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17. (1)想一想下表中已知数a的小数点的移动与它的算术平方根$\sqrt{a}$的小数点移动间有何规律？
(2)利用规律计算：已知$\sqrt{15} = k$，$\sqrt{0.15} = a$，$\sqrt{1500} = b$，用含k的代数式分别表示a，b.
(3)如果$\sqrt{x} = 100\sqrt{7}$，求x的值.
(2)利用规律计算：已知$\sqrt{15} = k$，$\sqrt{0.15} = a$，$\sqrt{1500} = b$，用含k的代数式分别表示a，b.
(3)如果$\sqrt{x} = 100\sqrt{7}$，求x的值.
答案
17. 解：(1)被开方数的小数点每移动两位，它的算术平方根的小数点向相同方向移动一位.
(2)$a = \frac{k}{10},\ b = 10k.$
(3)$x = 70\ 000.$
(2)$a = \frac{k}{10},\ b = 10k.$
(3)$x = 70\ 000.$
解析
【分析】
（1）解决第一问时，先逐一对比表格中每组被开方数a的小数点移动方向、位数，再对应观察算术平方根$\sqrt{a}$的小数点变化情况，汇总多组数据的共性即可总结出规律。（2）第二问直接套用第一问得到的规律，对比0.15、1500与15的小数点移动差异，就能推导出a、b和k的数量关系。（3）第三问可反向运用规律：已知算术平方根的移动位数，反推被开方数的移动位数即可得到x，也可通过等式两边同时平方计算x，两种方法均符合七年级知识要求。
【解析】
(1) 观察表格数据：
当a从0.0001变为0.01时，小数点向右移动2位，对应$\sqrt{a}$从0.01变为0.1，小数点向右移动1位；
当a从0.01变为1时，小数点向右移动2位，对应$\sqrt{a}$从0.1变为1，小数点向右移动1位；
向左移动时也符合上述对应关系，因此可总结规律：被开方数的小数点每移动两位，它的算术平方根的小数点向相同方向移动一位。
(2) 已知$\sqrt{15}=k$：
$\sqrt{0.15}$的被开方数0.15是15的小数点向左移动2位得到的，根据规律，算术平方根的小数点向左移动1位，因此$a=k÷10=\frac{k}{10}$；
$\sqrt{1500}$的被开方数1500是15的小数点向右移动2位得到的，根据规律，算术平方根的小数点向右移动1位，因此$b=k×10=10k$。
(3) 已知$\sqrt{x}=100\sqrt{7}$，说明$\sqrt{x}$是将$\sqrt{7}$的小数点向右移动了2位，根据规律，被开方数的小数点需要向右移动$2×2=4$位，7的小数点向右移动4位得到70000，因此$x=70000$（也可将等式两边同时平方计算：$x=(100\sqrt{7})^2=100^2×(\sqrt{7})^2=10000×7=70000$）。
【答案】
(1) 被开方数的小数点每移动两位，它的算术平方根的小数点向相同方向移动一位；
(2) $a=\frac{k}{10}$，$b=10k$；
(3) $x=70000$
【知识点】
算术平方根的性质、小数点移动规律
【点评】
本题先通过观察归纳得到算术平方根与被开方数的小数点移动关联规律，再将规律应用到实际计算中，既考查了学生的归纳总结能力，也检验了对算术平方根性质的理解和迁移运用能力，是算术平方根板块的经典题型。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问时，先逐一对比表格中每组被开方数a的小数点移动方向、位数，再对应观察算术平方根$\sqrt{a}$的小数点变化情况，汇总多组数据的共性即可总结出规律。（2）第二问直接套用第一问得到的规律，对比0.15、1500与15的小数点移动差异，就能推导出a、b和k的数量关系。（3）第三问可反向运用规律：已知算术平方根的移动位数，反推被开方数的移动位数即可得到x，也可通过等式两边同时平方计算x，两种方法均符合七年级知识要求。
【解析】
(1) 观察表格数据：
当a从0.0001变为0.01时，小数点向右移动2位，对应$\sqrt{a}$从0.01变为0.1，小数点向右移动1位；
当a从0.01变为1时，小数点向右移动2位，对应$\sqrt{a}$从0.1变为1，小数点向右移动1位；
向左移动时也符合上述对应关系，因此可总结规律：被开方数的小数点每移动两位，它的算术平方根的小数点向相同方向移动一位。
(2) 已知$\sqrt{15}=k$：
$\sqrt{0.15}$的被开方数0.15是15的小数点向左移动2位得到的，根据规律，算术平方根的小数点向左移动1位，因此$a=k÷10=\frac{k}{10}$；
$\sqrt{1500}$的被开方数1500是15的小数点向右移动2位得到的，根据规律，算术平方根的小数点向右移动1位，因此$b=k×10=10k$。
(3) 已知$\sqrt{x}=100\sqrt{7}$，说明$\sqrt{x}$是将$\sqrt{7}$的小数点向右移动了2位，根据规律，被开方数的小数点需要向右移动$2×2=4$位，7的小数点向右移动4位得到70000，因此$x=70000$（也可将等式两边同时平方计算：$x=(100\sqrt{7})^2=100^2×(\sqrt{7})^2=10000×7=70000$）。
【答案】
(1) 被开方数的小数点每移动两位，它的算术平方根的小数点向相同方向移动一位；
(2) $a=\frac{k}{10}$，$b=10k$；
(3) $x=70000$
【知识点】
算术平方根的性质、小数点移动规律
【点评】
本题先通过观察归纳得到算术平方根与被开方数的小数点移动关联规律，再将规律应用到实际计算中，既考查了学生的归纳总结能力，也检验了对算术平方根性质的理解和迁移运用能力，是算术平方根板块的经典题型。
【难度系数】
0.7
