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1. 下列无理数中,大小与4最接近的是 (
A.$\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{17}$
D
)A.$\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{17}$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个无理数与4最接近，可利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，将所有数统一平方后转化为有理数比较：先计算4的平方，再分别计算各选项中无理数的平方，对比各平方值与4的平方的差值，差值越小说明对应的无理数与4越接近。
【解析】
首先计算4的平方：$4^2 = 16$
分别计算各选项无理数的平方，再求与16的差值：
A. $(\sqrt{7})^2 = 7$，与16的差值为$16 - 7 = 9$
B. $(2\sqrt{2})^2 = 2^2 × (\sqrt{2})^2 = 4 × 2 = 8$，与16的差值为$16 - 8 = 8$
C. $(\sqrt{13})^2 = 13$，与16的差值为$16 - 13 = 3$
D. $(\sqrt{17})^2 = 17$，与16的差值为$17 - 16 = 1$
对比可知，$\sqrt{17}$的平方与16的差值最小，因此$\sqrt{17}$与4最接近。
【答案】
D
【知识点】
无理数估算、实数大小比较、算术平方根性质
【点评】
本题考查无理数与有理数的大小比较，将带根号的无理数平方转化为有理数比较的方法十分常用，能有效降低计算难度，是实数相关比较类题目的基础解法。
【难度系数】
0.85
要判断哪个无理数与4最接近，可利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，将所有数统一平方后转化为有理数比较：先计算4的平方，再分别计算各选项中无理数的平方，对比各平方值与4的平方的差值，差值越小说明对应的无理数与4越接近。
【解析】
首先计算4的平方：$4^2 = 16$
分别计算各选项无理数的平方，再求与16的差值：
A. $(\sqrt{7})^2 = 7$，与16的差值为$16 - 7 = 9$
B. $(2\sqrt{2})^2 = 2^2 × (\sqrt{2})^2 = 4 × 2 = 8$，与16的差值为$16 - 8 = 8$
C. $(\sqrt{13})^2 = 13$，与16的差值为$16 - 13 = 3$
D. $(\sqrt{17})^2 = 17$，与16的差值为$17 - 16 = 1$
对比可知，$\sqrt{17}$的平方与16的差值最小，因此$\sqrt{17}$与4最接近。
【答案】
D
【知识点】
无理数估算、实数大小比较、算术平方根性质
【点评】
本题考查无理数与有理数的大小比较，将带根号的无理数平方转化为有理数比较的方法十分常用，能有效降低计算难度，是实数相关比较类题目的基础解法。
【难度系数】
0.85
2.框中的内容是某同学完成的作业，他作答正确的有 （
填空：
①－1 的倒数是$\underline{1}$；
②$\underline{1}$的平方根、立方根都等于它本身；
③$(-\dfrac{1}{3})^2=\underline{9}$；
④$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-\underline{1}$；
⑤$\sqrt[3]{-8}=-\underline{\sqrt[3]{8}}$.
A.1题
B.2题
C.3题
D.4题
B
）填空：
①－1 的倒数是$\underline{1}$；
②$\underline{1}$的平方根、立方根都等于它本身；
③$(-\dfrac{1}{3})^2=\underline{9}$；
④$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-\underline{1}$；
⑤$\sqrt[3]{-8}=-\underline{\sqrt[3]{8}}$.
A.1题
B.2题
C.3题
D.4题
答案
2.B
解析
【分析】
解决本题需要依次判断该同学5道小题的作答是否正确，统计正确题数后对应选项即可。首先回忆倒数、平方根、立方根、乘方、绝对值的相关性质，逐个算出每道题的正确结果，再和同学的答案对比，一致则为正确，最终统计正确的总题数。
【解析】
我们逐个判断作答是否正确：
① 根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，$\because (-1)×(-1)=1$，$\therefore -1$的倒数是$-1$，同学填1，作答错误；
② 平方根等于它本身的数只有0，立方根等于它本身的数有0、1、-1，因此平方根和立方根都等于本身的数是0，同学填1，作答错误；
③ 乘方运算：$(-\dfrac{1}{3})^2=(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{9}$，同学填9，作答错误；
④ 根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，$\because \sqrt{2}\approx1.414＞1$，$\therefore 1-\sqrt{2}＜0$，$\therefore |1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，同学填1，作答正确；
⑤ 根据立方根的性质：$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，因此$\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}$，同学填$\sqrt[3]{8}$，作答正确。
综上，作答正确的有④和⑤，共2题。
【答案】
B
【知识点】
实数的相关概念，绝对值的性质，乘方运算
【点评】
本题属于基础概念综合题，考查对实数相关基础性质的掌握，做题时要注意区分不同概念的易错点，比如平方根等于本身的数仅为0，不要和立方根的适用范围混淆，乘方运算要注意不要遗漏对分母的运算。
