登录
【生活情境】声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化.科学家已测得一定温度下声音传播的速度如右表. 如果用$v$表示声音在空气中的传播速度，$t$表示温度，则$v$，$t$满足公式：$v=at+b$（$a$，$b$为常数）.
【问题提出】请求出当气温为$35°\mathrm{C}$时，声音在空气中传播的速度为多少？
【问题分析】根据公式：$v=at+b$（$a$，$b$为常数），结合表格中的相关数据先求出$a$和$b$的值，再将$t=35$代入公式求出$v$的值即可.
【问题解决】
【问题提出】请求出当气温为$35°\mathrm{C}$时，声音在空气中传播的速度为多少？
【问题分析】根据公式：$v=at+b$（$a$，$b$为常数），结合表格中的相关数据先求出$a$和$b$的值，再将$t=35$代入公式求出$v$的值即可.
【问题解决】
答案
将$\begin{cases} t=0, \\ v=330 \end{cases}$和$\begin{cases} t=10, \\ v=336 \end{cases}$代入公式：$v=at+b$，得到$\begin{cases} 330=a × 0+b, \\ 336=a × 10+b, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=0.6, \\ b=330, \end{cases}$ 所以当$t=35$时，$v=0.6t+330=0.6 × 35+330=351$. 答：当气温为35℃时，声音在空气中传播的速度为351米/秒.
解析
【分析】
题目给出声音传播速度$v$和气温$t$满足一次函数关系$v=at+b$，要计算$t=35℃$时的$v$值，首先需要确定常数$a$、$b$的值。一次函数有2个未知系数，因此可以从表格中选取两组对应的$t$、$v$数值，代入公式得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解出$a$、$b$后就能得到$v$与$t$的完整函数关系式，最后将$t=35$代入关系式即可求出对应的$v$值。为了计算简便，可以优先选取$t=0$这一组数据，能直接求出$b$的值，降低计算难度。
【解析】
首先从表格中选取两组数据：$\begin{cases} t=0, \\ v=330 \end{cases}$和$\begin{cases} t=10, \\ v=336 \end{cases}$，将两组数据分别代入公式$v=at+b$，可得方程组：
$\begin{cases} 330=a×0 + b \\ 336=a×10 + b \end{cases}$
解这个方程组：
由第一个方程直接得$b=330$，将$b=330$代入第二个方程：
$336=10a+330$，解得$10a=6$，即$a=0.6$。
因此$v$与$t$的函数关系式为$v=0.6t+330$。
当$t=35$时，代入关系式得：
$v=0.6×35 + 330=21+330=351$（米/秒）
【答案】
当气温为$35℃$时，声音在空气中传播的速度为351米/秒。
【知识点】
待定系数法，二元一次方程组求解，一次函数应用
【点评】
本题结合声音传播速度的生活情境，考查一次函数与二元一次方程组的综合应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，选取合适的表格数据列方程组计算，整体计算量小，解题思路清晰，是典型的函数实际应用类基础题。
【难度系数】
0.8
题目给出声音传播速度$v$和气温$t$满足一次函数关系$v=at+b$，要计算$t=35℃$时的$v$值，首先需要确定常数$a$、$b$的值。一次函数有2个未知系数，因此可以从表格中选取两组对应的$t$、$v$数值，代入公式得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解出$a$、$b$后就能得到$v$与$t$的完整函数关系式，最后将$t=35$代入关系式即可求出对应的$v$值。为了计算简便，可以优先选取$t=0$这一组数据，能直接求出$b$的值，降低计算难度。
【解析】
首先从表格中选取两组数据：$\begin{cases} t=0, \\ v=330 \end{cases}$和$\begin{cases} t=10, \\ v=336 \end{cases}$，将两组数据分别代入公式$v=at+b$，可得方程组：
$\begin{cases} 330=a×0 + b \\ 336=a×10 + b \end{cases}$
解这个方程组：
由第一个方程直接得$b=330$，将$b=330$代入第二个方程：
$336=10a+330$，解得$10a=6$，即$a=0.6$。
因此$v$与$t$的函数关系式为$v=0.6t+330$。
当$t=35$时，代入关系式得：
$v=0.6×35 + 330=21+330=351$（米/秒）
【答案】
