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18.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,∠ B=45°,BC=10$,过点$A$作$AD// BC$,且点$D$在点$A$的右侧.点$P$从点$A$出发沿射线$AD$方向以每秒1个单位长度的速度运动,同时点$Q$从点$C$出发沿射线$CB$方向以每秒2个单位长度的速度运动,在线段$QC$上取点$E$,使得$QE=2$,连接$PE$,设点$P$的运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)若$PE⊥ BC$,求$BQ$的长.
(2)是否存在$t$的值,使以点$A,B,E,P$为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出$t$的值;若不存在,请说明理由.
(1)若$PE⊥ BC$,求$BQ$的长.
(2)是否存在$t$的值,使以点$A,B,E,P$为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出$t$的值;若不存在,请说明理由.
答案
18.解:(1)过点$A$作$AM⊥ BC$于点$M$,设$AC$交$PE$于点$N$,如图.
$\because ∠ BAC=90°,∠ B=45°,$
$\therefore ∠ C=45°=∠ B,$
$\therefore AB=AC,$
$\therefore BM=CM,∠ BAM=∠ CAM=45°,$
$\therefore ∠ C=∠ CAM,$
$\therefore AM=CM=\frac{1}{2}BC=5.$
$\because AD// BC,$
$\therefore ∠ PAN=∠ C=45°.$
$\because PE⊥ BC,$
$\therefore PE=AM=5,PE⊥ AD,$
$\therefore △ APN$和$△ CEN$均是等腰直角三角形,
$\therefore PN=AP=t,CE=NE=5-t.$
$\because CE=CQ-QE=2t-2,$
$\therefore 5-t=2t-2$,解得$t=\frac{7}{3}$,$\therefore BQ=BC-CQ=10-2×\frac{7}{3}=\frac{16}{3}.$
(2)存在.
若以点$A,B,E,P$为顶点的四边形为平行四边形,则$AP=BE$,
$\therefore t=10-2t+2$或$t=2t-2-10$,
$\therefore t=4$或$t=12$,
$\therefore$ 存在$t$的值,使以点$A,B,E,P$为顶点的四边形为平行四边形,此时$t$的值为4或12.
解析
【分析】
(1) 首先明确△ABC是等腰直角三角形，要求BQ的长需先求出运动时间t。已知PE⊥BC且AD//BC，可过A作AM⊥BC于M，先利用等腰直角三角形性质求出AM=5，此时四边形AMPE为矩形，可得PE=AM=5。再结合△APN和△CEN均为等腰直角三角形，得到CE的两种表达形式：一是CE=5-t，二是CE=CQ-QE=2t-2，列方程解出t后即可计算BQ的长度。
(2) 要使以A、B、E、P为顶点的四边形为平行四边形，因AD//BC即AP//BE，根据平行四边形“一组对边平行且相等”的判定定理，只需满足AP=BE即可。由于点Q沿射线CB运动，E的位置存在两种情况：E在线段BC上、E在线段BC的延长线（B点左侧），分两种情况列方程求解t即可。
【解析】
(1) 过点$A$作$AM⊥ BC$于点$M$,设$AC$交$PE$于点$N$,如图。
$\because ∠ BAC=90°,∠ B=45°,$
$\therefore ∠ C=45°=∠ B,$
$\therefore AB=AC,$
$\therefore BM=CM,∠ BAM=∠ CAM=45°,$
$\therefore ∠ C=∠ CAM,$
$\therefore AM=CM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5.$
$\because AD// BC,PE⊥BC,AM⊥BC,$
$\therefore PE=AM=5,PE⊥ AD,$
$\therefore △ APN$和$△ CEN$均是等腰直角三角形,
$\therefore PN=AP=t,CE=NE=5-t.$
$\because CE=CQ-QE=2t-2,$
$\therefore 5-t=2t-2$,解得$t=\frac{7}{3}$,
$\therefore BQ=BC-CQ=10-2×\frac{7}{3}=\frac{16}{3}.$
