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1.三角形三个内角的和等于；一般证明思路是：通过作，将三角形的三个内角转化为一个。
答案
解：三角形三个内角的和等于$\boldsymbol{180°}$；一般证明思路是：通过作$\boldsymbol{平行线}$，将三角形的三个内角转化为一个$\boldsymbol{平角}$。
解析
【分析】
这道题考查三角形内角和定理及其证明思路。首先回忆三角形内角和的固定结论，再思考其证明逻辑：我们要把原本分散在三角形三个顶点的内角，转化为可以直接求和的角，结合已学的平行线性质，可通过作平行线，利用内错角相等把另外两个内角转移到同一个顶点处，此时三个内角刚好能拼成一个平角，平角度数是180°，由此就能证明三角形内角和的结论。
【解析】
根据三角形内角和定理，第一个空填$180°$；
证明三角形内角和时，常规操作是过三角形的任意一个顶点作其对边的平行线，利用平行线的内错角相等的性质，将另外两个内角平移到该顶点的一侧，此时三个内角恰好组成一个平角，因此第二个空填“平行线”，第三个空填“平角”。
【答案】
$180°$；平行线；平角
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题是三角形相关的基础概念题，侧重考查对基础定理内容和推导思路的理解，掌握定理的推导过程能帮助我们更灵活地运用定理解决后续的几何问题。
【难度系数】
0.9
这道题考查三角形内角和定理及其证明思路。首先回忆三角形内角和的固定结论，再思考其证明逻辑：我们要把原本分散在三角形三个顶点的内角，转化为可以直接求和的角，结合已学的平行线性质，可通过作平行线，利用内错角相等把另外两个内角转移到同一个顶点处，此时三个内角刚好能拼成一个平角，平角度数是180°，由此就能证明三角形内角和的结论。
【解析】
根据三角形内角和定理，第一个空填$180°$；
证明三角形内角和时，常规操作是过三角形的任意一个顶点作其对边的平行线，利用平行线的内错角相等的性质，将另外两个内角平移到该顶点的一侧，此时三个内角恰好组成一个平角，因此第二个空填“平行线”，第三个空填“平角”。
【答案】
$180°$；平行线；平角
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题是三角形相关的基础概念题，侧重考查对基础定理内容和推导思路的理解，掌握定理的推导过程能帮助我们更灵活地运用定理解决后续的几何问题。
【难度系数】
0.9
2.直角三角形的两个锐角；有两个角互余的三角形是三角形。
答案
解：
由三角形内角和定理可得，任意三角形的三个内角之和为$180°$。
直角三角形有一个内角为$90°$，因此剩余两个锐角的和为$180° - 90° = 90°$，即直角三角形的两个锐角互余。
若一个三角形有两个角互余，说明这两个角的和为$90°$，则第三个内角的度数为$180° - 90° = 90°$，因此有两个角互余的三角形是直角三角形。
答案依次为：互余；直角。
由三角形内角和定理可得，任意三角形的三个内角之和为$180°$。
直角三角形有一个内角为$90°$，因此剩余两个锐角的和为$180° - 90° = 90°$，即直角三角形的两个锐角互余。
若一个三角形有两个角互余，说明这两个角的和为$90°$，则第三个内角的度数为$180° - 90° = 90°$，因此有两个角互余的三角形是直角三角形。
答案依次为：互余；直角。
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理：任意三角形内角和为180°，再结合直角的定义、互余的定义逐步推导即可。第一步推导直角三角形两个锐角的关系：直角三角形有一个内角是90°，用内角和减去90°就能得到剩下两个锐角的和，从而判断二者关系；第二步推导有两个角互余的三角形的形状：两个角互余说明这两个角的和为90°，用内角和减去这个和得到第三个角的度数，即可判断三角形类型。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为$180°$。
1. 直角三角形有一个内角为$90°$，因此剩余两个锐角的和为$180° - 90° = 90°$，即直角三角形的两个锐角互余。
2. 若一个三角形有两个角互余，说明这两个角的和为$90°$，则第三个内角的度数为$180° - 90° = 90°$，因此有两个角互余的三角形是直角三角形。
【答案】
互余；直角
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形的性质与判定
【点评】
本题属于基础概念题，直接考查对三角形内角和、直角三角形性质和判定的掌握程度，熟记相关概念即可快速作答，是三角形章节的核心基础考点。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和定理：任意三角形内角和为180°，再结合直角的定义、互余的定义逐步推导即可。第一步推导直角三角形两个锐角的关系：直角三角形有一个内角是90°，用内角和减去90°就能得到剩下两个锐角的和，从而判断二者关系；第二步推导有两个角互余的三角形的形状：两个角互余说明这两个角的和为90°，用内角和减去这个和得到第三个角的度数，即可判断三角形类型。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为$180°$。
1. 直角三角形有一个内角为$90°$，因此剩余两个锐角的和为$180° - 90° = 90°$，即直角三角形的两个锐角互余。
2. 若一个三角形有两个角互余，说明这两个角的和为$90°$，则第三个内角的度数为$180° - 90° = 90°$，因此有两个角互余的三角形是直角三角形。
【答案】
互余；直角
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 直角三角形的性质与判定
【点评】
本题属于基础概念题，直接考查对三角形内角和、直角三角形性质和判定的掌握程度，熟记相关概念即可快速作答，是三角形章节的核心基础考点。
【难度系数】
0.9
3.①三角形的外角即三角形的一边与另一边的组成的角.