当气温为$35℃$时，声音在空气中传播的速度为351米/秒。
【知识点】
待定系数法，二元一次方程组求解，一次函数应用
【点评】
本题结合声音传播速度的生活情境，考查一次函数与二元一次方程组的综合应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，选取合适的表格数据列方程组计算，整体计算量小，解题思路清晰，是典型的函数实际应用类基础题。
【难度系数】
0.8
1. 请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，
鸦树各几何？”若设鸦为x只，树为y棵，则可列出方程组为（
A. $\begin{cases} 3y + 5 = x, \\ 5y - 1 = x. \end{cases}$
B. $\begin{cases} 3y - 5 = x, \\ 5y = x - 1. \end{cases}$
C. $\begin{cases} \dfrac{1}{3}x + 5 = y, \\ 5y = x - 5. \end{cases}$
D. $\begin{cases} x - 5 = 3y, \\ x = 5(y - 1). \end{cases}$
鸦树各几何？”若设鸦为x只，树为y棵，则可列出方程组为（
D
）A. $\begin{cases} 3y + 5 = x, \\ 5y - 1 = x. \end{cases}$
B. $\begin{cases} 3y - 5 = x, \\ 5y = x - 1. \end{cases}$
C. $\begin{cases} \dfrac{1}{3}x + 5 = y, \\ 5y = x - 5. \end{cases}$
D. $\begin{cases} x - 5 = 3y, \\ x = 5(y - 1). \end{cases}$
答案
1. D
解析
【分析】
这是一道结合古诗文的二元一次方程组应用题，解题核心是把诗句描述的场景转化为数学等量关系。首先明确设元：鸦共x只，树共y棵，分两步找等量：第一步分析“三只栖一树，五只没去处”的含义，即每棵树住3只鸦时，住树上的鸦总数加没处去的5只等于总鸦数；第二步分析“五只栖一树，闲了一棵树”的含义，即每棵树住5只鸦时，实际只用了（总树数-1）棵树，总鸦数等于5乘实际使用的树的数量，最后将两个等量关系列成方程组，匹配选项即可。
【解析】
首先根据第一个条件“三只栖一树，五只没去处”列方程：
每棵树住3只鸦，y棵树共住$3y$只，加上剩余的5只就是总鸦数x，因此可得：
$3y + 5 = x$，变形为$x - 5 = 3y$。
再根据第二个条件“五只栖一树，闲了一棵树”列方程：
闲了1棵树，说明实际使用的树的数量为$(y - 1)$棵，每棵住5只刚好住满所有鸦，因此可得：
$x = 5(y - 1)$。
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} x - 5 = 3y, \\ x = 5(y - 1) \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 实际问题等量关系提取
【点评】
本题属于古诗文类的方程应用基础题，解题的关键是准确翻译古诗文的表述，尤其要注意“闲了一棵树”是实际使用的树的数量比总树数少1，避免直接错写为$5y - 1 = x$这类错误式子，平时练习时要注意逐句分析条件，找准等量关系。
【难度系数】
0.7
这是一道结合古诗文的二元一次方程组应用题，解题核心是把诗句描述的场景转化为数学等量关系。首先明确设元：鸦共x只，树共y棵，分两步找等量：第一步分析“三只栖一树，五只没去处”的含义，即每棵树住3只鸦时，住树上的鸦总数加没处去的5只等于总鸦数；第二步分析“五只栖一树，闲了一棵树”的含义，即每棵树住5只鸦时，实际只用了（总树数-1）棵树，总鸦数等于5乘实际使用的树的数量，最后将两个等量关系列成方程组，匹配选项即可。
【解析】
首先根据第一个条件“三只栖一树，五只没去处”列方程：
每棵树住3只鸦，y棵树共住$3y$只，加上剩余的5只就是总鸦数x，因此可得：
$3y + 5 = x$，变形为$x - 5 = 3y$。
再根据第二个条件“五只栖一树，闲了一棵树”列方程：
闲了1棵树，说明实际使用的树的数量为$(y - 1)$棵，每棵住5只刚好住满所有鸦，因此可得：
$x = 5(y - 1)$。
联立两个方程得到方程组$\begin{cases} x - 5 = 3y, \\ x = 5(y - 1) \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 实际问题等量关系提取
【点评】
本题属于古诗文类的方程应用基础题，解题的关键是准确翻译古诗文的表述，尤其要注意“闲了一棵树”是实际使用的树的数量比总树数少1，避免直接错写为$5y - 1 = x$这类错误式子，平时练习时要注意逐句分析条件，找准等量关系。
【难度系数】
0.7