(2) 存在，理由如下：
$\because AD//BC$，即$AP//BE$，若以点$A,B,E,P$为顶点的四边形为平行四边形，则$AP=BE$。
分两种情况讨论：
①当E在线段BC上时，$BE=10-(2t-2)$，列方程得$t=10-2t+2$，解得$t=4$；
②当E在线段BC的延长线（B点左侧）时，$BE=(2t-2)-10$，列方程得$t=2t-2-10$，解得$t=12$。
综上，存在符合条件的t值。
【答案】
(1) $BQ$的长为$\frac{16}{3}$；
(2) 存在，$t$的值为$\boxed{4}$或$\boxed{12}$。
【知识点】
等腰直角三角形性质；平行四边形判定；动点分类讨论
【点评】
本题属于几何动点中档综合题，既考查了等腰直角三角形的边角关系，也考查了平行四边形的判定定理，解题时需注意动点沿射线运动时存在多种位置情况，要分类讨论避免漏解，对思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确△ABC是等腰直角三角形，要求BQ的长需先求出运动时间t。已知PE⊥BC且AD//BC，可过A作AM⊥BC于M，先利用等腰直角三角形性质求出AM=5，此时四边形AMPE为矩形，可得PE=AM=5。再结合△APN和△CEN均为等腰直角三角形，得到CE的两种表达形式：一是CE=5-t，二是CE=CQ-QE=2t-2，列方程解出t后即可计算BQ的长度。
(2) 要使以A、B、E、P为顶点的四边形为平行四边形，因AD//BC即AP//BE，根据平行四边形“一组对边平行且相等”的判定定理，只需满足AP=BE即可。由于点Q沿射线CB运动，E的位置存在两种情况：E在线段BC上、E在线段BC的延长线（B点左侧），分两种情况列方程求解t即可。
【解析】
(1) 过点$A$作$AM⊥ BC$于点$M$,设$AC$交$PE$于点$N$,如图
。$\because ∠ BAC=90°,∠ B=45°,$
$\therefore ∠ C=45°=∠ B,$
$\therefore AB=AC,$
$\therefore BM=CM,∠ BAM=∠ CAM=45°,$
$\therefore ∠ C=∠ CAM,$
$\therefore AM=CM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5.$
$\because AD// BC,PE⊥BC,AM⊥BC,$
$\therefore PE=AM=5,PE⊥ AD,$
$\therefore △ APN$和$△ CEN$均是等腰直角三角形,
$\therefore PN=AP=t,CE=NE=5-t.$
$\because CE=CQ-QE=2t-2,$
$\therefore 5-t=2t-2$,解得$t=\frac{7}{3}$,
$\therefore BQ=BC-CQ=10-2×\frac{7}{3}=\frac{16}{3}.$
(2) 存在，理由如下：
$\because AD//BC$，即$AP//BE$，若以点$A,B,E,P$为顶点的四边形为平行四边形，则$AP=BE$。
分两种情况讨论：
①当E在线段BC上时，$BE=10-(2t-2)$，列方程得$t=10-2t+2$，解得$t=4$；
②当E在线段BC的延长线（B点左侧）时，$BE=(2t-2)-10$，列方程得$t=2t-2-10$，解得$t=12$。
综上，存在符合条件的t值。
【答案】
(1) $BQ$的长为$\frac{16}{3}$；
(2) 存在，$t$的值为$\boxed{4}$或$\boxed{12}$。
【知识点】
等腰直角三角形性质；平行四边形判定；动点分类讨论
【点评】
本题属于几何动点中档综合题，既考查了等腰直角三角形的边角关系，也考查了平行四边形的判定定理，解题时需注意动点沿射线运动时存在多种位置情况，要分类讨论避免漏解，对思维的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
19.综合实践课上,老师让同学们开展折纸活动,在$□ ABCD$中,E是BC边上的一点,F是AD边上的一点,将$□ ABCD$沿直线EF折叠,使点C落在AB边上的点$C'$处,点D的对应点为点$D'$,连接$CC'$.
(1)【观察发现】如图1,若$∠BCC'=15°,EC'⊥AB,BC=4+2\sqrt{3}$,求EC的长;
(2)【操作探究】如图2,当点$D'$落在BA的延长线上时,求证:四边形$EC'D'F$为平行四边形.
(1)【观察发现】如图1,若$∠BCC'=15°,EC'⊥AB,BC=4+2\sqrt{3}$,求EC的长;
(2)【操作探究】如图2,当点$D'$落在BA的延长线上时,求证:四边形$EC'D'F$为平行四边形.
