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18.港珠澳大桥是一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程.根据规定,内地货车载重后总质量超过 49 t 的禁止通行.现有一辆自重 6 t 的货车,要运输若干套某种设备,每套设备由1 个 A 部件和 3 个 B 部件组成,这种设备必须成套运输.已知 2 个 A 部件和 1 个 B 部件的总质量为 2 t,4 个 A 部件和 3 个 B 部件的质量相等.
(1)求 1 个 A 部件和 1 个 B 部件的质量各为多少吨.
(2)该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港,一次最多可运输多少套这种设备?
(1)求 1 个 A 部件和 1 个 B 部件的质量各为多少吨.
(2)该货车要从珠海运输这种成套设备经由港珠澳大桥到香港,一次最多可运输多少套这种设备?
答案
解:(1)设1个A部件的质量为x t,1个B部件的质量为y t,
由题意,得$\begin{cases}2x+y=2,\\4x=3y,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=0.6,\\y=0.8.\end{cases}$
答:1个A部件的质量为0.6 t,1个B部件的质量为0.8 t.
(2)设该货车一次可运输m套这种设备.
根据题意,得$(0.6+0.8×3)·m+6≤49$,解得$m≤14\frac{1}{3}$.
$\because m$为正整数,$\therefore m$的最大值为14.
答:该货车一次最多可运输14套这种设备.
由题意,得$\begin{cases}2x+y=2,\\4x=3y,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=0.6,\\y=0.8.\end{cases}$
答:1个A部件的质量为0.6 t,1个B部件的质量为0.8 t.
(2)设该货车一次可运输m套这种设备.
根据题意,得$(0.6+0.8×3)·m+6≤49$,解得$m≤14\frac{1}{3}$.
$\because m$为正整数,$\therefore m$的最大值为14.
答:该货车一次最多可运输14套这种设备.
解析
【分析】
（1）第一问可通过建立二元一次方程组求解，先提取题干两个等量关系：①2个A部件的质量与1个B部件的质量之和为2t；②4个A部件的质量等于3个B部件的质量。设1个A、B部件的质量分别为x t、y t，代入等量关系列方程组求解即可。
（2）第二问是一元一次不等式的实际应用，先计算1套设备的总质量（1个A部件加3个B部件的质量和），再根据“货车自重+所有设备总质量≤49t”的限重规定列不等式，求解后结合运输套数为正整数的实际意义，取最大符合条件的整数即可得到结果。
【解析】
(1)设1个A部件的质量为x t，1个B部件的质量为y t，
由题意得：$\begin{cases}2x+y=2\\4x=3y\end{cases}$
将$4x=3y$变形为$y=\frac{4}{3}x$，代入$2x+y=2$得：
$2x+\frac{4}{3}x=2$，解得$x=0.6$，
把$x=0.6$代入$y=\frac{4}{3}x$，得$y=0.8$。
(2)设该货车一次可运输m套这种设备，
1套设备的质量为$0.6+0.8×3=3$t，
根据限重要求列不等式：$3m+6≤49$，
解得$m≤14\frac{1}{3}$，
$\because m$为正整数，$\therefore m$的最大值为14。
【答案】
(1)1个A部件的质量为0.6 t，1个B部件的质量为0.8 t；
(2)一次最多可运输14套这种设备。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，实际问题整数解
【点评】
本题以港珠澳大桥通行规则为背景，贴合生活实际，考查学生提取等量、不等关系建立数学模型解决实际问题的能力，解题时需注意实际问题中未知数的取值要符合现实要求，不可盲目四舍五入。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可通过建立二元一次方程组求解，先提取题干两个等量关系：①2个A部件的质量与1个B部件的质量之和为2t；②4个A部件的质量等于3个B部件的质量。设1个A、B部件的质量分别为x t、y t，代入等量关系列方程组求解即可。
（2）第二问是一元一次不等式的实际应用，先计算1套设备的总质量（1个A部件加3个B部件的质量和），再根据“货车自重+所有设备总质量≤49t”的限重规定列不等式，求解后结合运输套数为正整数的实际意义，取最大符合条件的整数即可得到结果。
【解析】
(1)设1个A部件的质量为x t，1个B部件的质量为y t，
由题意得：$\begin{cases}2x+y=2\\4x=3y\end{cases}$
将$4x=3y$变形为$y=\frac{4}{3}x$，代入$2x+y=2$得：
