1.16 的平方根是
（）

A.2
B.$-4$
C.4
D.$\pm 4$

1.D

【分析】
要解决这道题，首先回忆平方根的定义：如果一个数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，那么$x$就叫做$a$的平方根。需要注意正数有两个互为相反数的平方根，不要和仅取非负值的算术平方根混淆，我们只需要找出所有平方后等于16的数，就能得到16的平方根，再对应选择选项即可。
【解析】
根据平方根的定义：
因为$(+4)^2=16$，$(-4)^2=16$，
所以平方等于16的数有$+4$和$-4$两个，即16的平方根是$\pm4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.平方根的定义
2.正数平方根的性质
【点评】
本题是平方根的基础考查题，易错点是容易忽略平方根有正负两个结果，误把算术平方根当成平方根错选C，做题时要注意区分二者的概念差异。
【难度系数】
0.8

2. 下列各数中,没有平方根的是
()

A.$-2^2$
B.$(-2)^2$
C.$-(-2)$
D.$|-2|$

2.A

【分析】
解题首先要明确平方根的核心性质：只有非负数（正数和0）才有平方根，负数不存在平方根。因此本题的解题思路是先分别计算四个选项对应的数值，再判断各数值的正负，找到其中为负数的选项即为答案。计算时要注意运算顺序，区分带括号和不带括号的乘方运算。
【解析】
先逐一计算各选项的结果：
A. $-2^2 = -4$，属于负数；
B. $(-2)^2 = 4$，属于正数；
C. $-(-2) = 2$，属于正数；
D. $|-2| = 2$，属于正数。
根据“负数没有平方根”的性质，只有A选项的数没有平方根，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
平方根的性质、有理数乘方运算、绝对值化简
【点评】
本题是平方根的基础考查题，解题的核心是牢记平方根的存在条件，易错点是计算$-2^2$时混淆运算顺序，误将结果算为正数，解题时要特别注意乘方运算的优先级高于负号。
【难度系数】
0.8

3. 下列说法正确的是 （）

A.$2\dfrac{1}{2}$是$4\dfrac{1}{4}$的平方根
B.$0.2$是$0.4$的平方根
C.$-2$是$-4$的平方根
D.$\sqrt{2}$是$\sqrt{4}$的平方根

3.D

【分析】
解题时首先要明确平方根的核心概念：若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$是$a$的平方根，同时负数没有平方根。解题思路如下：第一步先排除被开方数为负数的错误选项；第二步对剩余选项分别计算前者的平方，判断是否等于后者，即可得出正确结论。
【解析】
根据平方根的定义和性质逐一判断选项：
1. 选项C：负数没有平方根，$-4$是负数，不存在平方根，因此C错误。
2. 选项A：计算$2\dfrac{1}{2}$的平方：$2\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$，$(\dfrac{5}{2})^2=\dfrac{25}{4}=6\dfrac{1}{4}≠4\dfrac{1}{4}$，因此$2\dfrac{1}{2}$不是$4\dfrac{1}{4}$的平方根，A错误。
3. 选项B：计算$0.2$的平方：$0.2^2=0.04≠0.4$，因此0.2是0.04的平方根，不是0.4的平方根，B错误。
4. 选项D：先化简$\sqrt{4}=2$，再计算$(\sqrt{2})^2=2$，满足平方根的定义，因此$\sqrt{2}$是$\sqrt{4}$的平方根，D正确。
【答案】
D
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质；算术平方根化简
【点评】
本题是平方根相关的基础题型，重点考查对平方根概念和性质的掌握，解题时要注意区分平方根与算术平方根的差异，计算数的平方时要准确，避免因带分数、含根号数的计算失误丢分。
【难度系数】
0.8

4. “$\frac{4}{9}$的平方根是$\pm\frac{2}{3}$”用数学式子可表示为 （）

A.$\sqrt{\frac{4}{9}}=\pm\frac{2}{3}$
B.$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$
C.$\pm\sqrt{\frac{4}{9}}=\pm\frac{2}{3}$
D.$-\sqrt{\frac{4}{9}}=-\frac{2}{3}$

