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15. 如图①，把两个面积为1 $dm^2$的小正方形拼成一个面积为2 $dm^2$的大正方形，所得到的面积为2 $dm^2$的大正方形的边长就是原来面积为1 $dm^2$的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为$\sqrt{2}$ dm.
(1)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图②中A，B两点表示的数分别为
(2)某学生把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图③所示的一个大正方形. 请你仿照上面的探究方法求出小正方形的面积及小正方形的边长x的值.
(3)若3是$4a +5$的一个平方根，$3a +b -9$的立方根是2，c为(2)中小正方形边长x的整数部分，请计算$4a +b -c$的平方根.
(1)由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图②中A，B两点表示的数分别为
$-\sqrt{2},\ \sqrt{2}$
.(2)某学生把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图③所示的一个大正方形. 请你仿照上面的探究方法求出小正方形的面积及小正方形的边长x的值.
(3)若3是$4a +5$的一个平方根，$3a +b -9$的立方根是2，c为(2)中小正方形边长x的整数部分，请计算$4a +b -c$的平方根.
答案
15. (1)$-\sqrt{2},\ \sqrt{2}$
(2)小正方形的面积为5，小正方形的边长为$\sqrt{5}.$
(3)$4a + b - c$的平方根为$\pm4.$
(2)小正方形的面积为5，小正方形的边长为$\sqrt{5}.$
(3)$4a + b - c$的平方根为$\pm4.$
解析
【分析】
(1) 由题干已知小正方形对角线长为$\sqrt{2}$，图②中半圆的半径等于该对角线长，根据数轴上原点左侧为负、右侧为正的规则，即可求出A、B表示的数。
(2) 仿照(1)的探究思路，长为2、宽为1的长方形的对角线长的平方等于$2^2+1^2=5$，观察拼接图形可知小正方形边长等于长方形的对角线长，即可求出小正方形的面积和边长。
(3) 先根据平方根的定义列等式求出a的值，再根据立方根的定义列等式求出b的值，接着估算$\sqrt{5}$的取值范围得到其整数部分c，最后代入代数式计算后求平方根即可。
【解析】
(1) 已知小正方形对角线长为$\sqrt{2}$，图②中半圆半径为$\sqrt{2}$。点A在原点左侧，到原点的距离为$\sqrt{2}$，故表示的数为$-\sqrt{2}$；点B在原点右侧，到原点的距离为$\sqrt{2}$，故表示的数为$\sqrt{2}$。
(2) 仿照(1)的方法，长为2、宽为1的长方形的对角线长的平方为$2^2+1^2=5$。观察拼接图形可知，小正方形的边长等于长方形的对角线长，因此边长$x=\sqrt{5}$，小正方形的面积为$x^2=(\sqrt{5})^2=5$。
(3) ①求a的值：
∵3是$4a+5$的一个平方根，
∴$4a+5=3^2=9$，
解得$a=1$。
②求b的值：
∵$3a+b-9$的立方根是2，
∴$3a+b-9=2^3=8$，
将$a=1$代入得：$3×1 + b -9=8$，
解得$b=14$。
③求c的值：
∵$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜5＜9$，
∴$2＜\sqrt{5}＜3$，即$\sqrt{5}$的整数部分$c=2$。
④计算$4a+b-c$的平方根：
代入得$4a+b-c=4×1 +14 -2=16$，
∵$(\pm4)^2=16$，
∴$4a+b-c$的平方根为$\pm4$。
【答案】
(1) $-\sqrt{2},\ \sqrt{2}$
(2) 小正方形的面积为5，小正方形的边长为$\sqrt{5}$
(3) $4a + b - c$的平方根为$\pm4$
【知识点】
数轴表示无理数，平方根与立方根，无理数估算
【点评】
本题结合图形拼接考查了无理数的相关概念和代数运算，需要结合数形结合的思想，按照题干给出的探究思路逐步推导，既考查了对平方根、立方根基础定义的掌握，也考查了无理数估算的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 由题干已知小正方形对角线长为$\sqrt{2}$，图②中半圆的半径等于该对角线长，根据数轴上原点左侧为负、右侧为正的规则，即可求出A、B表示的数。
(2) 仿照(1)的探究思路，长为2、宽为1的长方形的对角线长的平方等于$2^2+1^2=5$，观察拼接图形可知小正方形边长等于长方形的对角线长，即可求出小正方形的面积和边长。
(3) 先根据平方根的定义列等式求出a的值，再根据立方根的定义列等式求出b的值，接着估算$\sqrt{5}$的取值范围得到其整数部分c，最后代入代数式计算后求平方根即可。
【解析】
(1) 已知小正方形对角线长为$\sqrt{2}$，图②中半圆半径为$\sqrt{2}$。点A在原点左侧，到原点的距离为$\sqrt{2}$，故表示的数为$-\sqrt{2}$；点B在原点右侧，到原点的距离为$\sqrt{2}$，故表示的数为$\sqrt{2}$。
(2) 仿照(1)的方法，长为2、宽为1的长方形的对角线长的平方为$2^2+1^2=5$。观察拼接图形可知，小正方形的边长等于长方形的对角线长，因此边长$x=\sqrt{5}$，小正方形的面积为$x^2=(\sqrt{5})^2=5$。
(3) ①求a的值：
∵3是$4a+5$的一个平方根，
∴$4a+5=3^2=9$，
解得$a=1$。
②求b的值：
∵$3a+b-9$的立方根是2，
∴$3a+b-9=2^3=8$，
将$a=1$代入得：$3×1 + b -9=8$，
解得$b=14$。
③求c的值：
∵$2^2=4$，$3^2=9$，$4＜5＜9$，
∴$2＜\sqrt{5}＜3$，即$\sqrt{5}$的整数部分$c=2$。
④计算$4a+b-c$的平方根：
代入得$4a+b-c=4×1 +14 -2=16$，
∵$(\pm4)^2=16$，
∴$4a+b-c$的平方根为$\pm4$。
【答案】
(1) $-\sqrt{2},\ \sqrt{2}$
(2) 小正方形的面积为5，小正方形的边长为$\sqrt{5}$
(3) $4a + b - c$的平方根为$\pm4$
【知识点】
数轴表示无理数，平方根与立方根，无理数估算
【点评】
本题结合图形拼接考查了无理数的相关概念和代数运算，需要结合数形结合的思想，按照题干给出的探究思路逐步推导，既考查了对平方根、立方根基础定义的掌握，也考查了无理数估算的能力。
【难度系数】
0.65
16. 如图，长方形ABCD的面积为225 cm²，长和宽的比为5:3. 在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为75 cm²的圆(π取3)，请通过计算说明理由.