答案
19.(1)解:由折叠,知$EC=EC'$,
$\therefore ∠ EC'C=∠ ECC'=15°,$
$\therefore ∠ BEC'=∠ ECC'+∠ EC'C=30°.$
$\because EC'⊥ AB,$
$\therefore ∠ EC'B=90°,$
$\therefore BE=2BC'.$
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ EBC'$中,由勾股定理,得$EC'=\sqrt{BE^2-C'B^2}=\sqrt{4C'B^2-C'B^2}=\sqrt{3}C'B$,
$\therefore EC=EC'=\sqrt{3}BC'$,
$\therefore BC=BE+EC=2BC'+\sqrt{3}BC'=4+2\sqrt{3}$,
$\therefore BC'=2$,
$\therefore EC=2\sqrt{3}.$
(2)证明:由折叠,知$∠ CEF=∠ C'EF,∠ EFD=∠ EFD'.$
由$□ ABCD$,得$AD// BC,∠ D=∠ B$,
$\therefore ∠ CEF+∠ EFD=180°,\therefore ∠ C'EF+∠ EFD'=180°$,
$\therefore C'E// D'F,\therefore ∠ BC'E=∠ D'=∠ D=∠ B$,
$\therefore BE=C'E=CE,\therefore C'E=\frac{1}{2}BC.$
$\because AD// BC$,点$D'$在$BA$的延长线上,
$\therefore ∠ B=∠ D'AF=∠ D'$,
$\therefore AF=D'F=DF$,
$\therefore D'F=\frac{1}{2}AD.$
又$\because AD=BC,\therefore C'E=D'F.$
又$\because C'E// D'F$,
$\therefore$ 四边形$EC'D'F$是平行四边形.
$\therefore ∠ EC'C=∠ ECC'=15°,$
$\therefore ∠ BEC'=∠ ECC'+∠ EC'C=30°.$
$\because EC'⊥ AB,$
$\therefore ∠ EC'B=90°,$
$\therefore BE=2BC'.$
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ EBC'$中,由勾股定理,得$EC'=\sqrt{BE^2-C'B^2}=\sqrt{4C'B^2-C'B^2}=\sqrt{3}C'B$,
$\therefore EC=EC'=\sqrt{3}BC'$,
$\therefore BC=BE+EC=2BC'+\sqrt{3}BC'=4+2\sqrt{3}$,
$\therefore BC'=2$,
$\therefore EC=2\sqrt{3}.$
(2)证明:由折叠,知$∠ CEF=∠ C'EF,∠ EFD=∠ EFD'.$
由$□ ABCD$,得$AD// BC,∠ D=∠ B$,
$\therefore ∠ CEF+∠ EFD=180°,\therefore ∠ C'EF+∠ EFD'=180°$,
$\therefore C'E// D'F,\therefore ∠ BC'E=∠ D'=∠ D=∠ B$,
$\therefore BE=C'E=CE,\therefore C'E=\frac{1}{2}BC.$
$\because AD// BC$,点$D'$在$BA$的延长线上,
$\therefore ∠ B=∠ D'AF=∠ D'$,
$\therefore AF=D'F=DF$,
$\therefore D'F=\frac{1}{2}AD.$
又$\because AD=BC,\therefore C'E=D'F.$
又$\because C'E// D'F$,
$\therefore$ 四边形$EC'D'F$是平行四边形.
解析
【分析】
(1) 本题可利用折叠的性质结合直角三角形的性质求解：首先由折叠可知EC=EC'，得到等腰△ECC'，结合已知角的度数，利用三角形外角定理求出∠BEC'=30°；再由EC'⊥AB得到Rt△BEC'，利用30°直角三角形的边角关系、勾股定理将BE、EC都用BC'表示，最后结合BC的长度列方程求出BC'，进而得到EC的长度。
(2) 要证明四边形EC'D'F为平行四边形，可证明一组对边平行且相等：首先利用折叠的性质得到对应角相等，结合平行四边形AD//BC的性质，推导同旁内角互补得到C'E//D'F；再通过角的等量代换推导C'E=CE、D'F=DF，结合平行四边形对边相等得到C'E=D'F，即可完成证明。
【解析】
(1) 解：由折叠的性质可知，$EC=EC'$，
$\therefore ∠EC'C=∠ECC'=15°$，
由三角形外角的性质可得，$∠BEC'=∠ECC'+∠EC'C=15°+15°=30°$，
$\because EC'⊥AB$，$\therefore ∠EC'B=90°$，
在$\mathrm{Rt}△EBC'$中，$∠BEC'=30°$，$\therefore BE=2BC'$，
由勾股定理得：$EC' = \sqrt{BE^2 - C'B^2} = \sqrt{(2C'B)^2 - C'B^2} = \sqrt{3} C'B$，
$\therefore EC = EC' = \sqrt{3} BC'$，
又$\because BC = BE + EC = 2BC' + \sqrt{3} BC' = 4+2\sqrt{3}$，
解得 $BC' = 2$，
$\therefore EC = \sqrt{3} × 2 = 2\sqrt{3}$。
(2) 证明：由折叠的性质可知，$∠CEF=∠C'EF$，$∠EFD=∠EFD'$，
