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7. 某中学八年级教学组为了奖励在英语演讲比赛中表现优异的学生，购买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本.设八年级有$ x $名学生获奖，则下列不等式组表示正确的是 （
A.$\begin{cases} 4x + 9 - 5(x - 1) ＞ 0, \\ 4x + 9 - 5(x - 1) ＜ 2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 4x - 9 - 5(x - 1) ＞ 0, \\ 4x - 9 - 5(x - 1) ＜ 2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 4x + 9 - 5(x - 1) ＞ 0, \\ 4x + 9 - 5(x - 1) ≤ 2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 4x - 9 - 5(x - 1) ＞ 0, \\ 4x - 9 - 5(x - 1) ≤ 2 \end{cases}$
A
）A.$\begin{cases} 4x + 9 - 5(x - 1) ＞ 0, \\ 4x + 9 - 5(x - 1) ＜ 2 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 4x - 9 - 5(x - 1) ＞ 0, \\ 4x - 9 - 5(x - 1) ＜ 2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 4x + 9 - 5(x - 1) ＞ 0, \\ 4x + 9 - 5(x - 1) ≤ 2 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 4x - 9 - 5(x - 1) ＞ 0, \\ 4x - 9 - 5(x - 1) ≤ 2 \end{cases}$
答案
7.A
解析
【分析】
首先梳理题目中的数量关系：第一步先确定课外读物的总数量，根据“每人送4本余9本”，总本数=4×人数+剩余的9本，也就是$4x+9$，可直接排除总本数写为$4x-9$的B、D选项。接下来分析第二个分配方案的不等关系：每人送5本时，前面$(x-1)$名学生是每人都拿到了5本，剩下的书全给最后1名学生，这名学生拿到的书的数量=总本数 - 前$(x-1)$人分走的本数。题目说“最后一人能得到课外读物但不足2本”，翻译为不等关系就是：拿到的书＞0（能得到），且拿到的书＜2（不足2本即不到2本，不包含等于2的情况），由此就能确定正确的不等式组。
【解析】
解：首先计算课外读物的总数量：
由“每人送4本，还余9本”，得总本数为$4x + 9$。
再分析第二种分配方案：
每人送5本时，前$(x-1)$名学生共分得$5(x-1)$本，最后1名学生分得的本数为$4x + 9 - 5(x - 1)$。
根据题意列不等关系：
① 最后一人能得到读物：$4x + 9 - 5(x - 1) ＞ 0$
② 最后一人得到的不足2本：$4x + 9 - 5(x - 1) ＜ 2$
因此不等式组为$\begin{cases} 4x + 9 - 5(x - 1) ＞ 0, \\ 4x + 9 - 5(x - 1) ＜ 2 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的应用，列不等式（组）
【点评】
本题是不等式组实际应用的典型题型，解题核心是先准确表示出不变的总数量，再结合题干描述的限制条件转化为对应的不等关系，尤其要注意“不足”“不超过”“至少”等关键词对应的不等号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
首先梳理题目中的数量关系：第一步先确定课外读物的总数量，根据“每人送4本余9本”，总本数=4×人数+剩余的9本，也就是$4x+9$，可直接排除总本数写为$4x-9$的B、D选项。接下来分析第二个分配方案的不等关系：每人送5本时，前面$(x-1)$名学生是每人都拿到了5本，剩下的书全给最后1名学生，这名学生拿到的书的数量=总本数 - 前$(x-1)$人分走的本数。题目说“最后一人能得到课外读物但不足2本”，翻译为不等关系就是：拿到的书＞0（能得到），且拿到的书＜2（不足2本即不到2本，不包含等于2的情况），由此就能确定正确的不等式组。
【解析】
解：首先计算课外读物的总数量：
由“每人送4本，还余9本”，得总本数为$4x + 9$。
再分析第二种分配方案：
每人送5本时，前$(x-1)$名学生共分得$5(x-1)$本，最后1名学生分得的本数为$4x + 9 - 5(x - 1)$。
根据题意列不等关系：
① 最后一人能得到读物：$4x + 9 - 5(x - 1) ＞ 0$
② 最后一人得到的不足2本：$4x + 9 - 5(x - 1) ＜ 2$
