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4. 初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容. 例：设$\overline{abcd}$是一个四位数，若$a + b + c + d$可以被 9 整除，则这个数可以被 9 整除. 如何用代数式说明该规律？
证明：$\overline{abcd}=1000a + 100b + 10c + d=(999a + 99b + 9c)+(a + b + c + d)=9(111a + 11b + c)+(a + b + c + d)$，显然$9(111a + 11b + c)$能被 9 整除，因此，如果$a + b + c + d$能被 9 整除，那么$\overline{abcd}$就能被 9 整除.
模仿上述例子，任意写出三个个位数是 5 的两位数，观察它们的平方有什么规律，并用代数式说明该规律.
证明：$\overline{abcd}=1000a + 100b + 10c + d=(999a + 99b + 9c)+(a + b + c + d)=9(111a + 11b + c)+(a + b + c + d)$，显然$9(111a + 11b + c)$能被 9 整除，因此，如果$a + b + c + d$能被 9 整除，那么$\overline{abcd}$就能被 9 整除.
模仿上述例子，任意写出三个个位数是 5 的两位数，观察它们的平方有什么规律，并用代数式说明该规律.
答案
4. 任意写出三个个位数是$5$的两位数：$25$，$65$，$75$，则$25^{2}=(10×2 + 1×5)^{2}=(2×5×2 + 1×5)^{2}=[5×(2×2 + 1)]^{2}=25×(2×2 + 1)^{2}$，$65^{2}=(10×6 + 1×5)^{2}=(2×5×6 + 1×5)^{2}=[5×(2×6 + 1)]^{2}=25×(2×6 + 1)^{2}$，$75^{2}=(10×7 + 1×5)^{2}=(2×5×7 + 1×5)^{2}=[5×(2×7 + 1)]^{2}=25×(2×7 + 1)^{2}$，由此发现，以上数均能被$25$整除，假设这两位数为$10x + 5$，则$(10x + 5)^{2}=(x×2×5 + 1×5)^{2}=25(2x + 1)^{2}$.
解析
任意写出三个个位数是5的两位数：15，35，45。
观察它们的平方：$15^{2}=225$，$35^{2}=1225$，$45^{2}=2025$。
规律：个位数是5的两位数的平方，结果的后两位是25，前几位是这个两位数的十位数字乘以比它大1的数字。
证明：设这个两位数的十位数字为$x$（$x$为正整数，$1≤ x≤9$），则这个两位数可表示为$10x + 5$。
$\begin{aligned}(10x + 5)^{2}&=100x^{2}+100x + 25\\&=100x(x + 1)+25\end{aligned}$
因为$100x(x + 1)$能被100整除，所以$100x(x + 1)+25$的后两位是25，前几位是$x(x + 1)$，即个位数是5的两位数的平方等于十位数字乘以比它大1的数字的积再乘以100加上25。
观察它们的平方：$15^{2}=225$，$35^{2}=1225$，$45^{2}=2025$。
规律：个位数是5的两位数的平方，结果的后两位是25，前几位是这个两位数的十位数字乘以比它大1的数字。
证明：设这个两位数的十位数字为$x$（$x$为正整数，$1≤ x≤9$），则这个两位数可表示为$10x + 5$。
$\begin{aligned}(10x + 5)^{2}&=100x^{2}+100x + 25\\&=100x(x + 1)+25\end{aligned}$
因为$100x(x + 1)$能被100整除，所以$100x(x + 1)+25$的后两位是25，前几位是$x(x + 1)$，即个位数是5的两位数的平方等于十位数字乘以比它大1的数字的积再乘以100加上25。
5. 阅读材料：
学习完《整式乘法》，某校七年级数学兴趣小组探索了代数式$3a^{2}+6a - 9$的最值问题，具体过程如下：
$\because3a^{2}+6a - 9 = 3(a^{2}+2a)-9 = 3(a^{2}+2a + 1 - 1)-9 = 3[(a + 1)^{2}-1]-9 = 3(a + 1)^{2}-3 - 9 = 3(a + 1)^{2}-12$，不论$a$取何值，$(a + 1)^{2}≥0$，当且仅当$a = - 1$时等号成立，
$\therefore(a + 1)^{2}-12≥ - 12$. $\therefore$代数式$3a^{2}+6a - 9$的最小值是$-12$.
根据上面的材料，解决下列问题：
(1)求证：代数式$a^{2}-8a + 10$的最小值为$-6$.
(2)判断：代数式$-2x^{2}+12x - 7$有最大值还是最小值？求出此时$x$的值.
学习完《整式乘法》，某校七年级数学兴趣小组探索了代数式$3a^{2}+6a - 9$的最值问题，具体过程如下：
$\because3a^{2}+6a - 9 = 3(a^{2}+2a)-9 = 3(a^{2}+2a + 1 - 1)-9 = 3[(a + 1)^{2}-1]-9 = 3(a + 1)^{2}-3 - 9 = 3(a + 1)^{2}-12$，不论$a$取何值，$(a + 1)^{2}≥0$，当且仅当$a = - 1$时等号成立，
$\therefore(a + 1)^{2}-12≥ - 12$. $\therefore$代数式$3a^{2}+6a - 9$的最小值是$-12$.
根据上面的材料，解决下列问题：
(1)求证：代数式$a^{2}-8a + 10$的最小值为$-6$.
(2)判断：代数式$-2x^{2}+12x - 7$有最大值还是最小值？求出此时$x$的值.
答案
5. (1)证明：$a^{2}-8a + 10 = a^{2}-8a + 16-16 + 10=(a - 4)^{2}-6$，不论$a$取何值，$(a - 4)^{2}≥0$，当且仅当$a = 4$时等号成立，$\therefore(a - 4)^{2}-6≥ - 6$，$\therefore a^{2}-8a + 10$的最小值为$-6$. (2)$-2x^{2}+12x - 7=-2(x^{2}-6x)-7=-2(x^{2}-6x + 9-9)-7=-2(x - 3)^{2}+11$，不论$x$取何值，$(x - 3)^{2}≥0$，当且仅当$x = 3$时等号成立，$\therefore-2(x - 3)^{2}+11≤11$，$\therefore$当$x = 3$时，代数式$-2x^{2}+12x - 7$有最大值$11$.
6. 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性.
(1)请用两种方法证明：若已知实数$x$、$y$满足$x＞y＞0$，则$x^{2}-y^{2}＞0$.
(2)请你尝试证明：若$a ＜ b$，则$\frac{a + b}{2}＜b$.
(1)请用两种方法证明：若已知实数$x$、$y$满足$x＞y＞0$，则$x^{2}-y^{2}＞0$.
(2)请你尝试证明：若$a ＜ b$，则$\frac{a + b}{2}＜b$.
答案
6. (1)证法 1：$\because x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)$，且$x＞ y＞0$，$\therefore x + y＞0$，$x - y＞0$，$\therefore x^{2}-y^{2}＞0$.证法 2：$\because x＞ y＞0$，$\therefore x^{2}＞ xy$，$xy＞ y^{2}$（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变），$\therefore x^{2}＞ y^{2}$（不等式的传递性），$\therefore x^{2}-y^{2}＞0$. (2)证明：$\because a＜ b$，$\therefore a + b＜2b$，$\therefore\frac{a + b}{2}＜ b$.
