登录
14. 解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.
(1)$\dfrac{x - 2}{2}＞\dfrac{x}{3}+1$；
(2)$-1≤\dfrac{3 - 2x}{5}-2x$.
(1)$\dfrac{x - 2}{2}＞\dfrac{x}{3}+1$；
(2)$-1≤\dfrac{3 - 2x}{5}-2x$.
答案
解:(1)不等式两边同乘6,得$3(x-2)＞2x+6$.
去括号,得$3x-6＞2x+6$.
移项,得$3x-2x＞6+6$.
合并同类项,得$x＞12$.
解集在数轴上表示如图所示.
(2)不等式两边同乘5,得$-5≤3-2x-10x$.
移项,得$2x+10x≤3+5$.
合并同类项,得$12x≤8$.
系数化为1,得$x≤\frac{2}{3}$.
解集在数轴上表示如图所示.
解析
【分析】
解一元一次不等式的思路与解一元一次方程类似，遵循“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤即可，解题时需注意：①去分母时，不等式所有项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的常数项；②系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变；③数轴表示解集时，不含等号用空心圆圈，含等号用实心圆点，大于向右画，小于向左画。
(1)第一题分母为2和3，最小公倍数是6，先两边同乘6去分母，再逐步化简求解；
(2)第二题分母为5，先两边同乘5去分母，再移项合并同类项，最后系数化为1得到解集。
【解析】
(1) 求解不等式$\dfrac{x - 2}{2}＞\dfrac{x}{3}+1$：
第一步：去分母，不等式两边同时乘6，得$3(x-2)＞2x+6$；
第二步：去括号，根据乘法分配律展开，得$3x-6＞2x+6$；
第三步：移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得$3x-2x＞6+6$；
第四步：合并同类项，得$x＞12$。
在数轴上表示该解集时，在12的位置画空心圆圈，向右画延伸的射线即可。
(2) 求解不等式$-1≤\dfrac{3 - 2x}{5}-2x$：
第一步：去分母，不等式两边同时乘5，得$-5≤3-2x-10x$；
第二步：移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，移项需变号，得$2x+10x≤3+5$；
第三步：合并同类项，得$12x≤8$；
第四步：系数化为1，两边同时除以正数12，不等号方向不变，得$x≤\dfrac{2}{3}$。
在数轴上表示该解集时，在$\dfrac{2}{3}$的位置画实心圆点，向左画延伸的射线即可。
【答案】
(1) $x＞12$，解集在数轴上表示如图所示：
(2) $x≤\dfrac{2}{3}$，解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
3. 不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于一元一次不等式的基础考查题，解题的易错点为去分母时漏乘常数项、数轴表示解集时混淆空心圆圈和实心圆点的使用规则，熟练掌握解不等式的步骤和数轴表示的规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解一元一次不等式的思路与解一元一次方程类似，遵循“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤即可，解题时需注意：①去分母时，不等式所有项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的常数项；②系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变；③数轴表示解集时，不含等号用空心圆圈，含等号用实心圆点，大于向右画，小于向左画。
(1)第一题分母为2和3，最小公倍数是6，先两边同乘6去分母，再逐步化简求解；
(2)第二题分母为5，先两边同乘5去分母，再移项合并同类项，最后系数化为1得到解集。
【解析】
(1) 求解不等式$\dfrac{x - 2}{2}＞\dfrac{x}{3}+1$：
第一步：去分母，不等式两边同时乘6，得$3(x-2)＞2x+6$；
第二步：去括号，根据乘法分配律展开，得$3x-6＞2x+6$；
第三步：移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，得$3x-2x＞6+6$；
第四步：合并同类项，得$x＞12$。
在数轴上表示该解集时，在12的位置画空心圆圈，向右画延伸的射线即可。
(2) 求解不等式$-1≤\dfrac{3 - 2x}{5}-2x$：
