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1. 如图,在$△ ABC$中,点$M,N$分别是$AB,AC$的中点,且$∠ A+∠ B=120°$,则$∠ ANM$的度数为 （
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①已知点M、N是AB、AC的中点，可联想到三角形中位线定理，得到MN和BC的位置关系；②已知∠A+∠B=120°，结合三角形内角和为180°，可先求出∠C的度数；再根据平行线的同位角相等，即可推出∠ANM的度数。
【解析】
第一步：求∠C的度数
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - (∠ A + ∠ B)$
已知$∠ A + ∠ B = 120°$，代入得$∠ C = 180° - 120° = 60°$
第二步：利用中位线性质推导角的关系
∵ 点M、N分别是AB、AC的中点
∴ MN是△ABC的中位线
根据三角形中位线定理，可得$MN// BC$
∴ $∠ ANM = ∠ C$（两直线平行，同位角相等）
第三步：得出结果
∴ $∠ ANM = 60°$
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是通过中位线的平行性质完成所求角和已知角度的转化，解题时熟练掌握中位线的性质，结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：①已知点M、N是AB、AC的中点，可联想到三角形中位线定理，得到MN和BC的位置关系；②已知∠A+∠B=120°，结合三角形内角和为180°，可先求出∠C的度数；再根据平行线的同位角相等，即可推出∠ANM的度数。
【解析】
第一步：求∠C的度数
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - (∠ A + ∠ B)$
已知$∠ A + ∠ B = 120°$，代入得$∠ C = 180° - 120° = 60°$
第二步：利用中位线性质推导角的关系
∵ 点M、N分别是AB、AC的中点
∴ MN是△ABC的中位线
根据三角形中位线定理，可得$MN// BC$
∴ $∠ ANM = ∠ C$（两直线平行，同位角相等）
第三步：得出结果
∴ $∠ ANM = 60°$
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是通过中位线的平行性质完成所求角和已知角度的转化，解题时熟练掌握中位线的性质，结合三角形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=30°$,$DE=2$,点$D$,$E$分别是边$BC$,$AC$的中点,则$BC$的长为（
A.$2$
B.$1$
C.$\sqrt{3}$
D.$1+\sqrt{3}$
A
）A.$2$
B.$1$
C.$\sqrt{3}$
D.$1+\sqrt{3}$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先观察到点D、E分别是BC、AC的中点，首先联想到三角形中位线定理，可先求出斜边AB的长度；再结合直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，就能求出BC的长度。
【解析】
解：
∵点D，E分别是边BC，AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}AB$
已知$DE=2$，代入得$AB=2DE=2×2=4$
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$∠A=30°$，BC是∠A所对的直角边，AB是斜边
根据含30°角的直角三角形的性质可得：$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查两个基础几何定理的应用，解题的关键是先通过中位线定理得到斜边AB的长度，再结合特殊直角三角形的性质计算目标边长度，平时要注意对基础定理的理解和熟练运用。
【难度系数】
0.8
解题时先观察到点D、E分别是BC、AC的中点，首先联想到三角形中位线定理，可先求出斜边AB的长度；再结合直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，就能求出BC的长度。
【解析】
解：
∵点D，E分别是边BC，AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}AB$
已知$DE=2$，代入得$AB=2DE=2×2=4$
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠C=90°$，$∠A=30°$，BC是∠A所对的直角边，AB是斜边
根据含30°角的直角三角形的性质可得：$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查两个基础几何定理的应用，解题的关键是先通过中位线定理得到斜边AB的长度，再结合特殊直角三角形的性质计算目标边长度，平时要注意对基础定理的理解和熟练运用。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$△ ABC$中,三条中位线围成的$△ DEF$的周长是$15\ \mathrm{cm}$,则$△ ABC$的周长是（
A.$60\ \mathrm{cm}$
B.$45\ \mathrm{cm}$
C.$30\ \mathrm{cm}$
D.$\dfrac{15}{2}\ \mathrm{cm}$
C
）A.$60\ \mathrm{cm}$
B.$45\ \mathrm{cm}$
C.$30\ \mathrm{cm}$
D.$\dfrac{15}{2}\ \mathrm{cm}$
答案
3.C
解析
【分析】
首先明确△DEF是由△ABC的三条中位线围成的三角形，解题核心是利用三角形中位线的性质。我们先推导△DEF各边与△ABC对应边的数量关系，再结合周长的定义得到两个三角形周长的倍数关系，最后代入已知的△DEF的周长，就能求出△ABC的周长。
【解析】
解：
∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、EF、DF均为△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：
$DE=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}AC$，
已知△DEF的周长为$DE+EF+DF=15\ \mathrm{cm}$，
将上述中位线关系代入得：$\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)=15\ \mathrm{cm}$，
因此$AB+BC+AC=15×2=30\ \mathrm{cm}$，即△ABC的周长为30cm。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题侧重考察三角形中位线性质的基础应用，只要掌握中位线等于对应第三边一半的数量关系，就能快速推导出两个三角形周长的倍数关系，解题思路直接清晰。
【难度系数】
0.8
首先明确△DEF是由△ABC的三条中位线围成的三角形，解题核心是利用三角形中位线的性质。我们先推导△DEF各边与△ABC对应边的数量关系，再结合周长的定义得到两个三角形周长的倍数关系，最后代入已知的△DEF的周长，就能求出△ABC的周长。
【解析】
解：
∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、EF、DF均为△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：
$DE=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，$DF=\frac{1}{2}AC$，
已知△DEF的周长为$DE+EF+DF=15\ \mathrm{cm}$，
将上述中位线关系代入得：$\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)=15\ \mathrm{cm}$，
因此$AB+BC+AC=15×2=30\ \mathrm{cm}$，即△ABC的周长为30cm。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题侧重考察三角形中位线性质的基础应用，只要掌握中位线等于对应第三边一半的数量关系，就能快速推导出两个三角形周长的倍数关系，解题思路直接清晰。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$△ ABC$中,AD是$△ ABC$的中线,E,F分别是AC,AD的中点,连接EF.已知$BC=12$,则EF的长为
$\begin{pmatrix}A. 3 & B. 4 & C. 5 & D. 6\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}A. 3 & B. 4 & C. 5 & D. 6\end{pmatrix}$
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“AD是△ABC的中线”入手，根据中线的定义可先求出DC的长度；再观察E、F分别是AC、AD的中点，可联想到三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，代入DC的长度即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，$BC=12$，
∴$DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，
∵E是AC的中点，F是AD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}×6=3$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的定义，三角形中位线定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质和中位线定理，先通过中线得到DC的长度，再借助中位线定理求解即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“AD是△ABC的中线”入手，根据中线的定义可先求出DC的长度；再观察E、F分别是AC、AD的中点，可联想到三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，代入DC的长度即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，$BC=12$，
∴$DC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×12=6$，
∵E是AC的中点，F是AD的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}×6=3$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的定义，三角形中位线定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质和中位线定理，先通过中线得到DC的长度，再借助中位线定理求解即可，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