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD// BC$，$∠D=∠B$，
$\therefore ∠CEF + ∠EFD = 180°$，
$\therefore ∠C'EF + ∠EFD' = 180°$，
$\therefore C'E// D'F$，
$\therefore ∠BC'E = ∠D'$，又$\because ∠D'=∠D=∠B$，
$\therefore ∠BC'E = ∠B$，
$\therefore BE = C'E$，又$\because C'E=CE$，
$\therefore C'E = \frac{1}{2} BC$，
$\because AD// BC$，点$D'$在$BA$的延长线上，
$\therefore ∠B = ∠D'AF = ∠D'$，
$\therefore AF = D'F$，又$\because D'F=DF$，
$\therefore D'F = \frac{1}{2} AD$，
$\because$ 平行四边形$ABCD$中$AD=BC$，
$\therefore C'E = D'F$，
又$\because C'E// D'F$，
$\therefore$ 四边形$EC'D'F$是平行四边形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\sqrt{3}}$；(2) 四边形$EC'D'F$为平行四边形，证明见解析。
【知识点】
折叠的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题将折叠变换与平行四边形的知识结合，既考查了几何计算能力，也考查了逻辑推理能力，解题的关键是灵活运用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合平行四边形的性质推导边角关系。
【难度系数】
0.6
(1) 本题可利用折叠的性质结合直角三角形的性质求解：首先由折叠可知EC=EC'，得到等腰△ECC'，结合已知角的度数，利用三角形外角定理求出∠BEC'=30°；再由EC'⊥AB得到Rt△BEC'，利用30°直角三角形的边角关系、勾股定理将BE、EC都用BC'表示，最后结合BC的长度列方程求出BC'，进而得到EC的长度。
(2) 要证明四边形EC'D'F为平行四边形，可证明一组对边平行且相等：首先利用折叠的性质得到对应角相等，结合平行四边形AD//BC的性质，推导同旁内角互补得到C'E//D'F；再通过角的等量代换推导C'E=CE、D'F=DF，结合平行四边形对边相等得到C'E=D'F，即可完成证明。
【解析】
(1) 解：由折叠的性质可知，$EC=EC'$，
$\therefore ∠EC'C=∠ECC'=15°$，
由三角形外角的性质可得，$∠BEC'=∠ECC'+∠EC'C=15°+15°=30°$，
$\because EC'⊥AB$，$\therefore ∠EC'B=90°$，
在$\mathrm{Rt}△EBC'$中，$∠BEC'=30°$，$\therefore BE=2BC'$，
由勾股定理得：$EC' = \sqrt{BE^2 - C'B^2} = \sqrt{(2C'B)^2 - C'B^2} = \sqrt{3} C'B$，
$\therefore EC = EC' = \sqrt{3} BC'$，
又$\because BC = BE + EC = 2BC' + \sqrt{3} BC' = 4+2\sqrt{3}$，
解得 $BC' = 2$，
$\therefore EC = \sqrt{3} × 2 = 2\sqrt{3}$。
(2) 证明：由折叠的性质可知，$∠CEF=∠C'EF$，$∠EFD=∠EFD'$，
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD// BC$，$∠D=∠B$，
$\therefore ∠CEF + ∠EFD = 180°$，
$\therefore ∠C'EF + ∠EFD' = 180°$，
$\therefore C'E// D'F$，
$\therefore ∠BC'E = ∠D'$，又$\because ∠D'=∠D=∠B$，
$\therefore ∠BC'E = ∠B$，
$\therefore BE = C'E$，又$\because C'E=CE$，
$\therefore C'E = \frac{1}{2} BC$，
$\because AD// BC$，点$D'$在$BA$的延长线上，
$\therefore ∠B = ∠D'AF = ∠D'$，
$\therefore AF = D'F$，又$\because D'F=DF$，
$\therefore D'F = \frac{1}{2} AD$，
$\because$ 平行四边形$ABCD$中$AD=BC$，
$\therefore C'E = D'F$，
又$\because C'E// D'F$，
$\therefore$ 四边形$EC'D'F$是平行四边形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\sqrt{3}}$；(2) 四边形$EC'D'F$为平行四边形，证明见解析。
【知识点】
折叠的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质
【点评】
本题将折叠变换与平行四边形的知识结合，既考查了几何计算能力，也考查了逻辑推理能力，解题的关键是灵活运用折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合平行四边形的性质推导边角关系。
【难度系数】
0.6