第一步：去分母，不等式两边同时乘5，得$-5≤3-2x-10x$；
第二步：移项，将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，移项需变号，得$2x+10x≤3+5$；
第三步：合并同类项，得$12x≤8$；
第四步：系数化为1，两边同时除以正数12，不等号方向不变，得$x≤\dfrac{2}{3}$。
在数轴上表示该解集时，在$\dfrac{2}{3}$的位置画实心圆点，向左画延伸的射线即可。
【答案】
(1) $x＞12$，解集在数轴上表示如图所示：
(2) $x≤\dfrac{2}{3}$，解集在数轴上表示如图所示：
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
3. 不等式解集的数轴表示
【点评】
本题属于一元一次不等式的基础考查题，解题的易错点为去分母时漏乘常数项、数轴表示解集时混淆空心圆圈和实心圆点的使用规则，熟练掌握解不等式的步骤和数轴表示的规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
15. 已知 $ a - b + c = 0, 2a + b = 0, -2 ＜ c ＜ -1 $，则下列结论不正确的是 （
A.$ 3a + c = 0 $
B.$ b = \dfrac{2}{3}c $
C.$ 4b + 3c ＞ 0 $
D.$ \dfrac{1}{3} ＜ a ＜ \dfrac{2}{3} $
C
）A.$ 3a + c = 0 $
B.$ b = \dfrac{2}{3}c $
C.$ 4b + 3c ＞ 0 $
D.$ \dfrac{1}{3} ＜ a ＜ \dfrac{2}{3} $
答案
15.C
解析
【分析】
解题时我们可以先联立给出的两个关于a、b、c的等式，用消元法消去未知数b，先得到a和c的关系，再进一步把b也用c表示，最后将各个选项中的代数式都替换为仅含c的式子，结合c的取值范围和不等式的性质逐一判断正误即可。
【解析】
已知两个等式：①$a - b + c = 0$，②$2a + b = 0$
1. 判断选项A：
将①+②，左右两边分别相加得：
$a - b + c + 2a + b = 0 + 0$
化简得$3a + c = 0$，故A选项结论正确，不符合题意。
2. 判断选项B：
由$3a + c = 0$可得$a = -\frac{c}{3}$，将$a = -\frac{c}{3}$代入②式：
$2×(-\frac{c}{3}) + b = 0$
计算得$b = \frac{2}{3}c$，故B选项结论正确，不符合题意。
3. 判断选项C：
将$b = \frac{2}{3}c$代入$4b + 3c$得：
$4×\frac{2}{3}c + 3c = \frac{8}{3}c + \frac{9}{3}c = \frac{17}{3}c$
已知$-2 ＜ c ＜ -1$，即c为负数，因此$\frac{17}{3}c ＜ 0$，即$4b + 3c ＜ 0$，故C选项结论错误，符合题意。
4. 判断选项D：
由$a = -\frac{c}{3}$，已知$-2 ＜ c ＜ -1$，不等式三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$1 ＜ -c ＜ 2$，再将三边同时除以3得：$\frac{1}{3} ＜ -\frac{c}{3} ＜ \frac{2}{3}$，即$\frac{1}{3} ＜ a ＜ \frac{2}{3}$，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
消元法解方程组、不等式的性质、代数式代入求值
【点评】
本题属于方程与不等式的综合基础题，核心是通过消元将多个未知数统一用同一个未知数表示，再结合取值范围验证结论，要求熟练掌握消元运算和不等式的变形规则。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以先联立给出的两个关于a、b、c的等式，用消元法消去未知数b，先得到a和c的关系，再进一步把b也用c表示，最后将各个选项中的代数式都替换为仅含c的式子，结合c的取值范围和不等式的性质逐一判断正误即可。
【解析】
已知两个等式：①$a - b + c = 0$，②$2a + b = 0$
1. 判断选项A：
将①+②，左右两边分别相加得：
$a - b + c + 2a + b = 0 + 0$
化简得$3a + c = 0$，故A选项结论正确，不符合题意。
2. 判断选项B：
由$3a + c = 0$可得$a = -\frac{c}{3}$，将$a = -\frac{c}{3}$代入②式：
$2×(-\frac{c}{3}) + b = 0$
计算得$b = \frac{2}{3}c$，故B选项结论正确，不符合题意。
3. 判断选项C：
