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一、二元一次方程、二元一次方程组
答案
解：
知识点1：二元一次方程判定
判定规则：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，为二元一次方程。
对下列各式逐一判定：
(1) $3x+2y$：不是等式，不属于二元一次方程。
(2) $2x-y=1$：符合定义，是二元一次方程。
(3) $xy=3$：含未知数的项$xy$的次数为2，不属于二元一次方程。
(4) $x^2+x-y=0$：含未知数的项$x^2$的次数为2，不属于二元一次方程。
(5) $\frac{1}{x}+y=2$：不是整式方程，不属于二元一次方程。
(6) $x+3=5y$：符合定义，是二元一次方程。
---
典型题：已知$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$是二元一次方程$ax+y=3$的一组解，求$a$的值
将$x=2$，$y=1$代入方程$ax+y=3$，得
$2a + 1 = 3$
移项得$2a = 3-1$
合并同类项得$2a=2$
系数化为1得$a=1$
---
知识点2：二元一次方程组判定
判定规则：方程组共含2个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且由2个整式方程组成，为二元一次方程组。
对下列方程组逐一判定：
(1) $\begin{cases} x+y=3 \\ 2x-z=5 \end{cases}$：共3个未知数，不属于二元一次方程组。
(2) $\begin{cases} x+2y=4 \\ 3x-y=7 \end{cases}$：符合定义，是二元一次方程组。
(3) $\begin{cases} xy=2 \\ x+y=3 \end{cases}$：含未知数的项$xy$的次数为2，不属于二元一次方程组。
(4) $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$：符合定义，是二元一次方程组。
知识点1：二元一次方程判定
判定规则：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，为二元一次方程。
对下列各式逐一判定：
(1) $3x+2y$：不是等式，不属于二元一次方程。
(2) $2x-y=1$：符合定义，是二元一次方程。
(3) $xy=3$：含未知数的项$xy$的次数为2，不属于二元一次方程。
(4) $x^2+x-y=0$：含未知数的项$x^2$的次数为2，不属于二元一次方程。
(5) $\frac{1}{x}+y=2$：不是整式方程，不属于二元一次方程。
(6) $x+3=5y$：符合定义，是二元一次方程。
---
典型题：已知$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$是二元一次方程$ax+y=3$的一组解，求$a$的值
将$x=2$，$y=1$代入方程$ax+y=3$，得
$2a + 1 = 3$
移项得$2a = 3-1$
合并同类项得$2a=2$
系数化为1得$a=1$
---
知识点2：二元一次方程组判定
判定规则：方程组共含2个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且由2个整式方程组成，为二元一次方程组。
对下列方程组逐一判定：
(1) $\begin{cases} x+y=3 \\ 2x-z=5 \end{cases}$：共3个未知数，不属于二元一次方程组。
(2) $\begin{cases} x+2y=4 \\ 3x-y=7 \end{cases}$：符合定义，是二元一次方程组。
(3) $\begin{cases} xy=2 \\ x+y=3 \end{cases}$：含未知数的项$xy$的次数为2，不属于二元一次方程组。
(4) $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$：符合定义，是二元一次方程组。
解析
【分析】
本专题围绕二元一次方程、二元一次方程组的基础知识点展开，解题思路可分为两类：①判定类：先牢记对应定义的核心判定条件，再将待判定的式子/方程组和条件逐一核对，全部符合才属于对应概念；②参数求解类：已知方程的解求参数时，直接把解代入原方程，将二元方程转化为只含参数的一元一次方程，按一元一次方程的解法求解即可。
【解析】
一、二元一次方程判定
判定规则：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，为二元一次方程。
对各式逐一判定：
(1) $3x+2y$：是代数式不是等式，不满足方程的定义，不属于二元一次方程；
(2) $2x-y=1$：含有2个未知数，含未知数的项次数均为1，是整式方程，符合定义，是二元一次方程；
(3) $xy=3$：含未知数的项$xy$的次数为$1+1=2$，不符合次数要求，不属于二元一次方程；
(4) $x^2+x-y=0$：含未知数的项$x^2$的次数为2，不符合要求，不属于二元一次方程；
(5) $\frac{1}{x}+y=2$：分母含未知数，不是整式方程，不属于二元一次方程；
(6) $x+3=5y$：含有2个未知数，含未知数的项次数均为1，是整式方程，符合定义，是二元一次方程。
二、典型题求解