因此不等式组为$\begin{cases} 4x + 9 - 5(x - 1) ＞ 0, \\ 4x + 9 - 5(x - 1) ＜ 2 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的应用，列不等式（组）
【点评】
本题是不等式组实际应用的典型题型，解题核心是先准确表示出不变的总数量，再结合题干描述的限制条件转化为对应的不等关系，尤其要注意“不足”“不超过”“至少”等关键词对应的不等号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
8. 数轴是认识数形结合的重要工具，如图(数轴不完整)，数轴上有A，B两点，分别表示$\frac{4-x}{2}$和$1-x$，且点A在点B左侧，则$x$的值可以是 （
A.$-3$
B.$-2$
C.$-1$
D.$0$
A
）A.$-3$
B.$-2$
C.$-1$
D.$0$
答案
8.A
解析
【分析】
首先根据数轴的性质：数轴上右侧的数始终大于左侧的数，结合题目中“点A在点B左侧”的条件，可得到A对应的数小于B对应的数，据此列出关于x的一元一次不等式，解出x的取值范围后，再匹配选项中符合范围的数值即可。
【解析】
解：
∵数轴上点A在点B左侧
∴点A表示的数 ＜ 点B表示的数，代入可得不等式：
$\frac{4-x}{2} ＜ 1-x$
不等式两边同时乘2（不等号方向不变），得：
$4-x ＜ 2(1-x)$
去括号得：
$4-x ＜ 2-2x$
移项得：
$-x+2x ＜ 2-4$
合并同类项得：
$x ＜ -2$
对照选项：
A. $-3＜-2$，符合取值范围；B. $-2=-2$，不符合；C. $-1＞-2$，不符合；D. $0＞-2$，不符合。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
数轴的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于数形结合的基础题型，解题核心是利用数轴上数的大小关系建立不等式，只要熟练掌握一元一次不等式的求解步骤就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
首先根据数轴的性质：数轴上右侧的数始终大于左侧的数，结合题目中“点A在点B左侧”的条件，可得到A对应的数小于B对应的数，据此列出关于x的一元一次不等式，解出x的取值范围后，再匹配选项中符合范围的数值即可。
【解析】
解：
∵数轴上点A在点B左侧
∴点A表示的数 ＜ 点B表示的数，代入可得不等式：
$\frac{4-x}{2} ＜ 1-x$
不等式两边同时乘2（不等号方向不变），得：
$4-x ＜ 2(1-x)$
去括号得：
$4-x ＜ 2-2x$
移项得：
$-x+2x ＜ 2-4$
合并同类项得：
$x ＜ -2$
对照选项：
A. $-3＜-2$，符合取值范围；B. $-2=-2$，不符合；C. $-1＞-2$，不符合；D. $0＞-2$，不符合。
因此选A。
【答案】
A
【知识点】
数轴的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于数形结合的基础题型，解题核心是利用数轴上数的大小关系建立不等式，只要熟练掌握一元一次不等式的求解步骤就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
9.如图,托盘天平左边物体的质量为x g,右边物体的质量为50 g,用不等式表示其数量关系是
$x＞50$
.答案
9.$x＞50$
解析
【分析】
解题时首先观察天平的倾斜状态，天平向下倾斜的一侧物体质量更大。本题中天平左侧下沉，说明左边物体的质量比右边大，已知左边质量为x g，右边为50 g，因此将大小关系用不等号表示即可得到对应的不等式。
【解析】
观察天平可知，左侧托盘位置更低，说明左侧物体的质量大于右侧物体的质量。
已知左侧物体质量为x g，右侧物体质量为50 g，因此可列不等式：$\boldsymbol{x＞50}$。
【答案】
$x＞50$
【知识点】
列不等式；不等关系的实际应用
【点评】
本题结合天平的实际场景考查不等关系的表示，解题关键是根据天平倾斜方向准确判断两侧质量的大小关系，注意不等号的方向要对应大小关系，避免写反。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察天平的倾斜状态，天平向下倾斜的一侧物体质量更大。本题中天平左侧下沉，说明左边物体的质量比右边大，已知左边质量为x g，右边为50 g，因此将大小关系用不等号表示即可得到对应的不等式。
【解析】
观察天平可知，左侧托盘位置更低，说明左侧物体的质量大于右侧物体的质量。
已知左侧物体质量为x g，右侧物体质量为50 g，因此可列不等式：$\boldsymbol{x＞50}$。
【答案】
$x＞50$
【知识点】
列不等式；不等关系的实际应用
【点评】
本题结合天平的实际场景考查不等关系的表示，解题关键是根据天平倾斜方向准确判断两侧质量的大小关系，注意不等号的方向要对应大小关系，避免写反。
【难度系数】
0.9
10. 已知不等式$(a-1)x ＞ a-1$的解集是$x＜1$，则$a$的取值范围为$\underline{\hspace{10cm}}$.