18.（跨学科·物理）一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间$t$（单位：s）与开始落下时的高度$h$（单位：m）有下面的关系式：$t = \sqrt{\frac{h}{5}}$。
（1）已知$h = 100\ \mathrm{m}$，求落下所用的时间；（结果保留小数点后两位）
（2）若一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多长时间？（无地下室，每层楼高约$3.5\ \mathrm{m}$，手拿物体高为$1.5\ \mathrm{m}$）（结果保留小数点后两位）
（3）如果一物体落地的时间为$3.6\ \mathrm{s}$，求物体开始下落时的高度。
（1）已知$h = 100\ \mathrm{m}$，求落下所用的时间；（结果保留小数点后两位）
（2）若一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多长时间？（无地下室，每层楼高约$3.5\ \mathrm{m}$，手拿物体高为$1.5\ \mathrm{m}$）（结果保留小数点后两位）
（3）如果一物体落地的时间为$3.6\ \mathrm{s}$，求物体开始下落时的高度。
答案
18. (1)$4.47\ \mathrm{s}.$
(2)$1.76\ \mathrm{s}.$
(3)物体开始下落时的高度为$64.8\ \mathrm{m}.$
(2)$1.76\ \mathrm{s}.$
(3)物体开始下落时的高度为$64.8\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
这道题是结合物理自由落体情境的代数式计算问题，解题思路清晰：（1）第一问已知下落高度h，直接将h的数值代入给定的时间公式，计算二次根式结果后按要求保留两位小数即可；（2）第二问需先结合生活常识计算总下落高度：从五楼下落时，站立的五楼地面和一楼地面间隔4层楼，先算出4层楼的总层高，再加手拿物体的高度得到总h，再代入公式求t；（3）第三问已知落地时间t，先利用等式性质对原式变形，两边平方后推导得到用t表示h的式子，再代入t的数值计算即可。
【解析】
（1）把$h=100\ \mathrm{m}$代入公式$t = \sqrt{\frac{h}{5}}$：
$t=\sqrt{\frac{100}{5}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx2×2.236\approx4.47\ \mathrm{s}$
（2）先计算总下落高度：
楼层间隔数为$5-1=4$层，总层高为$4×3.5=14\ \mathrm{m}$，加上手拿物体的高度，总高度$h=14+1.5=15.5\ \mathrm{m}$
代入公式得：
$t=\sqrt{\frac{15.5}{5}}=\sqrt{3.1}\approx1.76\ \mathrm{s}$
（3）对公式$t = \sqrt{\frac{h}{5}}$两边同时平方，可得$t^2=\frac{h}{5}$，变形得$h=5t^2$
把$t=3.6\ \mathrm{s}$代入得：
$h=5×(3.6)^2=5×12.96=64.8\ \mathrm{m}$
【答案】
（1）$4.47\ \mathrm{s}$
（2）$1.76\ \mathrm{s}$
（3）$64.8\ \mathrm{m}$
【知识点】
代数式求值、二次根式运算、等式变形
【点评】
本题结合生活中的物理情境考查基础代数计算，解题时要注意结合实际场景准确计算下落高度，计算二次根式时需按要求保留小数位数，整体难度较低，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.7
这道题是结合物理自由落体情境的代数式计算问题，解题思路清晰：（1）第一问已知下落高度h，直接将h的数值代入给定的时间公式，计算二次根式结果后按要求保留两位小数即可；（2）第二问需先结合生活常识计算总下落高度：从五楼下落时，站立的五楼地面和一楼地面间隔4层楼，先算出4层楼的总层高，再加手拿物体的高度得到总h，再代入公式求t；（3）第三问已知落地时间t，先利用等式性质对原式变形，两边平方后推导得到用t表示h的式子，再代入t的数值计算即可。
【解析】
（1）把$h=100\ \mathrm{m}$代入公式$t = \sqrt{\frac{h}{5}}$：
$t=\sqrt{\frac{100}{5}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx2×2.236\approx4.47\ \mathrm{s}$
（2）先计算总下落高度：
楼层间隔数为$5-1=4$层，总层高为$4×3.5=14\ \mathrm{m}$，加上手拿物体的高度，总高度$h=14+1.5=15.5\ \mathrm{m}$
代入公式得：
$t=\sqrt{\frac{15.5}{5}}=\sqrt{3.1}\approx1.76\ \mathrm{s}$
（3）对公式$t = \sqrt{\frac{h}{5}}$两边同时平方，可得$t^2=\frac{h}{5}$，变形得$h=5t^2$
把$t=3.6\ \mathrm{s}$代入得：
$h=5×(3.6)^2=5×12.96=64.8\ \mathrm{m}$
【答案】
（1）$4.47\ \mathrm{s}$
（2）$1.76\ \mathrm{s}$
（3）$64.8\ \mathrm{m}$
【知识点】
代数式求值、二次根式运算、等式变形
【点评】
本题结合生活中的物理情境考查基础代数计算，解题时要注意结合实际场景准确计算下落高度，计算二次根式时需按要求保留小数位数，整体难度较低，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.7