【难度系数】
0.7
解决本题需要依次判断该同学5道小题的作答是否正确，统计正确题数后对应选项即可。首先回忆倒数、平方根、立方根、乘方、绝对值的相关性质，逐个算出每道题的正确结果，再和同学的答案对比，一致则为正确，最终统计正确的总题数。
【解析】
我们逐个判断作答是否正确：
① 根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，$\because (-1)×(-1)=1$，$\therefore -1$的倒数是$-1$，同学填1，作答错误；
② 平方根等于它本身的数只有0，立方根等于它本身的数有0、1、-1，因此平方根和立方根都等于本身的数是0，同学填1，作答错误；
③ 乘方运算：$(-\dfrac{1}{3})^2=(-\dfrac{1}{3})×(-\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{9}$，同学填9，作答错误；
④ 根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，$\because \sqrt{2}\approx1.414＞1$，$\therefore 1-\sqrt{2}＜0$，$\therefore |1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，同学填1，作答正确；
⑤ 根据立方根的性质：$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，因此$\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}$，同学填$\sqrt[3]{8}$，作答正确。
综上，作答正确的有④和⑤，共2题。
【答案】
B
【知识点】
实数的相关概念，绝对值的性质，乘方运算
【点评】
本题属于基础概念综合题，考查对实数相关基础性质的掌握，做题时要注意区分不同概念的易错点，比如平方根等于本身的数仅为0，不要和立方根的适用范围混淆，乘方运算要注意不要遗漏对分母的运算。
【难度系数】
0.7
3.要生产一种容积为$36π$的球形容器,则球形容器的半径$R$的值是(球的体积公式是$V=\frac{4}{3}π R^3$) （
A.9
B.6
C.$\sqrt[3]{36}$
D.3
D
）A.9
B.6
C.$\sqrt[3]{36}$
D.3
答案
3.D
解析
【分析】
本题已知球形容器的容积（即球的体积）和球的体积公式，要求球的半径，解题思路为：先将已知的体积数值代入球的体积公式，得到关于半径R的方程，再通过解方程、计算立方根求出R的值即可。
【解析】
已知球的体积公式为$V=\frac{4}{3}π R^3$，容器容积$V=36π$，将$V=36π$代入公式得：
$36π = \frac{4}{3}π R^3$
两边同时除以$π$，得：$36 = \frac{4}{3} R^3$
两边同时乘$\frac{3}{4}$，得：$R^3 = 36 × \frac{3}{4} = 27$
因为$3^3=27$，所以$R=\sqrt[3]{27}=3$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
立方根的运算；公式代入求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是正确将已知数值代入对应公式，先化简再计算立方根即可得到结果，运算时注意不要漏看公式里的系数。
【难度系数】
0.9
本题已知球形容器的容积（即球的体积）和球的体积公式，要求球的半径，解题思路为：先将已知的体积数值代入球的体积公式，得到关于半径R的方程，再通过解方程、计算立方根求出R的值即可。
【解析】
已知球的体积公式为$V=\frac{4}{3}π R^3$，容器容积$V=36π$，将$V=36π$代入公式得：
$36π = \frac{4}{3}π R^3$
两边同时除以$π$，得：$36 = \frac{4}{3} R^3$
两边同时乘$\frac{3}{4}$，得：$R^3 = 36 × \frac{3}{4} = 27$
因为$3^3=27$，所以$R=\sqrt[3]{27}=3$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
立方根的运算；公式代入求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是正确将已知数值代入对应公式，先化简再计算立方根即可得到结果，运算时注意不要漏看公式里的系数。
【难度系数】
0.9
4. $3a - 4$ 和 $12 - 5a$ 是一个正数的两个平方根,则这个正数是 (
A.4
B.64
C.4 或 8
D.4 或 64
B
)A.4
B.64
C.4 或 8
D.4 或 64
答案
4.B
解析
【分析】
本题可根据平方根的性质求解，首先明确：一个正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数之和为0。我们可以先依据这一性质列关于a的一元一次方程，解出a的取值后，代入任意一个平方根，将其平方即可得到这个正数的大小。注意题目明确是正数的两个平方根，因此不存在两个平方根相等的情况（仅0的平方根相等），无需额外讨论两式相等的情形。
【解析】
解：
∵ 正数的两个平方根互为相反数，其和为0
∴ 可列方程：
$\begin{aligned}3a - 4 + 12 - 5a &= 0 \\-2a + 8 &= 0 \\-2a &= -8 \\a &= 4\end{aligned}$
将$a=4$代入$3a-4$得：$3×4 - 4 = 8$
则这个正数为$8^2 = 64$
【答案】
B
【知识点】
平方根的性质、解一元一次方程
【点评】
本题核心考点是平方根的性质，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数，易错点是部分同学会错误考虑两个平方根相等的情况，忽略只有0的平方根才相等的特点，进而误选错误选项。
【难度系数】
0.6
本题可根据平方根的性质求解，首先明确：一个正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数之和为0。我们可以先依据这一性质列关于a的一元一次方程，解出a的取值后，代入任意一个平方根，将其平方即可得到这个正数的大小。注意题目明确是正数的两个平方根，因此不存在两个平方根相等的情况（仅0的平方根相等），无需额外讨论两式相等的情形。
