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8. 对x，y定义一种新运算“※”，规定：$x※y=mx+ny$（其中m，n均为非零常数），若$1※1=4$，$1※2=3$，则$2※1$的值是
9
.答案
8. 9 理由：$\because 1※1=4$，$1※2=3$，$\therefore \begin{cases}m+n=4, \\m+2n=3,\end{cases}$ 解得： $\begin{cases}m=5, \\n=-1,\end{cases}$
$\therefore x※y=5x-y.$
$\therefore 2※1=2×5-1=9.$
$\therefore x※y=5x-y.$
$\therefore 2※1=2×5-1=9.$
解析
【分析】
解题时首先要明确新运算“※”的规则：x※y等于x与m的乘积加y与n的乘积。我们可以先将题目给出的两个运算结果按照新运算规则转化为关于m、n的二元一次方程组，解出m、n的取值后就能确定新运算的完整表达式，最后将x=2、y=1代入表达式计算即可得到所求结果。
【解析】
根据新运算的规定，结合已知条件可得：
$\because 1※1=4$，$1※2=3$
$\therefore \begin{cases}m+n=4&① \\m+2n=3&②\end{cases}$
用②-①消去m，得：$(m+2n)-(m+n)=3-4$，解得$n=-1$
把$n=-1$代入①，得：$m-1=4$，解得$m=5$
因此新运算的表达式为：$x※y=5x-y$
将$x=2$，$y=1$代入表达式计算：
$2※1=5×2 -1=10-1=9$
【答案】
9
【知识点】
新定义运算，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题核心是将陌生的新运算转化为已经学过的方程问题，只要准确理解新运算规则，按步骤解方程组、代入计算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确新运算“※”的规则：x※y等于x与m的乘积加y与n的乘积。我们可以先将题目给出的两个运算结果按照新运算规则转化为关于m、n的二元一次方程组，解出m、n的取值后就能确定新运算的完整表达式，最后将x=2、y=1代入表达式计算即可得到所求结果。
【解析】
根据新运算的规定，结合已知条件可得：
$\because 1※1=4$，$1※2=3$
$\therefore \begin{cases}m+n=4&① \\m+2n=3&②\end{cases}$
用②-①消去m，得：$(m+2n)-(m+n)=3-4$，解得$n=-1$
把$n=-1$代入①，得：$m-1=4$，解得$m=5$
因此新运算的表达式为：$x※y=5x-y$
将$x=2$，$y=1$代入表达式计算：
$2※1=5×2 -1=10-1=9$
【答案】
9
【知识点】
新定义运算，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题核心是将陌生的新运算转化为已经学过的方程问题，只要准确理解新运算规则，按步骤解方程组、代入计算即可得分。
【难度系数】
0.8
9. 若方程组 $\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1, \\a_2x + b_2y = c\end{cases}$ 的解为 $\begin{cases}x=4, \\y=6,\end{cases}$ 则方程组 $\begin{cases}4a_1x + 3b_1y =5c_1, \\4a_2x + 3b_2y =5c_2\end{cases}$ 的解为（ ）
A.$\begin{cases}x=4 \\y=6\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=5 \\y=6\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=5 \\y=10\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=20 \\y=30\end{cases}$
A.$\begin{cases}x=4 \\y=6\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=5 \\y=6\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=5 \\y=10\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=20 \\y=30\end{cases}$
答案
9. C
解析
【分析】
我们已知第一个方程组的解，根据二元一次方程组解的定义，这个解满足第一个方程组的两个方程。待求解的第二个方程组和第一个方程组系数相关，不需要算出$a_1、b_1、c_1$等的具体值，只需要把第二个方程组变形为和第一个方程组形式一致的结构，用整体代换的思想就能找到对应关系，进而求出解。具体思路是：先把已知解代入第一个方程组得到$c_1、c_2$的表达式，再将待求方程组两边同时除以5，和第一个方程组对比系数，列出关于$x、y$的新方程求解即可。
【解析】
∵ 方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=4 \\y=6\end{cases}$
∴ 把解代入原方程组得：$\begin{cases}4a_1 + 6b_1 = c_1 \\4a_2 + 6b_2 = c_2\end{cases}$
将待求方程组$\begin{cases}4a_1x + 3b_1y =5c_1 \\4a_2x + 3b_2y =5c_2\end{cases}$的两个方程左右两边同时除以5，可得：
$\begin{cases}\frac{4x}{5}a_1 + \frac{3y}{5}b_1 = c_1 \\\frac{4x}{5}a_2 + \frac{3y}{5}b_2 = c_2\end{cases}$
对比两个方程组的形式，可得：
$\begin{cases}\frac{4x}{5}=4 \\\frac{3y}{5}=6\end{cases}$
分别求解：
第一个方程：$\frac{4x}{5}=4$，两边同乘5得$4x=20$，解得$x=5$
第二个方程：$\frac{3y}{5}=6$，两边同乘5得$3y=30$，解得$y=10$
因此待求方程组的解为$\begin{cases}x=5 \\y=10\end{cases}$
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代入法
【点评】