$2x+\frac{4}{3}x=2$，解得$x=0.6$，
把$x=0.6$代入$y=\frac{4}{3}x$，得$y=0.8$。
(2)设该货车一次可运输m套这种设备，
1套设备的质量为$0.6+0.8×3=3$t，
根据限重要求列不等式：$3m+6≤49$，
解得$m≤14\frac{1}{3}$，
$\because m$为正整数，$\therefore m$的最大值为14。
【答案】
(1)1个A部件的质量为0.6 t，1个B部件的质量为0.8 t；
(2)一次最多可运输14套这种设备。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，实际问题整数解
【点评】
本题以港珠澳大桥通行规则为背景，贴合生活实际，考查学生提取等量、不等关系建立数学模型解决实际问题的能力，解题时需注意实际问题中未知数的取值要符合现实要求，不可盲目四舍五入。
【难度系数】
0.7
19.【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若 $a - b ＞ 0$，则 $a ＞ b$；若 $a - b = 0$，则 $a = b$；若 $a - b ＜ 0$，则 $a ＜ b$。反之也成立。
这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”。
【理解】(1)若 $a - b + 2 ＞ 0$，则 $a + 1$
【运用】(2)若 $M = a^2 + 3b$，$N = 2a^2 + 3b + 1$，试比较 $M$，$N$ 的大小；
【拓展】(3)请运用“作差法比较大小”解决下面的问题。
制作某产品有两种用料方案，
方案一:用5块A型钢板，6块B型钢板；
方案二:用4块A型钢板，7块B型钢板。
已知每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小。方案一的总面积记为 $S_1$，方案二的总面积记为 $S_2$，试比较 $S_1$，$S_2$ 的大小。
若 $a - b ＞ 0$，则 $a ＞ b$；若 $a - b = 0$，则 $a = b$；若 $a - b ＜ 0$，则 $a ＜ b$。反之也成立。
这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”。
【理解】(1)若 $a - b + 2 ＞ 0$，则 $a + 1$
＞
$b - 1$（选填“＞”“＜”或“=”）；【运用】(2)若 $M = a^2 + 3b$，$N = 2a^2 + 3b + 1$，试比较 $M$，$N$ 的大小；
【拓展】(3)请运用“作差法比较大小”解决下面的问题。
制作某产品有两种用料方案，
方案一:用5块A型钢板，6块B型钢板；
方案二:用4块A型钢板，7块B型钢板。
已知每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小。方案一的总面积记为 $S_1$，方案二的总面积记为 $S_2$，试比较 $S_1$，$S_2$ 的大小。
答案
解:(1)＞
(2)$\because M=a^2+3b,N=2a^2+3b+1$,
$\therefore M-N=(a^2+3b)-(2a^2+3b+1)=a^2+3b-2a^2-3b-1=-a^2-1$.
$\because -a^2-1＜0$,$\therefore M＜N$.
(3)设A型钢板的面积为a,B型钢板的面积为b,
$\because$方案一的总面积记为$S_1$,方案二的总面积记为$S_2$,$\therefore S_1=5a+6b$,$S_2=4a+7b$.
$\therefore S_1-S_2=(5a+6b)-(4a+7b)=5a+6b-4a-7b=a-b$.
$\because$每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小,即$a＜b$,
$\therefore a-b＜0$.$\therefore S_1＜S_2$.
(2)$\because M=a^2+3b,N=2a^2+3b+1$,
$\therefore M-N=(a^2+3b)-(2a^2+3b+1)=a^2+3b-2a^2-3b-1=-a^2-1$.
$\because -a^2-1＜0$,$\therefore M＜N$.
(3)设A型钢板的面积为a,B型钢板的面积为b,
$\because$方案一的总面积记为$S_1$,方案二的总面积记为$S_2$,$\therefore S_1=5a+6b$,$S_2=4a+7b$.
$\therefore S_1-S_2=(5a+6b)-(4a+7b)=5a+6b-4a-7b=a-b$.
$\because$每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小,即$a＜b$,
$\therefore a-b＜0$.$\therefore S_1＜S_2$.
