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13. 如图9-28,在平面直角坐标系中,已知$A(-4,0),B(2,0)$,点$C$在$y$轴正半轴上,且$S_{\mathrm{三角形}ABC}=18$.
(1)求点$C$的坐标.
(2)是否存在位于坐标轴上的点$P$,使$S_{\mathrm{三角形}ABC}=2S_{\mathrm{三角形}ACP}$?若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.(提示:点$P$可能在$x$轴上,也可能在$y$轴上)
图9-28
(1)求点$C$的坐标.
(2)是否存在位于坐标轴上的点$P$,使$S_{\mathrm{三角形}ABC}=2S_{\mathrm{三角形}ACP}$?若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.(提示:点$P$可能在$x$轴上,也可能在$y$轴上)
图9-28
答案
13. (1)设点C的坐标为$(0,c)(c＞0)$,
$\because\ \ S_{\mathrm{三角形}ABC}=18$,
$\therefore\ \ \frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}×[2-(-4)]× c=18$.
解得$c=6$.
$\therefore\ \ $点C的坐标为$(0,6)$.
(2)假设存在.
当点P在x轴上时,设点P的坐标为$(a,0)$;
当点P在y轴上时,设点P的坐标为$(0,b)$.
$\because\ \ S_{\mathrm{三角形}ABC}=2S_{\mathrm{三角形}ACP}=18$,
$\therefore\ \ \frac{1}{2}×|a-(-4)|×6=9$或$\frac{1}{2}×|b-6|×4=9$.
解得$a=-1$或$a=-7$,$b=10.5$或$b=1.5$.
故存在符合题意的点P,点P的坐标为$(-1,0)$或$(-7,0)$或$(0,10.5)$或$(0,1.5)$.
$\because\ \ S_{\mathrm{三角形}ABC}=18$,
$\therefore\ \ \frac{1}{2}AB· OC=\frac{1}{2}×[2-(-4)]× c=18$.
解得$c=6$.
$\therefore\ \ $点C的坐标为$(0,6)$.
(2)假设存在.
当点P在x轴上时,设点P的坐标为$(a,0)$;
当点P在y轴上时,设点P的坐标为$(0,b)$.
$\because\ \ S_{\mathrm{三角形}ABC}=2S_{\mathrm{三角形}ACP}=18$,
$\therefore\ \ \frac{1}{2}×|a-(-4)|×6=9$或$\frac{1}{2}×|b-6|×4=9$.
解得$a=-1$或$a=-7$,$b=10.5$或$b=1.5$.
故存在符合题意的点P,点P的坐标为$(-1,0)$或$(-7,0)$或$(0,10.5)$或$(0,1.5)$.
解析
【分析】
(1) 要求点C的坐标，已知点C在y轴正半轴，故横坐标为0，只需求纵坐标即可。首先由A、B的坐标可求出AB的长度，三角形ABC以AB为底时，高为点C的纵坐标长度OC，结合已知的三角形面积，代入面积公式即可列方程求出C的纵坐标，得到C的坐标。
(2) 先根据题意得$S_{\mathrm{三角形}ACP}=9$，由于点P在坐标轴上，需分两种情况讨论：①点P在x轴上；②点P在y轴上。分别设出点P的坐标，用坐标表示出对应三角形的底和高，代入面积公式列含绝对值的方程求解，即可得到所有符合条件的点P的坐标，注意绝对值方程的解有两种情况，不要漏解。
【解析】
(1) 设点C的坐标为$(0,c)(c＞0)$，
由$A(-4,0)$，$B(2,0)$可得$AB$的长度为$2-(-4)=6$，
$\because S_{\mathrm{三角形}ABC}=18$，且三角形ABC以AB为底时，高为OC的长度$c$，
$\therefore \frac{1}{2} × AB × OC = \frac{1}{2} × 6 × c =18$，
解得$c=6$，
$\therefore$ 点C的坐标为$(0,6)$。
(2) 存在符合条件的点P，理由如下：
