14.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,在AB的延长线上截取BE=AB,BF=BD,连接CE,DF交于点M.求证:CD=CM.

14.证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AB$ 平行且等于$DC.$
又$\because BE=AB,$
$\therefore BE$ 平行且等于$DC,$
$\therefore$ 四边形$BDCE$是平行四边形,
$\therefore BD// CE,\therefore ∠ BDM=∠ DMC.$
$\because DC// BF,$
$\therefore ∠ CDF=∠ F.$
$\because BD=BF,$
$\therefore ∠ BDF=∠ F,$
$\therefore ∠ CDF=∠ CMD,$
$\therefore CD=CM.$

【分析】
要证明CD=CM，可通过“等角对等边”的判定定理，转化为证明∠CDF=∠CMD。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AB与DC平行且相等，结合BE=AB可推出BE与DC平行且相等，即可判定四边形BDCE是平行四边形，得到BD//CE，推出∠BDM=∠DMC；再由BF=BD可知△BDF是等腰三角形，可得∠BDF=∠F，结合DC//BF的性质推出∠CDF=∠F，通过等量代换得到∠CDF=∠CMD，即可证得结论。
【解析】
证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AB$ 平行且等于$DC.$
又$\because BE=AB,$
$\therefore BE$ 平行且等于$DC,$
$\therefore$ 四边形$BDCE$是平行四边形,
$\therefore BD// CE,\therefore ∠ BDM=∠ DMC.$
$\because DC// BF,$
$\therefore ∠ CDF=∠ F.$
$\because BD=BF,$
$\therefore ∠ BDF=∠ F,$
$\therefore ∠ CDF=∠ CMD,$
$\therefore CD=CM.$
【答案】
$CD=CM$，证明成立。
【知识点】
平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是通过平行四边形的性质得到平行关系，再结合等腰三角形的性质完成角的等量代换，进而利用等角对等边推导边相等，能有效训练逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

15.下列平行四边形中,阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是 （）

15.A

【分析】
要判断阴影部分面积是否等于平行四边形面积的一半，核心是结合平行四边形（面积=底×高）、三角形（面积=底×高÷2）的面积公式，逐个推导各选项阴影面积与平行四边形总面积的关系：
1. 若阴影为多个三角形，可通过底、高的和与平行四边形底、高的对应关系，计算面积总和；
2. 若阴影为平行四边形，可拆分表示其面积，再与总面积的一半对比，判断是否恒等。
【解析】
设平行四边形的底为a，高为h，总面积为$S=ah$，一半面积为$\frac{1}{2}ah$。
选项B：两个阴影三角形的底均为a，高之和为h，面积和为$\frac{1}{2}ah_1+\frac{1}{2}ah_2=\frac{1}{2}a(h_1+h_2)=\frac{1}{2}ah$，恒等于总面积的一半；
选项C：平行四边形对角线互相平分，对顶三角形面积相等，阴影部分面积总和恒为总面积的一半；
选项D：三个阴影三角形的高均为h，底之和为a，面积和为$\frac{1}{2}a_1h+\frac{1}{2}a_2h+\frac{1}{2}a_3h=\frac{1}{2}h(a_1+a_2+a_3)=\frac{1}{2}ah$，恒等于总面积的一半；
选项A：将平行四边形分为4个小平行四边形，设左上小平行四边形底为$a_1$、高为$h_1$，右下小平行四边形底为$a_2$、高为$h_2$，则$a=a_1+a_2$，$h=h_1+h_2$，阴影面积为$a_1h_1+a_2h_2$，总面积一半为$\frac{1}{2}(a_1+a_2)(h_1+h_2)$，仅当$a_1=a_2$或$h_1=h_2$时二者相等，因此阴影面积不一定是平行四边形的一半。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形面积计算，三角形面积计算，图形面积比例
【点评】
本题主要考查平面图形面积的推导，需要灵活运用面积公式，结合图形的底、高对应关系验证面积关系，避免凭直觉判断出错。
【难度系数】
0.6

16.已知$AE// BF$，连接$AB$，要作平行四边形$ABCD$，现有如下两种方案，下列判断正确的是 （）
方案Ⅰ
如图1，在$BF$上任取一点$C$，在$AE$上截取$AD=BC$
方案Ⅱ
，在$AE$上任取一点$D$，连接$BD$，取$BD$的中点$O$，连接$AO$，并延长交$BF$于点$C$

A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行
B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C.Ⅰ，Ⅱ都可行
D.Ⅰ，Ⅱ都不可行

16.C

【分析】
解题时先回忆平行四边形的判定定理，再分别验证两种方案是否符合判定条件：①方案Ⅰ中，已知$AE// BF$，可得$AD$与$BC$天然平行，只需满足$AD=BC$即可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定；②方案Ⅱ中，已知$O$是$BD$中点，只需通过全等三角形证明$O$也是$AC$的中点，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定。
【解析】
验证方案Ⅰ：
∵$AE// BF$，点$D$在$AE$上，点$C$在$BF$上，
∴$AD// BC$，
又
∵截取$AD=BC$，
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形$ABCD$是平行四边形，故方案Ⅰ可行。
验证方案Ⅱ：
∵$O$是$BD$的中点，
∴$OB=OD$，
∵$AE// BF$，
∴$∠ ADO=∠ CBO$（两直线平行，内错角相等），
在$△ AOD$和$△ COB$中：
$\begin{cases}∠ ADO=∠ CBO \\OD=OB \\∠ AOD=∠ COB（对顶角相等）\end{cases}$
∴$△ AOD≌△ COB$（ASA），
∴$OA=OC$，
又
∵$OB=OD$，
根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可得四边形$ABCD$是平行四边形，故方案Ⅱ可行。
综上，Ⅰ、Ⅱ都可行，选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题侧重考查平行四边形判定定理的灵活应用，需要结合平行线、全等三角形的基础知识点综合分析，熟练掌握平行四边形的判定规则是快速解题的核心。
【难度系数】
0.7

17.如图,已知等边三角形ABC的边长为8,P是△ABC内一点,PD//AC,PE//AB,PF//BC,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,则$PD+PE+PF=$.

17.8

【分析】
本题要求三条平行线段的和，已知△ABC是等边三角形，且给出三组平行线，解题时可利用平行线的性质推导得到小等边三角形和平行四边形，再利用等边三角形三边相等、平行四边形对边相等的性质，将PD、PE、PF三条分散的线段转化到等边△ABC的同一条边上，即可求出三者的和。
【解析】
解：延长EP交AC于点G，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=8。
∵ PE//AB，
∴ ∠GEC=∠B=60°，又∠C=60°，
∴ △GEC是等边三角形，
∴ GE=EC。
∵ PF//BC，
∴ ∠PFG=∠C=60°，∠PGF=∠GEC=60°，
∴ △PGF是等边三角形，
∴ PF=PG。
∵ PD//AC，EG//AB，
∴ 四边形ADPG是平行四边形，
∴ PD=AG。
∵ GE=PG+PE=PF+PE，且△GEC是等边三角形，故GE=GC，
∴ PD+PE+PF = AG + (PE + PF) = AG + GE = AG + GC = AC = 8。
【答案】
8
【知识点】
等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是等边三角形中典型的线段和求值问题，核心解题思路是通过构造辅助线，结合平行线的性质得到平行四边形和等边三角形，实现线段的等量转化，将分散的线段整合到等边三角形的边长上求解，对几何转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.7