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7. 将长、宽分别为1和2的长方形如图所示剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是 （
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{2}$
D.2
C
）A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{2}$
D.2
答案
7.C
解析
【分析】
解题的核心是抓住图形剪拼前后面积不变的规律。首先计算原长方形的面积，拼成的正方形面积和长方形面积相等，再结合正方形面积等于边长的平方，即可求出正方形的边长。
【解析】
1. 计算原长方形的面积：根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知长方形长为2，宽为1，因此长方形面积$=2×1=2$。
2. 剪拼前后图形面积不变，因此拼成的正方形面积也为2。设正方形边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得$a^2=2$。
3. 由于边长为正数，因此$a=\sqrt{2}$，即正方形的边长为$\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
面积守恒，正方形面积计算，算术平方根
【点评】
本题解题关键是明确剪拼前后图形的面积保持不变，结合面积公式即可快速求出边长，解题时注意边长为正数，取正的平方根即可。
【难度系数】
0.8
解题的核心是抓住图形剪拼前后面积不变的规律。首先计算原长方形的面积，拼成的正方形面积和长方形面积相等，再结合正方形面积等于边长的平方，即可求出正方形的边长。
【解析】
1. 计算原长方形的面积：根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，已知长方形长为2，宽为1，因此长方形面积$=2×1=2$。
2. 剪拼前后图形面积不变，因此拼成的正方形面积也为2。设正方形边长为$a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得$a^2=2$。
3. 由于边长为正数，因此$a=\sqrt{2}$，即正方形的边长为$\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
面积守恒，正方形面积计算，算术平方根
【点评】
本题解题关键是明确剪拼前后图形的面积保持不变，结合面积公式即可快速求出边长，解题时注意边长为正数，取正的平方根即可。
【难度系数】
0.8
8.已知$3.14^2=9.8596$，若$x^2=985.96$，则$x$的值为 （
A.$3.14$
B.$31.4$
C.$\pm 3.14$
D.$\pm 31.4$
D
）A.$3.14$
B.$31.4$
C.$\pm 3.14$
D.$\pm 31.4$
答案
8.D
解析
【分析】
解题时先对比已知的$3.14^2=9.8596$和待求的$x^2=985.96$中两个平方数的关系，可发现985.96是9.8596的100倍。再结合乘方的性质：一个数扩大为原来的10倍，它的平方就扩大为原来的100倍，可推出底数的变化。最后牢记正数有两个互为相反数的平方根，不能遗漏负的结果，即可得到正确答案。
【解析】
解：已知$3.14^2=9.8596$，
观察可得$985.96 = 9.8596 × 100$，
因此$x^2 = 3.14^2 × 10^2 = (3.14 × 10)^2 = 31.4^2$，
根据平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，
所以$x = \pm 31.4$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.平方根的性质 2.乘方的运算规律
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是找准已知和待求平方数的倍数关系，同时注意正数的平方根有正负两个，避免漏解错选。
【难度系数】
0.8
解题时先对比已知的$3.14^2=9.8596$和待求的$x^2=985.96$中两个平方数的关系，可发现985.96是9.8596的100倍。再结合乘方的性质：一个数扩大为原来的10倍，它的平方就扩大为原来的100倍，可推出底数的变化。最后牢记正数有两个互为相反数的平方根，不能遗漏负的结果，即可得到正确答案。
【解析】
解：已知$3.14^2=9.8596$，
观察可得$985.96 = 9.8596 × 100$，
因此$x^2 = 3.14^2 × 10^2 = (3.14 × 10)^2 = 31.4^2$，
根据平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，
所以$x = \pm 31.4$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.平方根的性质 2.乘方的运算规律
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是找准已知和待求平方数的倍数关系，同时注意正数的平方根有正负两个，避免漏解错选。
【难度系数】
0.8
9. 如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是
2(答案不唯一)
（写出一个答案即可）。答案