答案
10.$a＜1$
解析
【分析】
首先回忆不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。观察题目中的不等式$(a-1)x ＞ a-1$，其解集是$x＜1$，和原不等式的不等号方向相比发生了改变，说明将x的系数化为1时，两边同时除以的$(a-1)$是负数，由此列出关于a的不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
解：已知不等式$(a-1)x ＞ a-1$的解集为$x ＜ 1$，不等号方向发生改变。
根据不等式的性质：不等式两边除以同一个负数，不等号方向改变，可得：
$a-1 ＜ 0$
移项计算得：$a ＜ 1$
【答案】
$a ＜ 1$
【知识点】
不等式的基本性质，含参数一元一次不等式求解
【点评】
本题核心是考查不等式性质的灵活应用，解题关键是根据不等号方向的变化准确判断未知数系数的正负，易错点是容易混淆不等号方向改变对应的系数正负情况，导致最终取值范围的符号写反。
【难度系数】
0.6
首先回忆不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。观察题目中的不等式$(a-1)x ＞ a-1$，其解集是$x＜1$，和原不等式的不等号方向相比发生了改变，说明将x的系数化为1时，两边同时除以的$(a-1)$是负数，由此列出关于a的不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
解：已知不等式$(a-1)x ＞ a-1$的解集为$x ＜ 1$，不等号方向发生改变。
根据不等式的性质：不等式两边除以同一个负数，不等号方向改变，可得：
$a-1 ＜ 0$
移项计算得：$a ＜ 1$
【答案】
$a ＜ 1$
【知识点】
不等式的基本性质，含参数一元一次不等式求解
【点评】
本题核心是考查不等式性质的灵活应用，解题关键是根据不等号方向的变化准确判断未知数系数的正负，易错点是容易混淆不等号方向改变对应的系数正负情况，导致最终取值范围的符号写反。
【难度系数】
0.6
11. 关于$ x $ 的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是
$x≥3$
.答案
11.$x≥3$
解析
【分析】
要确定不等式组的解集，首先需要从数轴中读出两个不等式各自的解集，再根据不等式组解集的判断规则找到两个解集的公共部分。第一步先识别数轴表示解集的规则：空心圆圈代表不包含该点，实心圆点代表包含该点，折线向右代表大于对应数值。之后根据“同大取大”的解集选取规则，就能得到不等式组的公共解集。
【解析】
首先观察数轴上两个不等式的解集：
1. 边界为2的解集：2处是空心圆圈，折线向右，因此该不等式的解集为$x＞2$；
2. 边界为3的解集：3处是实心圆点，折线向右，因此该不等式的解集为$x≥3$。
根据不等式组解集“同大取大”的判定规则，两个解集的公共部分为$x≥3$。
【答案】
$x≥3$
【知识点】
数轴表示不等式解集；不等式组解集的确定
【点评】
本题考查不等式解集的数轴表示方法和不等式组解集的选取规则，解题时要注意区分空心圆圈和实心圆点的含义，熟练掌握解集判定口诀即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要确定不等式组的解集，首先需要从数轴中读出两个不等式各自的解集，再根据不等式组解集的判断规则找到两个解集的公共部分。第一步先识别数轴表示解集的规则：空心圆圈代表不包含该点，实心圆点代表包含该点，折线向右代表大于对应数值。之后根据“同大取大”的解集选取规则，就能得到不等式组的公共解集。
【解析】
首先观察数轴上两个不等式的解集：
1. 边界为2的解集：2处是空心圆圈，折线向右，因此该不等式的解集为$x＞2$；
2. 边界为3的解集：3处是实心圆点，折线向右，因此该不等式的解集为$x≥3$。
根据不等式组解集“同大取大”的判定规则，两个解集的公共部分为$x≥3$。
【答案】
$x≥3$
【知识点】
数轴表示不等式解集；不等式组解集的确定
【点评】
本题考查不等式解集的数轴表示方法和不等式组解集的选取规则，解题时要注意区分空心圆圈和实心圆点的含义，熟练掌握解集判定口诀即可快速解题。
【难度系数】
0.8
12. 不等式组$\begin{cases}x ＞ \dfrac{x - 2}{2}, \\5x - 3 ＜ 9 + x\end{cases}$的整数解有________个.