已知$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$是二元一次方程$ax+y=3$的一组解，求$a$的值。
解：将$x=2$、$y=1$代入方程$ax+y=3$，得：
$2a + 1 = 3$
移项得$2a = 3-1$
合并同类项得$2a=2$
系数化为1得$a=1$
三、二元一次方程组判定
判定规则：方程组共含2个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且由2个整式方程组成，为二元一次方程组。
对各方程组逐一判定：
(1) $\begin{cases} x+y=3 \\ 2x-z=5 \end{cases}$：共含x、y、z3个未知数，不符合要求，不属于二元一次方程组；
(2) $\begin{cases} x+2y=4 \\ 3x-y=7 \end{cases}$：共含2个未知数，含未知数的项次数均为1，由2个整式方程组成，符合定义，是二元一次方程组；
(3) $\begin{cases} xy=2 \\ x+y=3 \end{cases}$：含未知数的项$xy$的次数为2，不符合要求，不属于二元一次方程组；
(4) $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$：共含2个未知数，含未知数的项次数均为1，由2个整式方程组成，符合定义，是二元一次方程组。
【答案】
二元一次方程判定结果：(1)不是；(2)是；(3)不是；(4)不是；(5)不是；(6)是
典型题中$a$的值为$\boxed{1}$
二元一次方程组判定结果：(1)不是；(2)是；(3)不是；(4)是
【知识点】
1. 二元一次方程判定
2. 二元一次方程组判定
3. 代入法求参数
【点评】
本部分是二元一次方程组模块的入门基础内容，核心是抓住定义的几个关键要素：未知数的数量、含未知数项的次数、整式属性，判定时逐一核对条件即可减少失误，代入法求参数是本模块的基础常考题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
本专题围绕二元一次方程、二元一次方程组的基础知识点展开，解题思路可分为两类：①判定类：先牢记对应定义的核心判定条件，再将待判定的式子/方程组和条件逐一核对，全部符合才属于对应概念；②参数求解类：已知方程的解求参数时，直接把解代入原方程，将二元方程转化为只含参数的一元一次方程，按一元一次方程的解法求解即可。
【解析】
一、二元一次方程判定
判定规则：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程，为二元一次方程。
对各式逐一判定：
(1) $3x+2y$：是代数式不是等式，不满足方程的定义，不属于二元一次方程；
(2) $2x-y=1$：含有2个未知数，含未知数的项次数均为1，是整式方程，符合定义，是二元一次方程；
(3) $xy=3$：含未知数的项$xy$的次数为$1+1=2$，不符合次数要求，不属于二元一次方程；
(4) $x^2+x-y=0$：含未知数的项$x^2$的次数为2，不符合要求，不属于二元一次方程；
(5) $\frac{1}{x}+y=2$：分母含未知数，不是整式方程，不属于二元一次方程；
(6) $x+3=5y$：含有2个未知数，含未知数的项次数均为1，是整式方程，符合定义，是二元一次方程。
二、典型题求解
已知$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$是二元一次方程$ax+y=3$的一组解，求$a$的值。
解：将$x=2$、$y=1$代入方程$ax+y=3$，得：
$2a + 1 = 3$
移项得$2a = 3-1$
合并同类项得$2a=2$
系数化为1得$a=1$
三、二元一次方程组判定
判定规则：方程组共含2个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且由2个整式方程组成，为二元一次方程组。
对各方程组逐一判定：
(1) $\begin{cases} x+y=3 \\ 2x-z=5 \end{cases}$：共含x、y、z3个未知数，不符合要求，不属于二元一次方程组；
(2) $\begin{cases} x+2y=4 \\ 3x-y=7 \end{cases}$：共含2个未知数，含未知数的项次数均为1，由2个整式方程组成，符合定义，是二元一次方程组；
(3) $\begin{cases} xy=2 \\ x+y=3 \end{cases}$：含未知数的项$xy$的次数为2，不符合要求，不属于二元一次方程组；
(4) $\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$：共含2个未知数，含未知数的项次数均为1，由2个整式方程组成，符合定义，是二元一次方程组。
【答案】
二元一次方程判定结果：(1)不是；(2)是；(3)不是；(4)不是；(5)不是；(6)是
典型题中$a$的值为$\boxed{1}$
二元一次方程组判定结果：(1)不是；(2)是；(3)不是；(4)是
【知识点】
1. 二元一次方程判定
2. 二元一次方程组判定
3. 代入法求参数
【点评】
本部分是二元一次方程组模块的入门基础内容，核心是抓住定义的几个关键要素：未知数的数量、含未知数项的次数、整式属性，判定时逐一核对条件即可减少失误，代入法求参数是本模块的基础常考题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