【解析】
解：
∵ 正数的两个平方根互为相反数，其和为0
∴ 可列方程：
$\begin{aligned}3a - 4 + 12 - 5a &= 0 \\-2a + 8 &= 0 \\-2a &= -8 \\a &= 4\end{aligned}$
将$a=4$代入$3a-4$得：$3×4 - 4 = 8$
则这个正数为$8^2 = 64$
【答案】
B
【知识点】
平方根的性质、解一元一次方程
【点评】
本题核心考点是平方根的性质，解题关键是牢记正数的两个平方根互为相反数，易错点是部分同学会错误考虑两个平方根相等的情况，忽略只有0的平方根才相等的特点，进而误选错误选项。
【难度系数】
0.6
5. 已知$\sqrt[3]{3 - a} = -1$，则$a$的算术平方根为（
A.0
B.2
C.3
D.4
B
）A.0
B.2
C.3
D.4
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先从已知的立方根等式入手，根据立方根的定义：如果$\sqrt[3]{x}=y$，那么$x=y^3$，先求出被开方数$3-a$的值，再解一元一次方程得到$a$的取值，最后根据算术平方根的定义（非负数的非负平方根）计算$a$的算术平方根，匹配选项即可。
【解析】
1. 根据立方根的定义，对$\sqrt[3]{3 - a} = -1$两边同时立方，可得：
$3 - a = (-1)^3$
2. 计算右侧乘方结果：$(-1)^3=-1$，方程化简为：
$3 - a = -1$
3. 移项求解$a$：$a = 3 + 1 = 4$
4. 计算$a$的算术平方根：非负数的算术平方根为非负，因此4的算术平方根为$\sqrt{4}=2$。
【答案】
B
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练掌握立方根和算术平方根的性质，注意算术平方根的结果为非负数，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的立方根等式入手，根据立方根的定义：如果$\sqrt[3]{x}=y$，那么$x=y^3$，先求出被开方数$3-a$的值，再解一元一次方程得到$a$的取值，最后根据算术平方根的定义（非负数的非负平方根）计算$a$的算术平方根，匹配选项即可。
【解析】
1. 根据立方根的定义，对$\sqrt[3]{3 - a} = -1$两边同时立方，可得：
$3 - a = (-1)^3$
2. 计算右侧乘方结果：$(-1)^3=-1$，方程化简为：
$3 - a = -1$
3. 移项求解$a$：$a = 3 + 1 = 4$
4. 计算$a$的算术平方根：非负数的算术平方根为非负，因此4的算术平方根为$\sqrt{4}=2$。
【答案】
B
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练掌握立方根和算术平方根的性质，注意算术平方根的结果为非负数，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
6. 下列运算正确的是 （
A.$-\sqrt{(-7)^2}=7$
B.$\sqrt{(-6)^2}=-6$
C.$-\sqrt{25}=-5$
D.$\sqrt{9}=\pm3$
C
）A.$-\sqrt{(-7)^2}=7$
B.$\sqrt{(-6)^2}=-6$
C.$-\sqrt{25}=-5$
D.$\sqrt{9}=\pm3$
答案
6.C
解析
【分析】
这道题考查二次根式的化简及算术平方根的定义，解题思路是先明确核心性质：①算术平方根$\sqrt{a}$表示非负数$a$的正的平方根，计算结果一定是非负的；②$\sqrt{a^2}=|a|$。我们只需逐个计算每个选项的结果，对比选项描述判断对错即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：先计算根号内的部分，$(-7)^2=49$，因此$-\sqrt{(-7)^2}=-\sqrt{49}=-7≠7$，故A错误；
B选项：同理，$(-6)^2=36$，$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6≠-6$，故B错误；
C选项：$\sqrt{25}=5$，因此$-\sqrt{25}=-5$，计算正确，故C正确；
D选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，结果为唯一的非负数3，$\pm3$是9的平方根，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆平方根和算术平方根的概念，做题时要注意$\sqrt{a}$默认表示算术平方根，结果必为非负数，不要错误带上负号或正负号。
【难度系数】
0.8
这道题考查二次根式的化简及算术平方根的定义，解题思路是先明确核心性质：①算术平方根$\sqrt{a}$表示非负数$a$的正的平方根，计算结果一定是非负的；②$\sqrt{a^2}=|a|$。我们只需逐个计算每个选项的结果，对比选项描述判断对错即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：先计算根号内的部分，$(-7)^2=49$，因此$-\sqrt{(-7)^2}=-\sqrt{49}=-7≠7$，故A错误；
B选项：同理，$(-6)^2=36$，$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6≠-6$，故B错误；
C选项：$\sqrt{25}=5$，因此$-\sqrt{25}=-5$，计算正确，故C正确；
D选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，结果为唯一的非负数3，$\pm3$是9的平方根，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆平方根和算术平方根的概念，做题时要注意$\sqrt{a}$默认表示算术平方根，结果必为非负数，不要错误带上负号或正负号。
【难度系数】
0.8
