11. 如果$-b$是$a$的平方根，那么
$(\quad)$

A.$b=a^2$
B.$a=b^2$
C.$b=-a^2$
D.$a=-b^2$

11.B

【分析】
解题的突破口是平方根的定义，首先回忆：如果x是a的平方根，那么x的平方等于a。本题已知$-b$是$a$的平方根，只需要将x替换为$-b$，代入上述关系，再计算$(-b)$的平方即可推导出$a$和$b$的关系，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
根据平方根的定义：若一个数是$a$的平方根，则这个数的平方等于$a$。
已知$-b$是$a$的平方根，因此可得：
$(-b)^2 = a$
根据乘方的运算规则，负数的平方是正数，所以$(-b)^2 = b^2$，代入上式得：
$a = b^2$
对应选项，B符合推导结果。
【答案】
B
【知识点】
平方根的定义；有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对平方根定义的掌握，解题时要注意负数平方的符号处理，避免因符号计算错误丢分。
【难度系数】
0.8

12.用“★”规定新运算:对于任意实数a,b,都有$a★b=a^2 - b$,如果$x★13=2$,那么x等于()

A.15
B.$\sqrt{15}$
C.$-\sqrt{15}$
D.$\pm\sqrt{15}$

12.D

【分析】
遇到新定义运算类题目，首先要准确理解运算规则：本题中a★b的运算结果等于第一个数的平方减去第二个数。接下来把x★13中的x对应规则里的a，13对应规则里的b，代入后就能得到关于x的方程，最后根据平方根的定义求解即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
根据新运算规定$a★b=a^2 - b$，将$a=x$，$b=13$代入得：
$x★13=x^2 - 13$
已知$x★13=2$，可列方程：
$x^2 - 13=2$
移项得：$x^2=15$
根据平方根的定义，正数的平方根有两个且互为相反数，因此$x=\pm\sqrt{15}$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，平方根性质，解方程
【点评】
本题属于基础题，解题关键是将新定义运算转化为常规的代数方程，易错点是忽略正数有两个互为相反数的平方根，仅保留正根导致错选。
【难度系数】
0.7

13.已知$8.6^{2}=73.96$，若$x^{2}=7396$，则$x$的值等于.

13.$\pm86$

【分析】
解题时首先观察已知条件中幂的结果73.96和所求式子中幂的结果7396的数量关系：7396是73.96的100倍，即$10^2$倍。根据乘方的运算性质，若底数扩大为原来的10倍，则平方的结果扩大为原来的$10^2=100$倍，可推出平方后等于7396的正数底数为$8.6×10=86$。再结合平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，即可得到x的取值。
【解析】
解：$\because 8.6^2=73.96$
$\therefore (8.6×10)^2=8.6^2×10^2=73.96×100=7396$，即$86^2=7396$
又$\because$互为相反数的两个数的平方相等，$\therefore (-86)^2=7396$
$\because x^2=7396$
$\therefore x=\pm86$
【答案】
$\pm86$
【知识点】
1. 平方根的概念
2. 乘方的运算性质
【点评】
本题重点考查乘方运算中底数和幂的变化规律，以及正数的平方根的特征，解题时容易忽略负数平方根的情况，需注意不要漏解。
【难度系数】
0.8

14.按如图所示的操作步骤,若输出的y的值为6,则输入的x的值为.

14.$-8或-2$

【分析】
首先根据图中的操作步骤梳理输入x和输出y的等量关系：x先加5，再平方，最后减3得到y，由此列出y关于x的表达式。已知y=6，代入表达式得到关于x的方程，再根据平方根的定义求解即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
根据操作步骤可得y与x的关系式为：
$y=(x+5)^2 - 3$
将$y=6$代入上式：
$(x+5)^2 - 3 = 6$
移项整理得：
$(x+5)^2 = 9$
根据平方根的性质开平方得：
$x+5=3$ 或 $x+5=-3$
分别求解：
当$x+5=3$时，$x=3-5=-2$；
当$x+5=-3$时，$x=-3-5=-8$。
【答案】
$-8$或$-2$
【知识点】
列代数式、平方根运算、解方程
【点评】
本题核心考查根据操作流程建立等量关系，结合平方根性质求解方程，解题时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解。
【难度系数】
0.7

15.正数$ a $的两个平方根是方程$ 3x + 2y = 2 $的一组解，则$ a = \_\_\_\_\_\_ $.