②三角形的外角等于与它的两个内角的和.
③三角形的外角大于与它不相邻的任何一个.
④三角形的三个外角的和是.
②三角形的外角等于与它的两个内角的和.
③三角形的外角大于与它不相邻的任何一个.
④三角形的三个外角的和是.
答案
解：
① 延长线
② 不相邻
③ 内角
④ $360°$
① 延长线
② 不相邻
③ 内角
④ $360°$
解析
【分析】
本题考查三角形外角的相关基础概念与性质，属于识记类题目，解题时只需回忆课本中关于三角形外角的定义、性质、外角和的固定结论，逐空对应填写即可。
【解析】
①根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，因此此处填“延长线”；
②根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此此处填“不相邻”；
③根据三角形外角的性质：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，因此此处填“内角”；
④根据三角形外角和定理：三角形的三个外角的和为固定值$360°$，因此此处填$360°$。
【答案】
①延长线；②不相邻；③内角；④$360°$
【知识点】
三角形外角的定义；三角形外角的性质；三角形外角和定理
【点评】
本题是对三角形外角相关基础内容的直接考察，难度较低，只要熟练掌握课本上的基础概念和性质就能准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形外角的相关基础概念与性质，属于识记类题目，解题时只需回忆课本中关于三角形外角的定义、性质、外角和的固定结论，逐空对应填写即可。
【解析】
①根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，因此此处填“延长线”；
②根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，因此此处填“不相邻”；
③根据三角形外角的性质：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，因此此处填“内角”；
④根据三角形外角和定理：三角形的三个外角的和为固定值$360°$，因此此处填$360°$。
【答案】
①延长线；②不相邻；③内角；④$360°$
【知识点】
三角形外角的定义；三角形外角的性质；三角形外角和定理
【点评】
本题是对三角形外角相关基础内容的直接考察，难度较低，只要熟练掌握课本上的基础概念和性质就能准确作答。
【难度系数】
0.9
【例1】 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=30°$，$∠ ACB=110°$，$AD$是$BC$边上的高线，$AE$平分$∠ BAC$，求$∠ DAE$的度数.
【解题指引】本题考查了三角形的内角和、角平分线和高等知识. 根据$∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE$可知，分别求出$∠ BAD$，$∠ BAE$即可解决问题.
【解析】$\because ∠ B=30°,∠ ACB=110°$,
$\therefore ∠ BAC=180°-30°-110°=40°$.
$\because AE$平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}× 40°=20°$.
$\because ∠ B=30°,AD$是$BC$边上高线,
$\therefore ∠ BAD=90°-30°=60°$,
$\therefore ∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE=60°-20°=40°.$
【解题指引】本题考查了三角形的内角和、角平分线和高等知识. 根据$∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE$可知，分别求出$∠ BAD$，$∠ BAE$即可解决问题.
【解析】$\because ∠ B=30°,∠ ACB=110°$,
$\therefore ∠ BAC=180°-30°-110°=40°$.
$\because AE$平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}× 40°=20°$.