将$b = \frac{2}{3}c$代入$4b + 3c$得：
$4×\frac{2}{3}c + 3c = \frac{8}{3}c + \frac{9}{3}c = \frac{17}{3}c$
已知$-2 ＜ c ＜ -1$，即c为负数，因此$\frac{17}{3}c ＜ 0$，即$4b + 3c ＜ 0$，故C选项结论错误，符合题意。
4. 判断选项D：
由$a = -\frac{c}{3}$，已知$-2 ＜ c ＜ -1$，不等式三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$1 ＜ -c ＜ 2$，再将三边同时除以3得：$\frac{1}{3} ＜ -\frac{c}{3} ＜ \frac{2}{3}$，即$\frac{1}{3} ＜ a ＜ \frac{2}{3}$，故D选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
消元法解方程组、不等式的性质、代数式代入求值
【点评】
本题属于方程与不等式的综合基础题，核心是通过消元将多个未知数统一用同一个未知数表示，再结合取值范围验证结论，要求熟练掌握消元运算和不等式的变形规则。
【难度系数】
0.7
16. 某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个范围内的实数 $ x $ 作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数 $ x $ 的取值范围是 ______。
答案
16.$x≤\frac{1}{2}$
解析
【分析】首先明确流程图的运算规则：输入x后，先计算3x-1，若结果大于10则输出，否则将结果作为新的x重新代入计算，循环往复。“永远不会有输出值”意味着无论循环多少次，计算结果始终≤10。要满足这个条件，需保证每次运算后得到的新值不会比原输入值大，否则数值会持续增大，最终超过10。据此列出不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
若永远不会输出值，说明每次运算后的结果始终不大于输入值，即：
$3x - 1 ≤ x$
移项得：$3x - x ≤ 1$
合并同类项得：$2x ≤ 1$
系数化为1得：$x ≤ \frac{1}{2}$
验证：当$x ≤ \frac{1}{2}$时，每次运算得到的结果都小于或等于原输入值，数值不会持续增大，永远无法满足大于10的输出条件，符合要求。
【答案】
$x≤\frac{1}{2}$
【知识点】
一元一次不等式求解，流程图逻辑判断
【点评】本题是结合运算流程图的不等式应用题，解题的核心是将“永远无输出”的逻辑要求转化为对应的不等式关系，既考查了基础的不等式计算能力，也锻炼了学生的逻辑转换和题意理解能力，题型新颖，难度适中。
【难度系数】
0.6
【解析】
若永远不会输出值，说明每次运算后的结果始终不大于输入值，即：
$3x - 1 ≤ x$
移项得：$3x - x ≤ 1$
合并同类项得：$2x ≤ 1$
系数化为1得：$x ≤ \frac{1}{2}$
验证：当$x ≤ \frac{1}{2}$时，每次运算得到的结果都小于或等于原输入值，数值不会持续增大，永远无法满足大于10的输出条件，符合要求。
【答案】
$x≤\frac{1}{2}$
【知识点】
一元一次不等式求解，流程图逻辑判断
【点评】本题是结合运算流程图的不等式应用题，解题的核心是将“永远无输出”的逻辑要求转化为对应的不等式关系，既考查了基础的不等式计算能力，也锻炼了学生的逻辑转换和题意理解能力，题型新颖，难度适中。
【难度系数】
0.6
17. 我们把符号“$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}$”称为二阶行列式，规定它的运算法则为$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$，例如，$\begin{vmatrix} 2&3 \\ 4&5 \end{vmatrix}=2×5-3×4=-2$。
(1)求不等式$\begin{vmatrix} 2&3-x \\ 1&x \end{vmatrix}＞0$的解集；
(2)若关于$x$的不等式$\begin{vmatrix} n&x \\ 2&1 \end{vmatrix}＜0$的解都是(1)中不等式的解，求$n$的取值范围。
(1)求不等式$\begin{vmatrix} 2&3-x \\ 1&x \end{vmatrix}＞0$的解集；
(2)若关于$x$的不等式$\begin{vmatrix} n&x \\ 2&1 \end{vmatrix}＜0$的解都是(1)中不等式的解，求$n$的取值范围。
答案
解:(1)根据题意,得$\begin{vmatrix}2&3-x\\1&x\end{vmatrix}=2x-1×(3-x)＞0$,解不等式,得$x＞1$.