答案
12.4
解析
【分析】
要解决本题，首先需分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再找到两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，最后在总解集范围内统计所有整数的个数即可。解题时要严格遵循解一元一次不等式的步骤，注意移项要变号、去分母不要漏乘等易错点。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式$x ＞ \dfrac{x-2}{2}$：
两边同时乘2去分母，得$2x ＞ x - 2$，
移项，得$2x - x ＞ -2$，
合并同类项，得$x ＞ -2$。
2. 解不等式$5x - 3 ＜ 9 + x$：
移项，得$5x - x ＜ 9 + 3$，
合并同类项，得$4x ＜ 12$，
系数化为1，得$x ＜ 3$。
因此不等式组的解集为$-2 ＜ x ＜ 3$，其中的整数为$-1、0、1、2$，共4个。
【答案】
4
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 一元一次不等式组的解集
3. 不等式组的整数解
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元一次不等式组的求解及整数解的统计，熟练掌握解不等式的基本步骤、准确确定解集的公共范围是解题的关键，解题时要注意不要误将边界值计入整数解。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再找到两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，最后在总解集范围内统计所有整数的个数即可。解题时要严格遵循解一元一次不等式的步骤，注意移项要变号、去分母不要漏乘等易错点。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式$x ＞ \dfrac{x-2}{2}$：
两边同时乘2去分母，得$2x ＞ x - 2$，
移项，得$2x - x ＞ -2$，
合并同类项，得$x ＞ -2$。
2. 解不等式$5x - 3 ＜ 9 + x$：
移项，得$5x - x ＜ 9 + 3$，
合并同类项，得$4x ＜ 12$，
系数化为1，得$x ＜ 3$。
因此不等式组的解集为$-2 ＜ x ＜ 3$，其中的整数为$-1、0、1、2$，共4个。
【答案】
4
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 一元一次不等式组的解集
3. 不等式组的整数解
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元一次不等式组的求解及整数解的统计，熟练掌握解不等式的基本步骤、准确确定解集的公共范围是解题的关键，解题时要注意不要误将边界值计入整数解。
【难度系数】
0.8
13. 用不等式表示下列各题.
(1)$a$与$1$的和是正数；
(2)$a$的$\dfrac{1}{2}$和$b$的$\dfrac{1}{3}$的差是负数；
(3)$a$的$\dfrac{3}{2}$与$b$的和的平方是非负数；
(4)$x$的绝对值与$y$的平方的差不小于$0$.
(1)$a$与$1$的和是正数；
(2)$a$的$\dfrac{1}{2}$和$b$的$\dfrac{1}{3}$的差是负数；
(3)$a$的$\dfrac{3}{2}$与$b$的和的平方是非负数；
(4)$x$的绝对值与$y$的平方的差不小于$0$.
答案
解:(1)$a+1＞0$.