$\because ∠ B=30°,AD$是$BC$边上高线,
$\therefore ∠ BAD=90°-30°=60°$,
$\therefore ∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE=60°-20°=40°.$
答案
解：
∵ 在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=110°，
∴ ∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-30°-110°=40°。
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
∵ AD是BC边上的高线，
∴ ∠D=90°，
在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴ ∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°。
∴ ∠DAE=∠BAD - ∠BAE=60°-20°=40°。
∵ 在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=110°，
∴ ∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-30°-110°=40°。
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
∵ AD是BC边上的高线，
∴ ∠D=90°，
在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴ ∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°。
∴ ∠DAE=∠BAD - ∠BAE=60°-20°=40°。
解析
【分析】
要求∠DAE的度数，首先观察角的和差关系可得$∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE$，因此只需分别求出$∠ BAD$和$∠ BAE$的度数即可。第一步先利用三角形内角和为$180°$，结合已知的$∠ B$和$∠ ACB$的度数，算出$∠ BAC$的度数；第二步根据角平分线的定义，由AE平分$∠ BAC$求出$∠ BAE$的度数；第三步根据高线的性质可知$△ ABD$是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出$∠ BAD$的度数；最后将两个角的度数相减就能得到$∠ DAE$的度数。
【解析】
∵ 在$△ ABC$中，$∠ B=30°$，$∠ ACB=110°$，
∴ $∠ BAC=180°-∠ B-∠ ACB=180°-30°-110°=40°$。
∵ AE平分$∠ BAC$，
∴ $∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×40°=20°$。
∵ AD是BC边上的高线，
∴ $∠ D=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ B=30°$，
∴ $∠ BAD=90°-∠ B=90°-30°=60°$。
∴ $∠ DAE=∠ BAD - ∠ BAE=60°-20°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题核心是梳理清楚所求角与已知角之间的和差关系，结合三角形相关性质逐步推导即可，解题时要注意区分各个角的对应关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
要求∠DAE的度数，首先观察角的和差关系可得$∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE$，因此只需分别求出$∠ BAD$和$∠ BAE$的度数即可。第一步先利用三角形内角和为$180°$，结合已知的$∠ B$和$∠ ACB$的度数，算出$∠ BAC$的度数；第二步根据角平分线的定义，由AE平分$∠ BAC$求出$∠ BAE$的度数；第三步根据高线的性质可知$△ ABD$是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出$∠ BAD$的度数；最后将两个角的度数相减就能得到$∠ DAE$的度数。
【解析】
∵ 在$△ ABC$中，$∠ B=30°$，$∠ ACB=110°$，
∴ $∠ BAC=180°-∠ B-∠ ACB=180°-30°-110°=40°$。
∵ AE平分$∠ BAC$，
∴ $∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×40°=20°$。
∵ AD是BC边上的高线，
∴ $∠ D=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ B=30°$，
∴ $∠ BAD=90°-∠ B=90°-30°=60°$。
∴ $∠ DAE=∠ BAD - ∠ BAE=60°-20°=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题核心是梳理清楚所求角与已知角之间的和差关系，结合三角形相关性质逐步推导即可，解题时要注意区分各个角的对应关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
【例2】 如图,点D在AB上,点E在AC上,BE,CD相交于点O.
(1)若∠A=55°,∠BOD=60°,∠C=35°,求∠B的度数;
(2)试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系,并证明你猜想的正确性.
【解题指引】本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理.(1)由三角形的外角性质可求得∠BDO=90°,再由三角形的内角和定理即可求解.
(2)由三角形的外角性质可得∠BEC=∠A+∠B,∠BOC=∠BEC+∠C,从而求解.
【解析】(1)∵∠A=55°,∠C=35°,
∴∠BDO=∠A+∠C=90°.
∵∠BOD=60°,
∴∠B=180°−∠BDO−∠BOD=30°.
(2)∠BOC=∠A+∠B+∠C,理由如下:
∵∠BEC是△ABE的外角,
∴∠BEC=∠A+∠B.
∵∠BOC是△COE的外角,
∴∠BOC=∠BEC+∠C,
∴∠BOC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.
(1)若∠A=55°,∠BOD=60°,∠C=35°,求∠B的度数;
(2)试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系,并证明你猜想的正确性.