9.2(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时先利用正方形面积和边长的关系，分别求出正方形A、C的边长，再结合图形判断出正方形B的边长的取值范围，最后在范围内选取一个合适的数值即可。第一步，回忆正方形面积公式：正方形面积=边长×边长，已知面积求边长就是对面积开算术平方根；第二步，计算A的边长为√10，估算得√10在3到4之间，C的边长为√1=1；第三步，观察图形可知B的边长比C的边长大，比A的边长小，因此只要取1到√10之间的数都符合要求。
【解析】
解：
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴正方形A的边长为√10，
∵3²=9，4²=16，
∴3＜√10＜4，
正方形C的边长为√1=1，
观察图形可得：正方形B的边长大于C的边长，小于A的边长，即1＜ B的边长 ＜√10，
因此B的边长可以取2（答案不唯一，1到√10之间的任意正数均可）。
【答案】
2（答案不唯一）
【知识点】
正方形面积公式，无理数估算，实数大小比较
【点评】
本题结合平面图形考查基础的代数性质应用，解题关键是通过图形直观得到三个正方形边长的大小关系，结合平方根的运算即可得出取值范围，属于基础易得分题型。
【难度系数】
0.8
解题时先利用正方形面积和边长的关系，分别求出正方形A、C的边长，再结合图形判断出正方形B的边长的取值范围，最后在范围内选取一个合适的数值即可。第一步，回忆正方形面积公式：正方形面积=边长×边长，已知面积求边长就是对面积开算术平方根；第二步，计算A的边长为√10，估算得√10在3到4之间，C的边长为√1=1；第三步，观察图形可知B的边长比C的边长大，比A的边长小，因此只要取1到√10之间的数都符合要求。
【解析】
解：
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴正方形A的边长为√10，
∵3²=9，4²=16，
∴3＜√10＜4，
正方形C的边长为√1=1，
观察图形可得：正方形B的边长大于C的边长，小于A的边长，即1＜ B的边长 ＜√10，
因此B的边长可以取2（答案不唯一，1到√10之间的任意正数均可）。
【答案】
2（答案不唯一）
【知识点】
正方形面积公式，无理数估算，实数大小比较
【点评】
本题结合平面图形考查基础的代数性质应用，解题关键是通过图形直观得到三个正方形边长的大小关系，结合平方根的运算即可得出取值范围，属于基础易得分题型。
【难度系数】
0.8
10. 张师傅将一个体积为 $28 \ \mathrm{cm}^3$ 的铁块和一个体积为 $36 \ \mathrm{cm}^3$ 的铁块熔铸成一个大的正方体铁块，熔铸成的大正方体铁块的棱长是 ______ cm.
答案
10.4
解析
【分析】解决这道题首先要抓住熔铸问题的核心：铁块熔铸前后总体积保持不变。第一步先计算两个小铁块的体积和，得到熔铸后大正方体的体积；第二步结合正方体体积公式（体积=棱长³），反过来推算满足体积等于总体积的棱长即可。
【解析】
1. 计算大正方体的总体积：
熔铸过程中体积不发生变化，因此大正方体体积等于两个小铁块体积之和，即：
$V = 28\ \mathrm{cm}^3 + 36\ \mathrm{cm}^3 = 64\ \mathrm{cm}^3$
2. 求大正方体的棱长：
设大正方体棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式$V = a^3$，代入体积得：
$a^3 = 64$
因为$4^3 = 4 × 4 × 4 = 64$，所以$a = 4$。
【答案】4
【知识点】等积变形原理，正方体体积公式，立方运算
【点评】本题是典型的熔铸类应用题，核心是抓住体积不变的规律，结合正方体体积公式即可求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】0.8
【解析】
1. 计算大正方体的总体积：
熔铸过程中体积不发生变化，因此大正方体体积等于两个小铁块体积之和，即：
$V = 28\ \mathrm{cm}^3 + 36\ \mathrm{cm}^3 = 64\ \mathrm{cm}^3$
2. 求大正方体的棱长：
设大正方体棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式$V = a^3$，代入体积得：
$a^3 = 64$
因为$4^3 = 4 × 4 × 4 = 64$，所以$a = 4$。
【答案】4
【知识点】等积变形原理，正方体体积公式，立方运算
【点评】本题是典型的熔铸类应用题，核心是抓住体积不变的规律，结合正方体体积公式即可求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】0.8
11.若$x=\sqrt[3]{314},y=\sqrt[3]{0.314}$，则$x$与$y$的数量关系是
$x=10y$
.答案
11.$x=10y$
解析
【分析】
解题时首先观察两个被开方数314和0.314的数量关系，可知314=0.314×1000，接下来可以利用立方根的运算性质：两个数乘积的立方根等于两个数立方根的乘积，将x的表达式变形，代入已知条件y=∛0.314，就能推导出x和y的关系；也可以直接利用立方根的小数点移动规律：被开方数小数点向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，直接得到二者的倍数关系。
【解析】
已知$x=\sqrt[3]{314}$，$y=\sqrt[3]{0.314}$，
先将被开方数314变形为：$314 = 0.314 × 1000$，
因此$x = \sqrt[3]{0.314 × 1000}$，
根据立方根的运算性质$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}·\sqrt[3]{b}$，可得：
