6$，
$\therefore AC=2AE=2×5=10$，$AB=2BF=2×6=12$，
$\therefore BC=32-AB-AC=32-12-10=10$。
【答案】
10
【知识点】
三角形中线的定义；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查三角形中线的性质及周长公式的运用，解题思路清晰，计算难度低，只要熟练掌握相关概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.85