【解题指引】本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理.(1)由三角形的外角性质可求得∠BDO=90°,再由三角形的内角和定理即可求解.
(2)由三角形的外角性质可得∠BEC=∠A+∠B,∠BOC=∠BEC+∠C,从而求解.
【解析】(1)∵∠A=55°,∠C=35°,
∴∠BDO=∠A+∠C=90°.
∵∠BOD=60°,
∴∠B=180°−∠BDO−∠BOD=30°.
(2)∠BOC=∠A+∠B+∠C,理由如下:
∵∠BEC是△ABE的外角,
∴∠BEC=∠A+∠B.
∵∠BOC是△COE的外角,
∴∠BOC=∠BEC+∠C,
∴∠BOC=∠BEC+∠C=∠A+∠B+∠C.
答案
解：(1)
∵ ∠BDO是△ADC的外角，∠A=55°，∠C=35°，
∴ ∠BDO = ∠A + ∠C = 90°。
在△BDO中，由三角形内角和定理得：
∠B + ∠BDO + ∠BOD = 180°，
又∵ ∠BOD = 60°，
∴ ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°。
(2) 猜想：∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C，证明如下：
∵ ∠BEC是△ABE的外角，
∴ ∠BEC = ∠A + ∠B。
∵ ∠BOC是△COE的外角，
∴ ∠BOC = ∠BEC + ∠C。
∴ ∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C。
∵ ∠BDO是△ADC的外角，∠A=55°，∠C=35°，
∴ ∠BDO = ∠A + ∠C = 90°。
在△BDO中，由三角形内角和定理得：
∠B + ∠BDO + ∠BOD = 180°，
又∵ ∠BOD = 60°，
∴ ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°。
(2) 猜想：∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C，证明如下：
∵ ∠BEC是△ABE的外角，
∴ ∠BEC = ∠A + ∠B。
∵ ∠BOC是△COE的外角，
∴ ∠BOC = ∠BEC + ∠C。
∴ ∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C。
解析
【分析】
(1) 求∠B的度数时，先观察∠B所在的△BDO，已知∠BOD的度数，只需先求出∠BDO的度数即可。∠BDO是△ADC的外角，根据三角形外角性质，外角等于和它不相邻的两个内角之和，可由已知的∠A和∠C算出∠BDO，再结合三角形内角和为180°，即可求出∠B。
(2) 探究∠BOC与∠A、∠B、∠C的关系时，可通过两次运用外角性质转化角度：首先∠BEC是△ABE的外角，可得∠BEC=∠A+∠B；再看∠BOC是△COE的外角，可得∠BOC=∠BEC+∠C，将前式代入后式即可推导出三者的关系。
【解析】
(1)
∵ ∠BDO是△ADC的外角，∠A=55°，∠C=35°，
∴ ∠BDO = ∠A + ∠C = 55°+35°=90°。
在△BDO中，由三角形内角和定理得：
∠B + ∠BDO + ∠BOD = 180°，
又
∵ ∠BOD = 60°，
∴ ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°。
(2) 猜想：∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C，证明如下：
∵ ∠BEC是△ABE的外角，
∴ ∠BEC = ∠A + ∠B。
∵ ∠BOC是△COE的外角，
∴ ∠BOC = ∠BEC + ∠C。
∴ ∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C。
【答案】
(1) ∠B=30°；
(2) ∠BOC=∠A+∠B+∠C
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是准确识别三角形的外角，灵活利用外角性质实现角度的转化，是三角形章节的常考题型，掌握外角性质和内角和定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠B的度数时，先观察∠B所在的△BDO，已知∠BOD的度数，只需先求出∠BDO的度数即可。∠BDO是△ADC的外角，根据三角形外角性质，外角等于和它不相邻的两个内角之和，可由已知的∠A和∠C算出∠BDO，再结合三角形内角和为180°，即可求出∠B。