$x = \sqrt[3]{0.314} × \sqrt[3]{1000}$，
其中$\sqrt[3]{0.314}=y$，$\sqrt[3]{1000}=10$，代入得：
$x = 10y$。
【答案】
$x=10y$
【知识点】
立方根的性质，积的立方根运算
【点评】
本题侧重考查立方根相关性质的灵活应用，解题的突破口是找到两个被开方数的倍数关系，结合特殊数1000的立方根即可快速求出结果，掌握立方根的运算规律能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察两个被开方数314和0.314的数量关系，可知314=0.314×1000，接下来可以利用立方根的运算性质：两个数乘积的立方根等于两个数立方根的乘积，将x的表达式变形，代入已知条件y=∛0.314，就能推导出x和y的关系；也可以直接利用立方根的小数点移动规律：被开方数小数点向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，直接得到二者的倍数关系。
【解析】
已知$x=\sqrt[3]{314}$，$y=\sqrt[3]{0.314}$，
先将被开方数314变形为：$314 = 0.314 × 1000$，
因此$x = \sqrt[3]{0.314 × 1000}$，
根据立方根的运算性质$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}·\sqrt[3]{b}$，可得：
$x = \sqrt[3]{0.314} × \sqrt[3]{1000}$，
其中$\sqrt[3]{0.314}=y$，$\sqrt[3]{1000}=10$，代入得：
$x = 10y$。
【答案】
$x=10y$
【知识点】
立方根的性质，积的立方根运算
【点评】
本题侧重考查立方根相关性质的灵活应用，解题的突破口是找到两个被开方数的倍数关系，结合特殊数1000的立方根即可快速求出结果，掌握立方根的运算规律能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
12.在有理数的原有运算法则中，我们补充新运算“⊕”如下：当$a≥ b$时，$a\oplus b=b^2$；当$a＜ b$时，$a\oplus b=a$。
(1)当$a=-2,b=1$时，$a\oplus b=\_\_\_\_\_\_$；
(2)当$x=2$时，$(1\oplus x)-(3\oplus x)$的值为________。
(1)当$a=-2,b=1$时，$a\oplus b=\_\_\_\_\_\_$；
(2)当$x=2$时，$(1\oplus x)-(3\oplus x)$的值为________。
答案
12.(1)$-2$ (2)$-3$
解析
【分析】
解决新定义运算类题目，首先要准确理解新运算的规则：本题的新运算“⊕”需要先比较前后两个数的大小，若前面的数≥后面的数，运算结果等于后面数的平方；若前面的数＜后面的数，运算结果等于前面的数。答题时逐问代入数值，先判断大小，再按对应规则计算即可，第二问需先分别计算两个新运算的结果，再做减法。
【解析】
(1) 把a=-2，b=1代入，先比较大小：$\because -2＜1$，符合$a＜b$的运算规则，$\therefore a\oplus b=a=-2$。
(2) 当$x=2$时：
① 计算$1\oplus x=1\oplus 2$：$\because 1＜2$，符合$a＜b$的运算规则，$\therefore 1\oplus 2=1$；
② 计算$3\oplus x=3\oplus 2$：$\because 3≥2$，符合$a≥b$的运算规则，$\therefore 3\oplus 2=2^2=4$；
③ 计算差值：$(1\oplus x)-(3\oplus x)=1-4=-3$。
【答案】
(1) $-2$；(2) $-3$
【知识点】
新定义运算、有理数大小比较、有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义基础题，核心考查规则的理解与应用，只要严格按照给定规则先判断大小再选对应运算方式，就能顺利解题，计算时注意避免符号错误。
【难度系数】
0.8
解决新定义运算类题目，首先要准确理解新运算的规则：本题的新运算“⊕”需要先比较前后两个数的大小，若前面的数≥后面的数，运算结果等于后面数的平方；若前面的数＜后面的数，运算结果等于前面的数。答题时逐问代入数值，先判断大小，再按对应规则计算即可，第二问需先分别计算两个新运算的结果，再做减法。
【解析】
(1) 把a=-2，b=1代入，先比较大小：$\because -2＜1$，符合$a＜b$的运算规则，$\therefore a\oplus b=a=-2$。
(2) 当$x=2$时：
① 计算$1\oplus x=1\oplus 2$：$\because 1＜2$，符合$a＜b$的运算规则，$\therefore 1\oplus 2=1$；
② 计算$3\oplus x=3\oplus 2$：$\because 3≥2$，符合$a≥b$的运算规则，$\therefore 3\oplus 2=2^2=4$；
③ 计算差值：$(1\oplus x)-(3\oplus x)=1-4=-3$。
【答案】
(1) $-2$；(2) $-3$
【知识点】
新定义运算、有理数大小比较、有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义基础题，核心考查规则的理解与应用，只要严格按照给定规则先判断大小再选对应运算方式，就能顺利解题，计算时注意避免符号错误。
【难度系数】
0.8
13. 计算：
(1)$(-1)^{2024}-\sqrt{9}+|-\sqrt{3}|+\sqrt[3]{8}$；
(2)$\sqrt{16}-\sqrt[3]{27}+|1-\sqrt{2}|$.