解析
【分析】
本题核心考查作差法比较大小的应用，解题思路统一为：将需要比较的两个对象作差，化简差式后判断差的正负，即可得到两者的大小关系。
第(1)问：要比较$a+1$和$b-1$的大小，直接对两式作差，化简后结合已知$a-b+2＞0$即可判断结果；
第(2)问：按照作差法步骤先计算$M-N$，去括号、合并同类项化简后，结合平方的非负性判断差的正负，即可得到$M$和$N$的大小关系；
第(3)问：先根据两种方案的用料规则，用含A型、B型钢板面积的代数式分别表示$S_1$和$S_2$，再作差化简，结合已知“A型钢板面积小于B型钢板”判断差的正负，即可比较$S_1$和$S_2$的大小。
【解析】
(1) 计算$(a+1)-(b-1)=a+1-b+1=a-b+2$，已知$a-b+2＞0$，因此$(a+1)-(b-1)＞0$，可得$a+1＞b-1$。
(2) 已知$M=a^2+3b$，$N=2a^2+3b+1$，
则$M-N=(a^2+3b)-(2a^2+3b+1)$
$=a^2+3b-2a^2-3b-1$
$=-a^2-1$
因为$a^2≥0$，所以$-a^2≤0$，因此$-a^2-1≤-1＜0$，即$M-N＜0$，故$M＜N$。
(3) 设每块A型钢板的面积为$a$，每块B型钢板的面积为$b$，
由题意得：$S_1=5a+6b$，$S_2=4a+7b$，
则$S_1-S_2=(5a+6b)-(4a+7b)$
$=5a+6b-4a-7b$
$=a-b$
已知每块A型钢板的面积比B型钢板小，即$a＜b$，因此$a-b＜0$，即$S_1-S_2＜0$，故$S_1＜S_2$。
【答案】
(1) $＞$
(2) $M＜N$
(3) $S_1＜S_2$
【知识点】
作差法比较大小；整式的加减；不等式的性质
【点评】
本题从基础变形到实际应用逐层递进，重点考查作差法的使用逻辑，解题的关键是正确化简两个代数式的差，并结合已知条件准确判断差的正负，能有效锻炼代数式运算能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
本题核心考查作差法比较大小的应用，解题思路统一为：将需要比较的两个对象作差，化简差式后判断差的正负，即可得到两者的大小关系。
第(1)问：要比较$a+1$和$b-1$的大小，直接对两式作差，化简后结合已知$a-b+2＞0$即可判断结果；
第(2)问：按照作差法步骤先计算$M-N$，去括号、合并同类项化简后，结合平方的非负性判断差的正负，即可得到$M$和$N$的大小关系；
第(3)问：先根据两种方案的用料规则，用含A型、B型钢板面积的代数式分别表示$S_1$和$S_2$，再作差化简，结合已知“A型钢板面积小于B型钢板”判断差的正负，即可比较$S_1$和$S_2$的大小。
【解析】
(1) 计算$(a+1)-(b-1)=a+1-b+1=a-b+2$，已知$a-b+2＞0$，因此$(a+1)-(b-1)＞0$，可得$a+1＞b-1$。
(2) 已知$M=a^2+3b$，$N=2a^2+3b+1$，
则$M-N=(a^2+3b)-(2a^2+3b+1)$
$=a^2+3b-2a^2-3b-1$
$=-a^2-1$
因为$a^2≥0$，所以$-a^2≤0$，因此$-a^2-1≤-1＜0$，即$M-N＜0$，故$M＜N$。
(3) 设每块A型钢板的面积为$a$，每块B型钢板的面积为$b$，
由题意得：$S_1=5a+6b$，$S_2=4a+7b$，
则$S_1-S_2=(5a+6b)-(4a+7b)$
$=5a+6b-4a-7b$
$=a-b$
已知每块A型钢板的面积比B型钢板小，即$a＜b$，因此$a-b＜0$，即$S_1-S_2＜0$，故$S_1＜S_2$。
【答案】
(1) $＞$
(2) $M＜N$
(3) $S_1＜S_2$
【知识点】
作差法比较大小；整式的加减；不等式的性质
【点评】
本题从基础变形到实际应用逐层递进，重点考查作差法的使用逻辑，解题的关键是正确化简两个代数式的差，并结合已知条件准确判断差的正负，能有效锻炼代数式运算能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