1. 若$x^{|a|-1}-(a-2)y+3=0$是关于$x,y$的二元一次方程,则$a$的值为 (
A.$\pm 2$
B.$2$
C.$0$
D.$-2$
D
)A.$\pm 2$
B.$2$
C.$0$
D.$-2$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决本题，需结合二元一次方程的定义分析条件：二元一次方程需同时满足三个要求：①含有两个未知数；②含未知数的项的次数都为1；③是整式方程。我们先根据x的次数为1求出a的可能取值，再根据y的系数不能为0（保证存在y项，有两个未知数）排除错误取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ $x^{|a|-1}-(a-2)y+3=0$ 是关于x，y的二元一次方程
∴ 首先满足x的次数为1，即：
$|a| - 1 = 1$
解得 $|a|=2$，即 $a=2$ 或 $a=-2$
其次需保证y的系数不为0，否则方程只含x一个未知数，不符合二元一次方程的要求：
$-(a - 2) ≠ 0$
解得 $a ≠ 2$
综上，a只能取-2，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题是二元一次方程定义的基础应用题型，解题的易错点是容易忽略含y项的系数不能为0的限制条件，误选含有2的选项，解题时要注意验证两个未知数的系数均不为0。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合二元一次方程的定义分析条件：二元一次方程需同时满足三个要求：①含有两个未知数；②含未知数的项的次数都为1；③是整式方程。我们先根据x的次数为1求出a的可能取值，再根据y的系数不能为0（保证存在y项，有两个未知数）排除错误取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ $x^{|a|-1}-(a-2)y+3=0$ 是关于x，y的二元一次方程
∴ 首先满足x的次数为1，即：
$|a| - 1 = 1$
解得 $|a|=2$，即 $a=2$ 或 $a=-2$
其次需保证y的系数不为0，否则方程只含x一个未知数，不符合二元一次方程的要求：
$-(a - 2) ≠ 0$
解得 $a ≠ 2$
综上，a只能取-2，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题是二元一次方程定义的基础应用题型，解题的易错点是容易忽略含y项的系数不能为0的限制条件，误选含有2的选项，解题时要注意验证两个未知数的系数均不为0。
【难度系数】
0.7
2. 端午节前,某食品加工厂准备将生产的粽子装入A,B两种食品盒中,A种食品盒每盒装8个粽子,B种食品盒每盒装10个粽子.若现将200个粽子分别装入A,B两种食品盒中(两种食品盒均要使用并且装满),则不同的分装方式有 (
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
C
)A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
答案
2.C
解析
【分析】
首先，我们需要根据题目中的等量关系列出方程。题目要求两种食品盒均使用且装满，所以A、B两种盒子的数量都是正整数，我们只需要求出所列二元一次方程的正整数解的个数，就能得到不同的分装方式数。解题步骤为：1. 设A、B两种食品盒的个数分别为x、y（x、y均为正整数）；2. 根据粽子总数列出方程；3. 化简方程，结合x、y为正整数的限制条件找出所有符合要求的解，统计解的个数即可。
【解析】
解：设使用A种食品盒$x$个，B种食品盒$y$个，其中$x、y$均为正整数。
根据题意，粽子总数为200个，可列方程：
$8x + 10y = 200$
化简方程，两边同时除以2得：
$4x + 5y = 100$
将方程变形为用$y$表示$x$的形式：
$x = \frac{100 - 5y}{4} = 25 - \frac{5y}{4}$
因为$x$为正整数，所以$\frac{5y}{4}$必须为正整数，且$x＞0$。
由于5和4互质，因此$y$必须是4的正整数倍，且满足：
$25 - \frac{5y}{4} ＞ 0$
解得$y ＜ 20$
综上，$y$可取的值为4、8、12、16，对应$x$的值分别为20、15、10、5，共4组正整数解，即有4种不同的分装方式。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的应用；二元一次方程的正整数解
【点评】
本题属于二元一次方程的实际应用类题目，解题的核心是结合未知数的实际意义（正整数、两种盒子都要使用）筛选符合要求的解，易错点是忽略$x、y$均为正整数的限制，出现多算$x=0$或$y=0$的情况。
【难度系数】
0.7
首先，我们需要根据题目中的等量关系列出方程。题目要求两种食品盒均使用且装满，所以A、B两种盒子的数量都是正整数，我们只需要求出所列二元一次方程的正整数解的个数，就能得到不同的分装方式数。解题步骤为：1. 设A、B两种食品盒的个数分别为x、y（x、y均为正整数）；2. 根据粽子总数列出方程；3. 化简方程，结合x、y为正整数的限制条件找出所有符合要求的解，统计解的个数即可。
【解析】
解：设使用A种食品盒$x$个，B种食品盒$y$个，其中$x、y$均为正整数。
