6.在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，则下列结论不一定正确的是 （）

A.∠A=∠B
B.AD//BC
C.AB=CD
D.对角线互相平分

6.A

【分析】
首先，结合已知条件“四边形ABCD中∠A=∠C，∠B=∠D”，回忆平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可先判定四边形ABCD是平行四边形。再回忆平行四边形的性质：对边平行且相等、对角线互相平分，可判断B、C、D选项是否成立。最后分析A选项：平行四边形邻角互补，只有当平行四边形为矩形时邻角才相等，普通平行四边形邻角仅互补不相等，因此可判断A不一定成立，最终选出答案。
【解析】
解：
∵四边形的内角和为360°，且∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=2(∠A+∠B)=360°，
∴∠A+∠B=180°，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得AD//BC，故B选项结论正确；
∵四边形ABCD中两组对角分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形，
根据平行四边形的性质可得：对边相等，即AB=CD，故C选项结论正确；
平行四边形的对角线互相平分，故D选项结论正确；
对于A选项：平行四边形的邻角互补，即∠A+∠B=180°，仅当∠A=∠B=90°（即四边形为矩形）时二者相等，普通平行四边形中∠A≠∠B，因此∠A=∠B不一定成立。
综上，不一定正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；四边形内角和定理
【点评】
本题是基础几何题，解题关键是先通过对角相等判定四边形为平行四边形，再结合平行四边形的性质逐一判断选项，需注意区分一般平行四边形和特殊平行四边形的性质，避免将特殊图形的性质当成通用性质。
【难度系数】
0.7

7. 如图，$a// b$，点$A$在直线$a$上，点$B,C$在直线$b$上，$AC⊥ BC$. 如果$AB=5$，$AC=4$，那么平行线$a,b$之间的距离为________.

7.4

【分析】
解题时首先回忆平行线之间距离的定义：两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的垂线段长度就是两平行线的距离。观察图形可知AC垂直于直线b，且点A在直线a上，因此AC的长度就是a、b之间的距离，题干给出的AB长度为干扰条件，无需使用。
【解析】
根据平行线之间距离的定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度，叫做这两条平行线的距离。
∵ $a// b$，$AC⊥ BC$，点B、C在直线b上，
∴ $AC⊥ b$，即AC是直线a到直线b的垂线段，
∴ 平行线a、b之间的距离等于AC的长度，
又
∵ $AC=4$，
∴ 平行线a、b之间的距离为4。
【答案】
4
【知识点】
平行线间的距离；垂直的定义
【点评】
本题考查基础概念的应用，解题关键是准确识别两条平行线对应的垂线段，注意题干中的AB长度是干扰信息，不要被其误导。
【难度系数】
0.8

8. 如图，以$△ ABC$的顶点$A$为圆心，以$BC$的长为半径作弧；再以顶点$C$为圆心，以$AB$的长为半径作弧，两弧交于点$D$，连接$AD$，$CD$。若$∠ B=65°$，则$∠ BCD$的度数是$\_\_\_\_\_\_°$。

8.115

【分析】
首先根据题目中的作图步骤，可得$AB=CD$，$BC=AD$，依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形$ABCD$是平行四边形；再根据平行四边形的性质可得$AB// CD$，进而推出同旁内角$∠ B$和$∠ BCD$互补，代入$∠ B$的度数即可计算出$∠ BCD$的大小。
【解析】
解：由作图可知：$AB=CD$，$BC=AD$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
$\therefore AB// CD$，
$\therefore ∠ B + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\because ∠ B=65°$，
$\therefore ∠ BCD=180° - 65°=115°$。
【答案】
$115$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题考查平行四边形的判定和性质的应用，解题关键是从作图过程中提取出两组对边相等的条件，判定平行四边形后结合平行线性质计算角度，属于几何基础类考题。
【难度系数】
$0.8$

9.如图,在平行四边形ABCD中,对角线交于点O,点E,F在直线AC上(不同于点A,C),当点E,F的位置满足时,四边形DEBF是平行四边形.

9.AE=CF(答案不唯一)

【分析】
要推导点E、F满足的条件使四边形DEBF是平行四边形，可选用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定方法思考。首先已知平行四边形ABCD的对角线互相平分，可得OB=OD、OA=OC，此时只需让四边形DEBF的对角线EF也被点O平分，即OE=OF即可。结合E、F在AC上的位置，对OA、OC做等量加减即可推得条件：若AE=CF，就能推出OE=OF，进而判定DEBF是平行四边形。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB=OD，OA=OC（平行四边形对角线互相平分）
若添加条件AE=CF：
则$OA-AE=OC-CF$（若E、F在AC延长线上则为$OA+AE=OC+CF$，均成立），即$OE=OF$
又
∵$OB=OD$
∴四边形DEBF的对角线互相平分
∴四边形DEBF是平行四边形
此外$OE=OF$、$AF=CE$也可作为符合要求的条件。
【答案】
AE=CF(答案不唯一)
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题属于开放性填空题，考查平行四边形性质与判定的综合应用，解题时从平行四边形的判定定理出发，结合原有图形的性质反向推导所需条件即可，解题思路灵活，合理即可得分。
【难度系数】
0.7

10.如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠B=70°,∠C=40°,DE//AB交BC于点E.若AD=5 cm,BC=12 cm,则CD的长是cm.