15.$4$

【分析】
首先回忆正数平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，因此本题中方程$3x+2y=2$的这组解满足$y=-x$；接下来将$y=-x$代入方程即可求出其中一个平方根的值，最后对平方根平方就能得到$a$的值。
【解析】
解：$\because$正数的两个平方根互为相反数
$\therefore$正数$a$的两个平方根满足$x+y=0$，即$y=-x$
将$y=-x$代入方程$3x+2y=2$，得：
$3x+2×(-x)=2$
解得$x=2$
$\therefore a=x^2=2^2=4$
【答案】
$4$
【知识点】
平方根的性质；二元一次方程的解
【点评】
本题是基础应用型题目，解题的核心是掌握正数的两个平方根互为相反数这一性质，结合二元一次方程解的含义即可快速求解。
【难度系数】
0.8

16. 已知$\sqrt{x-2y-3}+(2x-3y-5)^2=0$，求$x-8y$的平方根.

16.解:$\because \sqrt{x-2y-3}+(2x-3y-5)^2=0$,
$\therefore x-2y=3$且$2x-3y=5$,
解得$x=1,y=-1$,
$\therefore x-8y=1-8×(-1)=1+8=9$,
则$x-8y$的平方根为$\pm3$.

【分析】
解题时首先回忆非负数的性质：算术平方根和偶次幂的结果都大于等于0，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自都为0。据此我们可以列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组得到x、y的值后，代入计算x-8y的结果，最后根据平方根的定义求出对应的平方根即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{x-2y-3} ≥ 0$，$(2x-3y-5)^2 ≥ 0$，且二者的和为0
∴ $\begin{cases} x-2y-3=0 \\ 2x-3y-5=0 \end{cases}$，整理得 $\begin{cases} x-2y=3 \quad ① \\ 2x-3y=5 \quad ② \end{cases}$
由①得 $x=2y+3$，将其代入②得：
$2(2y+3)-3y=5$，化简得 $y+6=5$，解得 $y=-1$
把 $y=-1$ 代入 $x=2y+3$，得 $x=2×(-1)+3=1$
将$x=1$，$y=-1$代入得：$x-8y=1-8×(-1)=9$
∵ $(\pm3)^2=9$，
∴ 9的平方根为$\pm3$
【答案】
$\pm3$
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；平方根的定义
【点评】
本题属于基础综合题，核心考点是算术平方根、平方数的非负性，以及平方根的计算，解题时要注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏写负的结果。
【难度系数】
0.7

17.已知$2a+1$的平方根是$\pm 3$,$5a+2b-2$的算术平方根是$6$,求$5a-2b$的平方根.

17.解:$\because 2a+1$的平方根是$\pm3$,$5a+2b-2$的算术平方根是6,
$\therefore 2a+1=9,5a+2b-2=36$,
解得$a=4,b=9,\therefore 5a-2b=20-18=2$,
则$5a-2b$的平方根为$\pm\sqrt{2}$.

【分析】
解题时首先要明确平方根和算术平方根的定义：若一个数的平方根为±x，则这个数等于x²；若一个数的算术平方根为x（x≥0），则这个数等于x²。我们可以根据这两个定义分别列出关于a、b的方程，先求解得到a的值，再代入第二个方程求出b的值，最后将a、b代入5a-2b计算出结果，再求该结果的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
解：$\because 2a+1$的平方根是$\pm 3$，$5a+2b-2$的算术平方根是$6$，
$\therefore$ 根据平方根和算术平方根的定义可得：
$2a+1=(\pm3)^2=9$，
$5a+2b-2=6^2=36$，
解第一个方程：$2a+1=9$，移项得$2a=8$，解得$a=4$，
将$a=4$代入第二个方程：$5×4+2b-2=36$，
化简得$18+2b=36$，移项得$2b=18$，解得$b=9$，
将$a=4$、$b=9$代入$5a-2b$得：$5×4-2×9=20-18=2$，
$\because 2$的平方根为$\pm\sqrt{2}$，
$\therefore 5a-2b$的平方根为$\pm\sqrt{2}$。
【答案】
$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
平方根的定义，算术平方根的定义，代数式求值
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是准确区分平方根和算术平方根的概念，解题时严格按照定义列方程求解即可，要注意正数的平方根有两个互为相反数的结果，避免漏写负根。
【难度系数】
0.8

18.小明是一位善于思考、勇于创新的同学.在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根，比如：因为没有一个数的平方等于－1，所以－1没有平方根.有一天，小明想：如果存在一个数i，使$\mathrm{i}^2=-1$，那么$(-\mathrm{i})^2=-1$，因此－1就有两个平方根了.进一步，小明想：因为$(±2\mathrm{i})^2=-4$，所以－4的平方根就是$\pm 2\mathrm{i}$；因为$(±3\mathrm{i})^2=-9$，所以－9的平方根就是$\pm 3\mathrm{i}$.
请你根据上面的信息解答下列问题：
(1)求－16，－25 的平方根；
(2)求$\mathrm{i}^3,\mathrm{i}^4,\mathrm{i}^5,\mathrm{i}^6,\mathrm{i}^7,\mathrm{i}^8$的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用式子表示出来.