答案
16. 不能并排裁出两个面积均为75 cm²的圆，理由略.
解析
【分析】
要判断能否在长方形内并排裁出两个符合要求的圆，需分三步思考：第一步，根据长方形的面积和长宽比，求出长方形的长和宽；第二步，根据圆的面积求出圆的半径，进而得到直径；第三步，计算两个圆并排放置时需要的最小总长度和总高度，与长方形的长、宽对比，若所需尺寸均小于等于长方形对应边长则可以裁出，反之则不能。
【解析】
解：设长方形ABCD的长为$5x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$。
由长方形面积公式可得：
$5x · 3x = 225$
化简得$15x^2=225$，即$x^2=15$，因长度为正，故$x=\sqrt{15}\approx3.872$。
因此长方形的长$AB=5\sqrt{15}\approx19.36\ \mathrm{cm}$，宽$AD=3\sqrt{15}\approx11.62\ \mathrm{cm}$。
设圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$，由圆的面积公式可得：
$π r^2=75$
已知$π$取3，代入得$3r^2=75$，即$r^2=25$，因半径为正，故$r=5\ \mathrm{cm}$，圆的直径$d=2r=10\ \mathrm{cm}$。
两个圆并排放置时，所需最小横向长度为$2d=2×10=20\ \mathrm{cm}$，所需最小纵向高度为$d=10\ \mathrm{cm}$。
对比可知：$20＞19.36$，即所需横向长度大于长方形的长，因此无法并排裁出两个符合要求的圆。
【答案】
不能并排裁出两个面积均为$75\ \mathrm{cm}^2$的圆。
【知识点】
长方形面积计算，圆的面积计算，无理数的估算
【点评】
本题结合实际裁剪问题考查几何图形的基本计算，解题时需要先明确裁剪所需的最小尺寸，再通过计算对比判断可行性，易错点是容易算错两个圆并排时所需的总长度，或对无理数的估算出现偏差。
【难度系数】
0.6
要判断能否在长方形内并排裁出两个符合要求的圆，需分三步思考：第一步，根据长方形的面积和长宽比，求出长方形的长和宽；第二步，根据圆的面积求出圆的半径，进而得到直径；第三步，计算两个圆并排放置时需要的最小总长度和总高度，与长方形的长、宽对比，若所需尺寸均小于等于长方形对应边长则可以裁出，反之则不能。
【解析】
解：设长方形ABCD的长为$5x\ \mathrm{cm}$，宽为$3x\ \mathrm{cm}$。
由长方形面积公式可得：
$5x · 3x = 225$
化简得$15x^2=225$，即$x^2=15$，因长度为正，故$x=\sqrt{15}\approx3.872$。
因此长方形的长$AB=5\sqrt{15}\approx19.36\ \mathrm{cm}$，宽$AD=3\sqrt{15}\approx11.62\ \mathrm{cm}$。
设圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$，由圆的面积公式可得：
$π r^2=75$
已知$π$取3，代入得$3r^2=75$，即$r^2=25$，因半径为正，故$r=5\ \mathrm{cm}$，圆的直径$d=2r=10\ \mathrm{cm}$。
两个圆并排放置时，所需最小横向长度为$2d=2×10=20\ \mathrm{cm}$，所需最小纵向高度为$d=10\ \mathrm{cm}$。
对比可知：$20＞19.36$，即所需横向长度大于长方形的长，因此无法并排裁出两个符合要求的圆。
【答案】
不能并排裁出两个面积均为$75\ \mathrm{cm}^2$的圆。
【知识点】
长方形面积计算，圆的面积计算，无理数的估算
【点评】
本题结合实际裁剪问题考查几何图形的基本计算，解题时需要先明确裁剪所需的最小尺寸，再通过计算对比判断可行性，易错点是容易算错两个圆并排时所需的总长度，或对无理数的估算出现偏差。
【难度系数】
0.6