由$S_{\mathrm{三角形}ABC}=2S_{\mathrm{三角形}ACP}=18$，可得$S_{\mathrm{三角形}ACP}=9$。
分两种情况讨论：
① 当点P在x轴上时，设点P的坐标为$(a,0)$，此时三角形ACP以AP为底，高为点C的纵坐标6，
$\therefore \frac{1}{2} × |a - (-4)| × 6 =9$，
即$|a+4|=3$，
解得$a=-1$或$a=-7$，此时点P的坐标为$(-1,0)$或$(-7,0)$；
② 当点P在y轴上时，设点P的坐标为$(0,b)$，此时三角形ACP以CP为底，高为点A到y轴的距离4，
$\therefore \frac{1}{2} × |b -6| ×4 =9$，
即$|b-6|=4.5$，
解得$b=10.5$或$b=1.5$，此时点P的坐标为$(0,10.5)$或$(0,1.5)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,6)}$；
(2) 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(-1,0)}$、$\boldsymbol{(-7,0)}$、$\boldsymbol{(0,10.5)}$、$\boldsymbol{(0,1.5)}$。
【知识点】
坐标系中三角形面积计算；分类讨论思想；绝对值方程求解
【点评】
本题围绕平面直角坐标系中三角形面积的计算展开，重点考察了坐标与图形的性质，解题时需要根据点的位置进行分类讨论，尤其要注意绝对值方程有两个解，避免出现漏解的情况，是平面直角坐标系章节的典型应用题。
【难度系数】
0.6
(1) 要求点C的坐标，已知点C在y轴正半轴，故横坐标为0，只需求纵坐标即可。首先由A、B的坐标可求出AB的长度，三角形ABC以AB为底时，高为点C的纵坐标长度OC，结合已知的三角形面积，代入面积公式即可列方程求出C的纵坐标，得到C的坐标。
(2) 先根据题意得$S_{\mathrm{三角形}ACP}=9$，由于点P在坐标轴上，需分两种情况讨论：①点P在x轴上；②点P在y轴上。分别设出点P的坐标，用坐标表示出对应三角形的底和高，代入面积公式列含绝对值的方程求解，即可得到所有符合条件的点P的坐标，注意绝对值方程的解有两种情况，不要漏解。
【解析】
(1) 设点C的坐标为$(0,c)(c＞0)$，
由$A(-4,0)$，$B(2,0)$可得$AB$的长度为$2-(-4)=6$，
$\because S_{\mathrm{三角形}ABC}=18$，且三角形ABC以AB为底时，高为OC的长度$c$，
$\therefore \frac{1}{2} × AB × OC = \frac{1}{2} × 6 × c =18$，
解得$c=6$，
$\therefore$ 点C的坐标为$(0,6)$。
(2) 存在符合条件的点P，理由如下：
由$S_{\mathrm{三角形}ABC}=2S_{\mathrm{三角形}ACP}=18$，可得$S_{\mathrm{三角形}ACP}=9$。
分两种情况讨论：
① 当点P在x轴上时，设点P的坐标为$(a,0)$，此时三角形ACP以AP为底，高为点C的纵坐标6，
$\therefore \frac{1}{2} × |a - (-4)| × 6 =9$，
即$|a+4|=3$，
解得$a=-1$或$a=-7$，此时点P的坐标为$(-1,0)$或$(-7,0)$；
② 当点P在y轴上时，设点P的坐标为$(0,b)$，此时三角形ACP以CP为底，高为点A到y轴的距离4，
$\therefore \frac{1}{2} × |b -6| ×4 =9$，
即$|b-6|=4.5$，
解得$b=10.5$或$b=1.5$，此时点P的坐标为$(0,10.5)$或$(0,1.5)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(0,6)}$；
(2) 存在，点P的坐标为$\boldsymbol{(-1,0)}$、$\boldsymbol{(-7,0)}$、$\boldsymbol{(0,10.5)}$、$\boldsymbol{(0,1.5)}$。
【知识点】
坐标系中三角形面积计算；分类讨论思想；绝对值方程求解
【点评】
本题围绕平面直角坐标系中三角形面积的计算展开，重点考察了坐标与图形的性质，解题时需要根据点的位置进行分类讨论，尤其要注意绝对值方程有两个解，避免出现漏解的情况，是平面直角坐标系章节的典型应用题。
【难度系数】
0.6