本题解题核心是利用整体代换思想，不用求解未知系数，通过变形待求方程组，和已知解的方程组结构对应就能快速求出解，是二元一次方程组的经典应用题型，解题时要先观察方程结构的相似性，避免盲目计算系数。
【难度系数】
0.6
我们已知第一个方程组的解，根据二元一次方程组解的定义，这个解满足第一个方程组的两个方程。待求解的第二个方程组和第一个方程组系数相关，不需要算出$a_1、b_1、c_1$等的具体值，只需要把第二个方程组变形为和第一个方程组形式一致的结构，用整体代换的思想就能找到对应关系，进而求出解。具体思路是：先把已知解代入第一个方程组得到$c_1、c_2$的表达式，再将待求方程组两边同时除以5，和第一个方程组对比系数，列出关于$x、y$的新方程求解即可。
【解析】
∵ 方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=4 \\y=6\end{cases}$
∴ 把解代入原方程组得：$\begin{cases}4a_1 + 6b_1 = c_1 \\4a_2 + 6b_2 = c_2\end{cases}$
将待求方程组$\begin{cases}4a_1x + 3b_1y =5c_1 \\4a_2x + 3b_2y =5c_2\end{cases}$的两个方程左右两边同时除以5，可得：
$\begin{cases}\frac{4x}{5}a_1 + \frac{3y}{5}b_1 = c_1 \\\frac{4x}{5}a_2 + \frac{3y}{5}b_2 = c_2\end{cases}$
对比两个方程组的形式，可得：
$\begin{cases}\frac{4x}{5}=4 \\\frac{3y}{5}=6\end{cases}$
分别求解：
第一个方程：$\frac{4x}{5}=4$，两边同乘5得$4x=20$，解得$x=5$
第二个方程：$\frac{3y}{5}=6$，两边同乘5得$3y=30$，解得$y=10$
因此待求方程组的解为$\begin{cases}x=5 \\y=10\end{cases}$
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解，整体代入法
【点评】
本题解题核心是利用整体代换思想，不用求解未知系数，通过变形待求方程组，和已知解的方程组结构对应就能快速求出解，是二元一次方程组的经典应用题型，解题时要先观察方程结构的相似性，避免盲目计算系数。
【难度系数】
0.6
10. 已知方程组$\begin{cases} x - 2y = 2k, \\ x + 3y = 1 - 5k \end{cases}$的解$x$与$y$的和为负数，求$k$的取值范围。
答案
10. 解：方程组$\begin{cases}x - 2y = 2k, \\x + 3y = 1 - 5k,\end{cases}$ 解得： $\begin{cases}x=\frac{2-4k}{5}, \\y=\frac{1-7k}{5},\end{cases}$ $\because x$与$y$的和为负数，
$\therefore \frac{2-4k}{5}+\frac{1-7k}{5}＜0$，解得 $k＞\frac{3}{11}.$
$\therefore \frac{2-4k}{5}+\frac{1-7k}{5}＜0$，解得 $k＞\frac{3}{11}.$
解析
【分析】
解题时首先将k看作已知常数，通过加减消元法解二元一次方程组，用含k的代数式分别表示出x和y的值；再根据题目给出的“x与y的和为负数”这一条件，列出关于k的一元一次不等式，最后解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
解：对已知方程组$\begin{cases} x - 2y = 2k \quad ① \\ x + 3y = 1 - 5k \quad ② \end{cases}$
用②-①消去x，得：$5y=1-7k$，解得$y=\frac{1-7k}{5}$
将$y=\frac{1-7k}{5}$代入①式，得：$x=2k + 2×\frac{1-7k}{5}=\frac{10k + 2 -14k}{5}=\frac{2-4k}{5}$
$\because$ x与y的和为负数，即$x+y＜0$
$\therefore$ 将x、y代入得：$\frac{2-4k}{5}+\frac{1-7k}{5}＜0$
化简得：$\frac{3-11k}{5}＜0$
分母5为正数，不等式两边同时乘5不等号方向不变，得：$3-11k＜0$
移项得：$11k＞3$
解得：$k＞\frac{3}{11}$
【答案】
$k＞\frac{3}{11}$
【知识点】
二元一次方程组求解，一元一次不等式求解，根据条件列不等式
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合基础题，核心是将参数视为已知量求解方程组，再结合题干条件建立不等式求解，掌握消元法和解不等式的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先将k看作已知常数，通过加减消元法解二元一次方程组，用含k的代数式分别表示出x和y的值；再根据题目给出的“x与y的和为负数”这一条件，列出关于k的一元一次不等式，最后解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
解：对已知方程组$\begin{cases} x - 2y = 2k \quad ① \\ x + 3y = 1 - 5k \quad ② \end{cases}$
用②-①消去x，得：$5y=1-7k$，解得$y=\frac{1-7k}{5}$
将$y=\frac{1-7k}{5}$代入①式，得：$x=2k + 2×\frac{1-7k}{5}=\frac{10k + 2 -14k}{5}=\frac{2-4k}{5}$
$\because$ x与y的和为负数，即$x+y＜0$
$\therefore$ 将x、y代入得：$\frac{2-4k}{5}+\frac{1-7k}{5}＜0$
化简得：$\frac{3-11k}{5}＜0$
分母5为正数，不等式两边同时乘5不等号方向不变，得：$3-11k＜0$
移项得：$11k＞3$
解得：$k＞\frac{3}{11}$
【答案】
$k＞\frac{3}{11}$
【知识点】
二元一次方程组求解，一元一次不等式求解，根据条件列不等式
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的综合基础题，核心是将参数视为已知量求解方程组，再结合题干条件建立不等式求解，掌握消元法和解不等式的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组. 解二元一次方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法.