(2)$\frac{1}{2}a-\frac{1}{3}b＜0$.
(3)$(\frac{3}{2}a+b)^2≥0$.
(4)$|x|-y^2≥0$.
(2)$\frac{1}{2}a-\frac{1}{3}b＜0$.
(3)$(\frac{3}{2}a+b)^2≥0$.
(4)$|x|-y^2≥0$.
解析
【分析】
解题时先抓住题目中的关键词，明确各类表述对应的不等关系：正数表示大于0，负数表示小于0，非负数表示大于等于0，“不小于”表示大于等于；再按照文字描述的运算顺序列出对应的代数式，最后结合不等关系写出不等式即可，注意运算有先后要求时要合理添加括号。
【解析】
(1) 先列“a与1的和”的代数式：$a+1$，“正数”即大于0，因此可得不等式：$a+1＞0$；
(2) 分别列“a的$\dfrac{1}{2}$”为$\dfrac{1}{2}a$、“b的$\dfrac{1}{3}$”为$\dfrac{1}{3}b$，二者的差为$\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{3}b$，“负数”即小于0，因此可得不等式：$\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{3}b＜0$；
(3) 先计算“a的$\dfrac{3}{2}$与b的和”：$\dfrac{3}{2}a+b$，再对和取平方得$(\dfrac{3}{2}a+b)^2$，“非负数”即大于等于0，因此可得不等式：$(\dfrac{3}{2}a+b)^2≥0$；
(4) 分别列“x的绝对值”为$|x|$、“y的平方”为$y^2$，二者的差为$|x|-y^2$，“不小于0”即大于等于0，因此可得不等式：$|x|-y^2≥0$。
【答案】
(1)$a+1＞0$；
(2)$\frac{1}{2}a-\frac{1}{3}b＜0$；
(3)$(\frac{3}{2}a+b)^2≥0$；
(4)$|x|-y^2≥0$。
【知识点】
列不等式、代数式书写、不等关系判断
【点评】
本题属于基础题型，核心是将文字描述的数量关系转化为数学不等式，解题时要注意准确理解“正数”“非负数”“不小于”等关键词的含义，同时注意运算的先后顺序，必要时添加括号保证运算逻辑正确。
【难度系数】
0.8
解题时先抓住题目中的关键词，明确各类表述对应的不等关系：正数表示大于0，负数表示小于0，非负数表示大于等于0，“不小于”表示大于等于；再按照文字描述的运算顺序列出对应的代数式，最后结合不等关系写出不等式即可，注意运算有先后要求时要合理添加括号。
【解析】
(1) 先列“a与1的和”的代数式：$a+1$，“正数”即大于0，因此可得不等式：$a+1＞0$；
(2) 分别列“a的$\dfrac{1}{2}$”为$\dfrac{1}{2}a$、“b的$\dfrac{1}{3}$”为$\dfrac{1}{3}b$，二者的差为$\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{3}b$，“负数”即小于0，因此可得不等式：$\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{3}b＜0$；
(3) 先计算“a的$\dfrac{3}{2}$与b的和”：$\dfrac{3}{2}a+b$，再对和取平方得$(\dfrac{3}{2}a+b)^2$，“非负数”即大于等于0，因此可得不等式：$(\dfrac{3}{2}a+b)^2≥0$；
(4) 分别列“x的绝对值”为$|x|$、“y的平方”为$y^2$，二者的差为$|x|-y^2$，“不小于0”即大于等于0，因此可得不等式：$|x|-y^2≥0$。
【答案】
(1)$a+1＞0$；
(2)$\frac{1}{2}a-\frac{1}{3}b＜0$；
(3)$(\frac{3}{2}a+b)^2≥0$；
(4)$|x|-y^2≥0$。
【知识点】
列不等式、代数式书写、不等关系判断
【点评】
本题属于基础题型，核心是将文字描述的数量关系转化为数学不等式，解题时要注意准确理解“正数”“非负数”“不小于”等关键词的含义，同时注意运算的先后顺序，必要时添加括号保证运算逻辑正确。
【难度系数】
0.8