根据题意，粽子总数为200个，可列方程：
$8x + 10y = 200$
化简方程，两边同时除以2得：
$4x + 5y = 100$
将方程变形为用$y$表示$x$的形式：
$x = \frac{100 - 5y}{4} = 25 - \frac{5y}{4}$
因为$x$为正整数，所以$\frac{5y}{4}$必须为正整数，且$x＞0$。
由于5和4互质，因此$y$必须是4的正整数倍，且满足：
$25 - \frac{5y}{4} ＞ 0$
解得$y ＜ 20$
综上，$y$可取的值为4、8、12、16，对应$x$的值分别为20、15、10、5，共4组正整数解，即有4种不同的分装方式。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的应用；二元一次方程的正整数解
【点评】
本题属于二元一次方程的实际应用类题目，解题的核心是结合未知数的实际意义（正整数、两种盒子都要使用）筛选符合要求的解，易错点是忽略$x、y$均为正整数的限制，出现多算$x=0$或$y=0$的情况。
【难度系数】
0.7
3. 某市举办了第10届青少年机器人竞赛.组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个.若桌子腿数与凳子腿数的和为40条,则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子? 设有x张桌子,有y条凳子.根据题意所列方程组正确
的是
(
A.$\begin{cases} x+y=40, \\ 4x+3y=12 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=12, \\ 4x+3y=40 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=40, \\ 3x+4y=12 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=12, \\ 3x+4y=40 \end{cases}$
的是
(
B
)A.$\begin{cases} x+y=40, \\ 4x+3y=12 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=12, \\ 4x+3y=40 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=40, \\ 3x+4y=12 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=12, \\ 3x+4y=40 \end{cases}$
答案
3.B
解析
【分析】
要解决这道列方程组的题目，首先需要找到题目中两个独立的等量关系：第一个是桌子和凳子的总数量，第二个是桌子腿和凳子腿的总数量。第一步，先看总数量：题目明确说桌子和凳子共12个，设有x张桌子、y条凳子，所以桌子数加凳子数等于12，就能得到第一个方程；第二步，看总腿数：每张桌子4条腿，x张桌子总腿数是4x，每条凳子3条腿，y条凳子总腿数是3y，两种腿数加起来是40条，就能得到第二个方程，最后把两个方程组合起来对应选项即可。
【解析】
首先根据“桌子和凳子共12个”，可得等量关系：桌子数量+凳子数量=12，代入未知数得：
$x + y = 12$
再根据“桌子腿数与凳子腿数的和为40条”，每张桌子4条腿、每条凳子3条腿，可得等量关系：桌子总腿数+凳子总腿数=40，代入未知数得：
$4x + 3y = 40$
因此联立得到的方程组为$\begin{cases} x+y=12 \\ 4x+3y=40 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列二元一次方程组；找等量关系
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础题型，解题核心是准确从题干信息中提取两个互不关联的等量关系，分别列方程后联立即可，注意不要混淆不同物品对应单位数量的数值。
【难度系数】
0.8
要解决这道列方程组的题目，首先需要找到题目中两个独立的等量关系：第一个是桌子和凳子的总数量，第二个是桌子腿和凳子腿的总数量。第一步，先看总数量：题目明确说桌子和凳子共12个，设有x张桌子、y条凳子，所以桌子数加凳子数等于12，就能得到第一个方程；第二步，看总腿数：每张桌子4条腿，x张桌子总腿数是4x，每条凳子3条腿，y条凳子总腿数是3y，两种腿数加起来是40条，就能得到第二个方程，最后把两个方程组合起来对应选项即可。
【解析】
首先根据“桌子和凳子共12个”，可得等量关系：桌子数量+凳子数量=12，代入未知数得：
$x + y = 12$
再根据“桌子腿数与凳子腿数的和为40条”，每张桌子4条腿、每条凳子3条腿，可得等量关系：桌子总腿数+凳子总腿数=40，代入未知数得：
$4x + 3y = 40$
因此联立得到的方程组为$\begin{cases} x+y=12 \\ 4x+3y=40 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列二元一次方程组；找等量关系
【点评】
本题是二元一次方程组应用的基础题型，解题核心是准确从题干信息中提取两个互不关联的等量关系，分别列方程后联立即可，注意不要混淆不同物品对应单位数量的数值。
【难度系数】
0.8