18.解:(1)$\because (\pm4\mathrm{i})^2=-16,\therefore \pm\sqrt{-16}=\pm4\mathrm{i}$.
$\because (\pm5\mathrm{i})^2=-25,\therefore \pm\sqrt{-25}=\pm5\mathrm{i}$.
(2)$\mathrm{i}^3=\mathrm{i}^2· \mathrm{i}=-\mathrm{i},\mathrm{i}^4=(\mathrm{i}^2)^2=(-1)^2=1$,
$\mathrm{i}^5=\mathrm{i}^4· \mathrm{i}=\mathrm{i},\mathrm{i}^6=\mathrm{i}^5· \mathrm{i}=\mathrm{i}^2=-1,\mathrm{i}^7=\mathrm{i}^6· \mathrm{i}=-\mathrm{i}$,
$\mathrm{i}^8=\mathrm{i}^7· \mathrm{i}=1$.
规律:$\mathrm{i}^1,\mathrm{i}^2,\mathrm{i}^3,\mathrm{i}^4,\dots,\mathrm{i}^n$($n$为正整数)的值每四个一循环,即$\mathrm{i},-1,-\mathrm{i},1$.

【分析】
(1) 求解负数的平方根时，可参考题目给出的推导逻辑：已知$\mathrm{i}^2=-1$，若要找$-a$（$a＞0$）的平方根，只需找到$±b\mathrm{i}$使得$(±b\mathrm{i})^2=-a$，也就是$b^2=a$，即可得到结果。
(2) 计算$\mathrm{i}$的高次幂时，利用乘方的运算性质，将高次幂转化为$\mathrm{i}^2$与低次幂的乘积，结合已知的$\mathrm{i}^2=-1$逐步计算即可；计算出所有结果后，观察结果的重复特征，就能总结出对应的规律。
【解析】
(1) 因为$(\pm4\mathrm{i})^2 = 16× \mathrm{i}^2 = 16×(-1) = -16$，所以$\pm\sqrt{-16}=\pm4\mathrm{i}$；
因为$(\pm5\mathrm{i})^2 = 25× \mathrm{i}^2 = 25×(-1) = -25$，所以$\pm\sqrt{-25}=\pm5\mathrm{i}$。
(2) 根据乘方运算规则，结合$\mathrm{i}^2=-1$计算：
$\mathrm{i}^3=\mathrm{i}^2· \mathrm{i}=-1×\mathrm{i}=-\mathrm{i}$，
$\mathrm{i}^4=(\mathrm{i}^2)^2=(-1)^2=1$，
$\mathrm{i}^5=\mathrm{i}^4· \mathrm{i}=1×\mathrm{i}=\mathrm{i}$，
$\mathrm{i}^6=\mathrm{i}^5· \mathrm{i}=\mathrm{i}·\mathrm{i}=\mathrm{i}^2=-1$，
$\mathrm{i}^7=\mathrm{i}^6· \mathrm{i}=-1×\mathrm{i}=-\mathrm{i}$，
$\mathrm{i}^8=\mathrm{i}^7· \mathrm{i}=-\mathrm{i}·\mathrm{i}=-\mathrm{i}^2=1$。
观察结果可得规律：$\mathrm{i}^n$（$n$为正整数）的值每四个一循环，依次为$\mathrm{i},-1,-\mathrm{i},1$。
【答案】
(1)$\pm\sqrt{-16}=\pm4\mathrm{i}$，$\pm\sqrt{-25}=\pm5\mathrm{i}$；
(2)$\mathrm{i}^3=-\mathrm{i}$，$\mathrm{i}^4=1$，$\mathrm{i}^5=\mathrm{i}$，$\mathrm{i}^6=-1$，$\mathrm{i}^7=-\mathrm{i}$，$\mathrm{i}^8=1$；规律：$\mathrm{i}^n$（$n$为正整数）的值每四个一循环，即$\mathrm{i},-1,-\mathrm{i},1$。
【知识点】
平方根的定义，乘方运算，规律探究
【点评】
本题属于新定义阅读类题型，结合已学的平方根、乘方运算知识拓展新运算规则，重点考查学生的阅读理解能力、知识迁移应用能力和规律归纳能力，整体难度不高，掌握材料给出的新规则即可求解。
【难度系数】
0.7