(2) 探究∠BOC与∠A、∠B、∠C的关系时，可通过两次运用外角性质转化角度：首先∠BEC是△ABE的外角，可得∠BEC=∠A+∠B；再看∠BOC是△COE的外角，可得∠BOC=∠BEC+∠C，将前式代入后式即可推导出三者的关系。
【解析】
(1)
∵ ∠BDO是△ADC的外角，∠A=55°，∠C=35°，
∴ ∠BDO = ∠A + ∠C = 55°+35°=90°。
在△BDO中，由三角形内角和定理得：
∠B + ∠BDO + ∠BOD = 180°，
又
∵ ∠BOD = 60°，
∴ ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°。
(2) 猜想：∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C，证明如下：
∵ ∠BEC是△ABE的外角，
∴ ∠BEC = ∠A + ∠B。
∵ ∠BOC是△COE的外角，
∴ ∠BOC = ∠BEC + ∠C。
∴ ∠BOC = ∠A + ∠B + ∠C。
【答案】
(1) ∠B=30°；
(2) ∠BOC=∠A+∠B+∠C
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题核心是准确识别三角形的外角，灵活利用外角性质实现角度的转化，是三角形章节的常考题型，掌握外角性质和内角和定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
1. 下面①②③④用拼图法验证“三角形内角和为$180°$”，能成为证明这个定理思路的有（
A.①②③④
B.①③
C.③④
D.①②
B
）A.①②③④
B.①③
C.③④
D.①②
答案
1.B
解析
【分析】
要判断哪种拼图能验证三角形内角和为180°，核心思路是：看能不能把三角形的三个内角拼接成一个180°的平角，或通过平行线性质将三个角转化为和为180°的角。我们逐个分析4个图形：
①中过顶点的线段和底边平行，可把两个底角转化到顶点处，和顶角共同拼成平角，符合思路；
②中顶点的线段向下倾斜，三个角拼接后无法形成平角，不符合；
③中两个底角拼接在顶角两侧，三个角刚好在水平直线上组成平角，符合思路；
④中顶点的线段向上倾斜，三个角拼接后不能形成平角，不符合。
综上符合的是①③，对应选项B。
【解析】
拼图法验证三角形内角和为180°的核心是将三个内角拼接为180°的平角：
1. 图①：过三角形上顶点的线段与底边平行，根据平行线的性质，两个底角分别与顶点处的两个角相等，三个角在顶点处拼成平角，和为180°，可以验证；
2. 图②：顶点引出的线段向下倾斜，三个角拼接后无法构成平角，不能验证内角和为180°；
3. 图③：将两个底角拼接在顶角的左右两侧，三个角刚好在水平直线上组成平角，和为180°，可以验证；
4. 图④：顶点引出的线段向上倾斜，三个角拼接后不能构成平角，无法验证。
因此能成为证明思路的是①③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；平角的定义；平行线的性质
【点评】
本题考查三角形内角和定理的验证方法，解题关键是理解“将三个内角拼接为平角”的核心原理，结合图形特征即可快速判断，是对基础原理应用的考查。
【难度系数】
0.7
要判断哪种拼图能验证三角形内角和为180°，核心思路是：看能不能把三角形的三个内角拼接成一个180°的平角，或通过平行线性质将三个角转化为和为180°的角。我们逐个分析4个图形：
①中过顶点的线段和底边平行，可把两个底角转化到顶点处，和顶角共同拼成平角，符合思路；
②中顶点的线段向下倾斜，三个角拼接后无法形成平角，不符合；
③中两个底角拼接在顶角两侧，三个角刚好在水平直线上组成平角，符合思路；
④中顶点的线段向上倾斜，三个角拼接后不能形成平角，不符合。
综上符合的是①③，对应选项B。
【解析】
拼图法验证三角形内角和为180°的核心是将三个内角拼接为180°的平角：
1. 图①：过三角形上顶点的线段与底边平行，根据平行线的性质，两个底角分别与顶点处的两个角相等，三个角在顶点处拼成平角，和为180°，可以验证；
2. 图②：顶点引出的线段向下倾斜，三个角拼接后无法构成平角，不能验证内角和为180°；
3. 图③：将两个底角拼接在顶角的左右两侧，三个角刚好在水平直线上组成平角，和为180°，可以验证；
4. 图④：顶点引出的线段向上倾斜，三个角拼接后不能构成平角，无法验证。
因此能成为证明思路的是①③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；平角的定义；平行线的性质
【点评】
本题考查三角形内角和定理的验证方法，解题关键是理解“将三个内角拼接为平角”的核心原理，结合图形特征即可快速判断，是对基础原理应用的考查。
【难度系数】
0.7