4.C

【分析】
解题时首先要区分平方根和算术平方根的符号表示规则：算术平方根用$\sqrt{a}$表示，结果只能是非负数，对应$a$的正平方根；若要表示$a$的全部平方根（正负两个），需写成$\pm\sqrt{a}$的形式。题目要求表示“$\frac{4}{9}$的平方根是$\pm\frac{2}{3}$”，我们只需找到左边为$\frac{4}{9}$的平方根的正确表示、右边为$\pm\frac{2}{3}$的选项即可。
【解析】
1. 先明确各符号的含义：
$\sqrt{\frac{4}{9}}$表示$\frac{4}{9}$的算术平方根，结果唯一为$\frac{2}{3}$，因此A选项等式本身错误，B选项虽然等式成立，但仅表示算术平方根，不符合“平方根是$\pm\frac{2}{3}$”的题意。
$-\sqrt{\frac{4}{9}}$表示$\frac{4}{9}$的负平方根，结果为$-\frac{2}{3}$，对应D选项，仅表示负的平方根，不符合题意。
$\pm\sqrt{\frac{4}{9}}$表示$\frac{4}{9}$的全部平方根，计算可得$\pm\sqrt{\frac{4}{9}}=\pm\frac{2}{3}$，完全符合题干表述。
2. 综上，C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
平方根的表示；算术平方根的概念
【点评】
本题属于平方根章节的基础题型，核心考查平方根与算术平方根的符号差异，准确掌握不同符号的含义是避免出错的关键。
【难度系数】
0.8

5. 下列式子中正确的是（）

A.$\sqrt{0.9}=0.3$
B.$\sqrt{1\dfrac{7}{9}}=\pm\dfrac{4}{3}$
C.$\sqrt{(-4)^2}=-4$
D.$\pm\sqrt{121}=\pm11$

5.D

【分析】
本题主要考查平方根与算术平方根的概念辨析，解题时首先要明确核心规则：符号$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是$a$的算术平方根，计算结果为非负数；符号$\pm\sqrt{a}$表示的是$a$的平方根，计算结果为互为相反数的两个数。我们只需按照上述规则逐一判断四个选项的计算是否正确，即可选出正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
选项A：因为$0.3^2=0.09≠0.9$，所以$\sqrt{0.9}≠0.3$，该选项错误；
选项B：$\sqrt{1\dfrac{7}{9}}=\sqrt{\dfrac{16}{9}}$，此处根号表示算术平方根，结果只能为非负数，即$\sqrt{\dfrac{16}{9}}=\dfrac{4}{3}$，不能带$\pm$，该选项错误；
选项C：先计算根号内的部分，$(-4)^2=16$，$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为$4≠-4$，该选项错误；
选项D：$\pm\sqrt{121}$表示121的平方根，因为$11^2=121$，所以$\pm\sqrt{121}=\pm11$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根的概念；平方根的概念；二次根式化简
【点评】
本题是平方根章节的基础常考题，核心易错点是混淆算术平方根（只有非负结果）和平方根（正负两个结果）的符号表示，只要牢记单独的根号默认表示算术平方根，结果非负，带$\pm$的根号才表示平方根，就能轻松规避错误。
【难度系数】
0.7

6.(1)9 的平方根是________;(2)3 的平方根是________;(3)0 的平方根是________.

6.(1)$\pm3$ (2)$\pm\sqrt{3}$ (3)$0$

【分析】
解题前先回忆平方根的定义与性质：如果一个数$x$的平方等于$a$（$a≥0$），那么$x$叫做$a$的平方根；正数有两个互为相反数的平方根，$0$的平方根是$0$，负数没有平方根。
解题时分别对每个小问，寻找平方后等于对应数的结果即可，注意正数的平方根要写全正负两个值，不要漏写负根。
【解析】
根据平方根的定义：若$x^2=a$（$a≥0$），则$x$是$a$的平方根，记作$\pm\sqrt{a}$。
(1) 因为$(\pm3)^2=9$，所以$9$的平方根是$\pm3$；
(2) 因为$(\pm\sqrt{3})^2=3$，所以$3$的平方根是$\pm\sqrt{3}$；
(3) 因为$0^2=0$，所以$0$的平方根是$0$。
【答案】
(1)$\pm3$；(2)$\pm\sqrt{3}$；(3)$0$
【知识点】
平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对平方根相关概念的掌握，解题时要注意区分平方根和算术平方根，正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根。
【难度系数】
0.9

7.(1)5是________的平方根;(2)-7是________的平方根.