类比联想二元一次方程组尝试解决下面问题：
（1）请写出三元一次方程组的定义.
（2）请尝试用加减消元法或代入消元法解三元一次方程组：
$\begin{cases}x + y - z = 5, \\2x + 3y + z = 0, \\x - 2y - z = 20\end{cases}$
类比联想二元一次方程组尝试解决下面问题：
（1）请写出三元一次方程组的定义.
（2）请尝试用加减消元法或代入消元法解三元一次方程组：
$\begin{cases}x + y - z = 5, \\2x + 3y + z = 0, \\x - 2y - z = 20\end{cases}$
答案
（1）由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
（2）$\begin{cases} x=\frac{25}{3}, \\ y=-5, \\ z=-\frac{5}{3}.\end{cases}$
（2）$\begin{cases} x=\frac{25}{3}, \\ y=-5, \\ z=-\frac{5}{3}.\end{cases}$
解析
【分析】
（1）类比二元一次方程组的定义推导即可：二元一次方程组的核心特征是“2个一次方程、共含2个未知数”，三元一次方程组只需对应将数量替换为3，即满足“3个一次方程、共含3个未知数”即可。
（2）解三元一次方程组的核心思路是消元，先将三元转化为二元，再转化为一元求解。观察本题的三个方程，未知数z的系数分别为-1、+1、-1，优先选择加减消元法消去z，得到关于x、y的二元一次方程组，解出x、y后代回原方程即可求出z的值。
【解析】
（1）根据二元一次方程组的定义类比可得三元一次方程组定义。
（2）先对原方程组标号：
$\begin{cases}x + y - z = 5&① \\2x + 3y + z = 0&② \\x - 2y - z = 20&③\end{cases}$
①+②消去z可得：$3x+4y=5$ ④
②+③消去z可得：$3x+y=20$ ⑤
用④-⑤消去x得：$3y=-15$，解得$y=-5$
把$y=-5$代入⑤得：$3x-5=20$，解得$x=\frac{25}{3}$
把$x=\frac{25}{3}$、$y=-5$代入①得：$\frac{25}{3}-5-z=5$，解得$z=-\frac{5}{3}$
经检验，所得结果满足原方程组所有方程。
【答案】
（1）由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
（2）$\begin{cases} x=\frac{25}{3}, \\ y=-5, \\ z=-\frac{5}{3}.\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的概念，解三元一次方程组，消元思想
【点评】
本题考查知识迁移能力，解题核心是掌握消元思想，通过加减或代入消元逐步减少未知数的个数，最终转化为一元一次方程求解，方法固定，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
（1）类比二元一次方程组的定义推导即可：二元一次方程组的核心特征是“2个一次方程、共含2个未知数”，三元一次方程组只需对应将数量替换为3，即满足“3个一次方程、共含3个未知数”即可。
（2）解三元一次方程组的核心思路是消元，先将三元转化为二元，再转化为一元求解。观察本题的三个方程，未知数z的系数分别为-1、+1、-1，优先选择加减消元法消去z，得到关于x、y的二元一次方程组，解出x、y后代回原方程即可求出z的值。
【解析】
（1）根据二元一次方程组的定义类比可得三元一次方程组定义。
（2）先对原方程组标号：
$\begin{cases}x + y - z = 5&① \\2x + 3y + z = 0&② \\x - 2y - z = 20&③\end{cases}$
①+②消去z可得：$3x+4y=5$ ④
②+③消去z可得：$3x+y=20$ ⑤
用④-⑤消去x得：$3y=-15$，解得$y=-5$
把$y=-5$代入⑤得：$3x-5=20$，解得$x=\frac{25}{3}$
把$x=\frac{25}{3}$、$y=-5$代入①得：$\frac{25}{3}-5-z=5$，解得$z=-\frac{5}{3}$
经检验，所得结果满足原方程组所有方程。
【答案】
（1）由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
（2）$\begin{cases} x=\frac{25}{3}, \\ y=-5, \\ z=-\frac{5}{3}.\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的概念，解三元一次方程组，消元思想
【点评】
本题考查知识迁移能力，解题核心是掌握消元思想，通过加减或代入消元逐步减少未知数的个数，最终转化为一元一次方程求解，方法固定，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