(1)$(-1)^{2024}-\sqrt{9}+|-\sqrt{3}|+\sqrt[3]{8}$；
(2)$\sqrt{16}-\sqrt[3]{27}+|1-\sqrt{2}|$.
答案
13.解:(1)$(-1)^{2024}-\sqrt{9}+|-\sqrt{3}|+\sqrt[3]{8}=1-3+\sqrt{3}+2=\sqrt{3}$.
(2)$\sqrt{16}-\sqrt[3]{27}+|1-\sqrt{2}|=4-3+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}$.
(2)$\sqrt{16}-\sqrt[3]{27}+|1-\sqrt{2}|=4-3+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}$.
解析
【分析】
这两道题均为实数混合运算基础题，解题思路为：先分别计算每一项的结果，优先计算乘方、开平方、开立方运算，再化简绝对值，最后按从左到右的顺序计算加减法即可。计算每一项时要牢记对应法则：①-1的偶次幂为1，奇次幂为-1；②非负数的算术平方根是非负数；③立方根的符号和被开方数符号一致；④化简绝对值前先判断绝对值内式子的正负，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，最后合并结果即可。
【解析】
(1) 分步计算各项：
$(-1)^{2024}=1$（2024是偶数，-1的偶次幂为1），
$\sqrt{9}=3$（9的算术平方根是3），
$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}$（负数的绝对值是它的相反数），
$\sqrt[3]{8}=2$（8的立方根是2），
代入原式计算：$1-3+\sqrt{3}+2=\sqrt{3}$。
(2) 分步计算各项：
$\sqrt{16}=4$（16的算术平方根是4），
$\sqrt[3]{27}=3$（27的立方根是3），
因为$1＜\sqrt{2}$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，因此$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，
代入原式计算：$4-3+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{3}$；(2) $\sqrt{2}$
【知识点】
实数混合运算；绝对值化简；乘方与开方运算
【点评】
本题考查实数基础运算能力，解题核心是熟练掌握各项运算法则，尤其要注意绝对值化简的符号判断和开方运算的结果准确性，属于必须熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
这两道题均为实数混合运算基础题，解题思路为：先分别计算每一项的结果，优先计算乘方、开平方、开立方运算，再化简绝对值，最后按从左到右的顺序计算加减法即可。计算每一项时要牢记对应法则：①-1的偶次幂为1，奇次幂为-1；②非负数的算术平方根是非负数；③立方根的符号和被开方数符号一致；④化简绝对值前先判断绝对值内式子的正负，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，最后合并结果即可。
【解析】
(1) 分步计算各项：
$(-1)^{2024}=1$（2024是偶数，-1的偶次幂为1），
$\sqrt{9}=3$（9的算术平方根是3），
$|-\sqrt{3}|=\sqrt{3}$（负数的绝对值是它的相反数），
$\sqrt[3]{8}=2$（8的立方根是2），
代入原式计算：$1-3+\sqrt{3}+2=\sqrt{3}$。
(2) 分步计算各项：
$\sqrt{16}=4$（16的算术平方根是4），
$\sqrt[3]{27}=3$（27的立方根是3），
因为$1＜\sqrt{2}$，所以$1-\sqrt{2}＜0$，因此$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，
代入原式计算：$4-3+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{3}$；(2) $\sqrt{2}$
【知识点】
实数混合运算；绝对值化简；乘方与开方运算
【点评】
本题考查实数基础运算能力，解题核心是熟练掌握各项运算法则，尤其要注意绝对值化简的符号判断和开方运算的结果准确性，属于必须熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