(2)$\because \begin{vmatrix}n&x\\2&1\end{vmatrix}＜0$,即$n-2x＜0$,$\therefore x＞\frac{n}{2}$.
$\because$关于$x$的不等式$\begin{vmatrix}n&x\\2&1\end{vmatrix}＜0$的解都是(1)中的不等式的解,$\therefore \frac{n}{2}≥1$.$\therefore n≥2$.
(2)$\because \begin{vmatrix}n&x\\2&1\end{vmatrix}＜0$,即$n-2x＜0$,$\therefore x＞\frac{n}{2}$.
$\because$关于$x$的不等式$\begin{vmatrix}n&x\\2&1\end{vmatrix}＜0$的解都是(1)中的不等式的解,$\therefore \frac{n}{2}≥1$.$\therefore n≥2$.
解析
【分析】
本题是新定义运算结合一元一次不等式的题型，解题思路：(1)先根据题干给出的二阶行列式运算法则，将行列式转化为普通的一元一次不等式，再按照解一元一次不等式的常规步骤求解即可；(2)同样先把第二个行列式转化为含参数n的一元一次不等式，求出用n表示的解集后，根据“该不等式的解都是(1)中不等式的解”的条件，即第二个不等式的解集是第一个解集的子集，列出关于n的不等式求解即可。
【解析】
(1) 根据二阶行列式运算法则$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix}2&3-x\\1&x\end{vmatrix}=2x - 1×(3-x)＞0$
去括号得：$2x - 3 + x ＞0$
合并同类项得：$3x ＞3$
系数化为1得：$x＞1$
(2) 展开第二个行列式：
$\begin{vmatrix}n&x\\2&1\end{vmatrix}=n×1 - 2x＜0$
整理得：$n - 2x＜0$
移项得：$-2x＜ -n$
两边同时除以-2（不等号方向改变）得：$x＞\frac{n}{2}$
∵ 该不等式的解都是(1)中不等式的解，即所有满足$x＞\frac{n}{2}$的数都满足$x＞1$
∴ $\frac{n}{2}≥1$
解得：$n≥2$
【答案】
(1) $x＞1$；(2) $n≥2$
【知识点】
新定义运算、一元一次不等式解法、不等式解集应用
【点评】
本题结合新定义运算考查一元一次不等式的相关知识，解题核心是准确理解新运算规则，将陌生运算转化为熟悉的代数式运算，求解含参数的不等式时要注意不等号的变号规则，判断解集包含关系时要验证等号是否可取。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算结合一元一次不等式的题型，解题思路：(1)先根据题干给出的二阶行列式运算法则，将行列式转化为普通的一元一次不等式，再按照解一元一次不等式的常规步骤求解即可；(2)同样先把第二个行列式转化为含参数n的一元一次不等式，求出用n表示的解集后，根据“该不等式的解都是(1)中不等式的解”的条件，即第二个不等式的解集是第一个解集的子集，列出关于n的不等式求解即可。
【解析】
(1) 根据二阶行列式运算法则$\begin{vmatrix} a&b \\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$\begin{vmatrix}2&3-x\\1&x\end{vmatrix}=2x - 1×(3-x)＞0$
去括号得：$2x - 3 + x ＞0$
合并同类项得：$3x ＞3$
系数化为1得：$x＞1$
(2) 展开第二个行列式：
$\begin{vmatrix}n&x\\2&1\end{vmatrix}=n×1 - 2x＜0$
整理得：$n - 2x＜0$
移项得：$-2x＜ -n$
两边同时除以-2（不等号方向改变）得：$x＞\frac{n}{2}$
∵ 该不等式的解都是(1)中不等式的解，即所有满足$x＞\frac{n}{2}$的数都满足$x＞1$
∴ $\frac{n}{2}≥1$
解得：$n≥2$
【答案】
(1) $x＞1$；(2) $n≥2$
【知识点】
新定义运算、一元一次不等式解法、不等式解集应用
【点评】
本题结合新定义运算考查一元一次不等式的相关知识，解题核心是准确理解新运算规则，将陌生运算转化为熟悉的代数式运算，求解含参数的不等式时要注意不等号的变号规则，判断解集包含关系时要验证等号是否可取。
【难度系数】
0.7