7.(1)$25$ (2)$49$

【分析】
解题核心是运用平方根的定义推导：如果一个数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），那么$x$就是$a$的平方根。本题已知平方根求对应的被开方数，只需将给出的平方根做平方运算，所得结果就是对应的被开方数。第一问计算5的平方即可，第二问计算-7的平方即可。
【解析】
(1) 根据平方根定义计算：$5^2=5×5=25$，因此5是25的平方根。
(2) 同理计算：$(-7)^2=(-7)×(-7)=49$，因此-7是49的平方根。
【答案】
(1)$25$；(2)$49$
【知识点】
平方根的定义；有理数乘方运算
【点评】
本题是基础概念考查题，只要明确平方根和被开方数的平方对应关系就能快速解答，计算负数平方时注意结果为正即可。
【难度系数】
0.9

8.(1)当x 时,4x+3有平方根;
(2)当x 时,x+3没有平方根;
(3)若2m−4与3m−1是同一个数的两个不同的平方根,则m的值为 .

8.(1)$≥-\dfrac{3}{4}$ (2)$＜-3$ (3)$1$

【分析】
本题围绕平方根的性质展开解题：1. 只有非负数才有平方根，因此要使含x的整式有平方根，需令整式的值≥0，解对应不等式即可得到x的取值范围；2. 负数没有平方根，因此要使含x的整式没有平方根，需令整式的值＜0，解对应不等式即可；3. 同一个正数的两个不同平方根互为相反数，因此两个平方根的和为0，列方程求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 根据非负数才有平方根，可得：
$4x+3≥0$
移项得：$4x≥-3$
两边同时除以4，解得：$x≥-\dfrac{3}{4}$
(2) 根据负数没有平方根，可得：
$x+3＜0$
移项解得：$x＜-3$
(3) 同一个正数的两个不同平方根互为相反数，因此两者之和为0：
$(2m-4)+(3m-1)=0$
去括号得：$2m-4+3m-1=0$
合并同类项得：$5m-5=0$
移项得：$5m=5$
解得：$m=1$
【答案】
(1)$≥-\dfrac{3}{4}$ (2)$＜-3$ (3)$1$
【知识点】
平方根的性质；一元一次不等式的解法；一元一次方程的解法
【点评】
本题是平方根章节的基础常规题，核心考查对平方根性质的理解记忆，解题时需注意区分“有平方根”“没有平方根”对应的不等号方向，以及同一个正数两个平方根的关系，计算难度低，掌握核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85

9. 求下列各数的平方根：
(1)$\frac{25}{64}$；
(2)$0.25$；
(3)$2\frac{2}{49}$；
(4)$(-7)^2$.

9.解:(1)$\because (\pm\dfrac{5}{8})^2=\dfrac{25}{64},\therefore \dfrac{25}{64}$的平方根是$\pm\dfrac{5}{8}$.
(2)$\because (\pm0.5)^2=0.25,\therefore 0.25$的平方根是$\pm0.5$.
(3)$\because 2\dfrac{2}{49}=\dfrac{100}{49},(\pm\dfrac{10}{7})^2=\dfrac{100}{49}$,
$\therefore 2\dfrac{2}{49}$的平方根是$\pm\dfrac{10}{7}$.
(4)$\because (-7)^2=49,(\pm7)^2=49$,
$\therefore (-7)^2$的平方根是$\pm7$.

【分析】
求一个数的平方根核心依据是平方根的定义：若$x^2=a(a≥0)$，则$x$叫做$a$的平方根，且正数的平方根有两个，互为相反数。解题步骤如下：1. 先将待求数化简为最简形式，比如带分数化为假分数、先计算乘方的结果；2. 找到平方后等于这个最简数的两个互为相反数的数；3. 写出最终结果，注意不要遗漏负的平方根。
【解析】
(1) 因为$(\pm\dfrac{5}{8})^2=\dfrac{25}{64}$，所以$\dfrac{25}{64}$的平方根是$\pm\dfrac{5}{8}$。
(2) 因为$(\pm0.5)^2=0.25$，所以$0.25$的平方根是$\pm0.5$。
(3) 先把带分数化为假分数：$2\dfrac{2}{49}=\dfrac{2×49+2}{49}=\dfrac{100}{49}$，又因为$(\pm\dfrac{10}{7})^2=\dfrac{100}{49}$，所以$2\dfrac{2}{49}$的平方根是$\pm\dfrac{10}{7}$。
(4) 先计算乘方：$(-7)^2=49$，又因为$(\pm7)^2=49$，所以$(-7)^2$的平方根是$\pm7$。
【答案】
(1)$\pm\dfrac{5}{8}$；(2)$\pm0.5$；(3)$\pm\dfrac{10}{7}$；(4)$\pm7$
【知识点】
平方根的定义；带分数与假分数的互化；有理数的乘方
【点评】
本题是平方根求解的基础题，解题时需注意两点：一是正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏写负根；二是遇到带分数、含有乘方运算的数时，要先将其化简为最简形式再求平方根，避免运算错误。
【难度系数】
0.8

10. 求下列各式中的 $ x $ 的值：
(1)$25x^2 = 144$;
(2)$(2x - 1)^2 = 169$;
(3)$4(3x + 1)^2 = 1$;
(4)$36(x - 1)^2 - 25 = 0$.

10.解:(1)$\because x^2=\dfrac{144}{25},\therefore x=\pm\dfrac{12}{5}$.
(2)$\because (2x-1)^2=169,\therefore 2x-1=\pm13$.
当$2x-1=-13$时,解得$x=-6$;
当$2x-1=13$时,解得$x=7$.
所以$x$的值为$-6$或$7$.
(3)$\because (3x+1)^2=\dfrac{1}{4},\therefore 3x+1=\pm\dfrac{1}{2}$.
当$3x+1=-\dfrac{1}{2}$时,解得$x=-\dfrac{1}{2}$;
当$3x+1=\dfrac{1}{2}$时,解得$x=-\dfrac{1}{6}$.
所以$x$的值为$-\dfrac{1}{2}$或$-\dfrac{1}{6}$.
(4)$\because (x-1)^2=\dfrac{25}{36},\therefore x-1=\pm\dfrac{5}{6}$.
当$x-1=\dfrac{5}{6}$时,解得$x=\dfrac{11}{6}$;
当$x-1=-\dfrac{5}{6}$时,解得$x=\dfrac{1}{6}$.
所以$x$的值为$\dfrac{11}{6}$或$\dfrac{1}{6}$.

【分析】
这几道题都可利用平方根的定义求解，解题思路如下：首先将原式变形为“含x的整式的平方等于非负常数”的形式，再根据正数的平方根有两个且互为相反数，对等式两边开平方得到两个一元一次方程，分别求解两个一次方程即可得到x的值，注意不要遗漏负的平方根导致漏解。
【解析】
(1)$\because x^2=\dfrac{144}{25},\therefore x=\pm\dfrac{12}{5}$.
(2)$\because (2x-1)^2=169,\therefore 2x-1=\pm13$.
当$2x-1=-13$时,解得$x=-6$;
当$2x-1=13$时,解得$x=7$.
所以$x$的值为$-6$或$7$.
(3)$\because (3x+1)^2=\dfrac{1}{4},\therefore 3x+1=\pm\dfrac{1}{2}$.
当$3x+1=-\dfrac{1}{2}$时,解得$x=-\dfrac{1}{2}$;
当$3x+1=\dfrac{1}{2}$时,解得$x=-\dfrac{1}{6}$.
所以$x$的值为$-\dfrac{1}{2}$或$-\dfrac{1}{6}$.
(4)$\because (x-1)^2=\dfrac{25}{36},\therefore x-1=\pm\dfrac{5}{6}$.
当$x-1=\dfrac{5}{6}$时,解得$x=\dfrac{11}{6}$;
当$x-1=-\dfrac{5}{6}$时,解得$x=\dfrac{1}{6}$.
所以$x$的值为$\dfrac{11}{6}$或$\dfrac{1}{6}$.
【答案】
(1)$x=\pm\dfrac{12}{5}$；(2)$x=-6$或$7$；(3)$x=-\dfrac{1}{2}$或$-\dfrac{1}{6}$；(4)$x=\dfrac{11}{6}$或$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
平方根的定义，直接开平方法解方程
【点评】
本题是利用平方根性质解方程的基础题，解题关键是先将含未知数的平方项单独整理到等号一侧并将系数化为1，再开平方转化为一元一次方程求解，开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.8