10.7

【分析】
解题时首先观察已知条件中的两组平行关系（AD//BC、DE//AB），可先判定四边形ABED是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质得到BE的长度，进而求出EC的长度；再结合平行线的性质得到△DEC中∠DEC的度数，利用三角形内角和求出∠EDC的度数，判断△DEC为等腰三角形，最后根据等角对等边即可得到CD的长度。
【解析】
解：
∵AD//BC，DE//AB
∴四边形ABED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴BE=AD=5cm
∴EC=BC-BE=12cm-5cm=7cm
∵DE//AB
∴∠DEC=∠B=70°（两直线平行，同位角相等）
在△DEC中，∠C=40°
∴∠EDC=180°-∠DEC-∠C=180°-70°-40°=70°
∴∠DEC=∠EDC
∴CD=EC=7cm（等角对等边）
【答案】
7
【知识点】
平行四边形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是通过平行关系构造平行四边形实现边角的转化，结合三角形内角和与等腰三角形的性质求解线段长度，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7

11.如图，已知$EF// AC$，$B$，$D$分别是$AC$和$EF$上的点，$∠ EDC=∠ CBE$，求证：四边形$BCDE$是平行四边形.

11.证明:$\because ∠ EDC=∠ CBE,\therefore ∠ CDF=∠ ABE.$
$\because EF// AC,\therefore ∠ CDF=∠ C,\therefore ∠ ABE=∠ C,\therefore BE// CD,$
$\therefore$ 四边形$BCDE$是平行四边形.

【分析】
要证明四边形BCDE是平行四边形，已知EF//AC，即ED//BC，因此只需证明另一组对边BE//CD，即可通过“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”完成证明。首先利用已知的∠EDC=∠CBE推导其补角相等，再结合EF//AC的平行线性质得到角的等量关系，进而证明BE//CD即可。
【解析】
证明：
∵ ∠EDC与∠CDF互补，∠CBE与∠ABE互补，且∠EDC=∠CBE，
∴ ∠CDF=∠ABE（等角的补角相等）。
∵ EF//AC，
∴ ∠CDF=∠C（两直线平行，内错角相等），
通过等量代换可得∠ABE=∠C，
∴ BE//CD（同位角相等，两直线平行）。
此时四边形BCDE的两组对边分别平行，即可判定为平行四边形。
【答案】
证明:$\because ∠ EDC=∠ CBE,\therefore ∠ CDF=∠ ABE.$
$\because EF// AC,\therefore ∠ CDF=∠ C,\therefore ∠ ABE=∠ C,\therefore BE// CD,$
$\therefore$ 四边形$BCDE$是平行四边形.
【知识点】
平行四边形的判定、平行线的性质、平行线的判定
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题型，核心是综合运用平行线的性质与判定定理推导角的等量关系，进而得到两组对边分别平行的结论，解题时需明确待证结论所需的条件，结合已知信息找准推导的中间量。
【难度系数】
0.8

12. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠B=∠C,求证:AB=CD.

12.证明:过点D作$DF// AB$,如图.
$\because AD// BC,DF// AB,$
$\therefore$ 四边形$ABFD$是平行四边形,$∠ DFC=∠ B,$
$\therefore AB=DF.$
$\because ∠ B=∠ C,$
$\therefore ∠ DFC=∠ C,$
$\therefore DF=DC,$
$\therefore AB=CD.$

【分析】
要证明AB=CD，我们可以通过构造辅助线将两条待证线段关联起来：已知AD//BC，我们采用平移腰的思路，过点D作DF平行AB交BC于F，首先利用两组对边分别平行的性质判定四边形ABFD是平行四边形，得到AB=DF，完成AB到DF的转化；再根据平行线的同位角相等可得∠DFC=∠B，结合已知∠B=∠C，推出∠DFC=∠C，利用等角对等边得到DF=CD，最后通过等量代换即可证明AB=CD。
【解析】
证明：过点D作$DF// AB$，交BC于点F。
$\because AD// BC,DF// AB,$
$\therefore$ 四边形$ABFD$是平行四边形，$∠ DFC=∠ B$，
$\therefore AB=DF$。
$\because ∠ B=∠ C,$
$\therefore ∠ DFC=∠ C,$
$\therefore DF=DC,$
$\therefore AB=CD$。
【答案】
12.证明:过点D作$DF// AB$,如图.
$\because AD// BC,DF// AB,$
$\therefore$ 四边形$ABFD$是平行四边形,$∠ DFC=∠ B,$
$\therefore AB=DF.$
$\because ∠ B=∠ C,$
$\therefore ∠ DFC=∠ C,$
$\therefore DF=DC,$
$\therefore AB=CD.$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形判定
【点评】
本题是梯形类证明的基础题型，核心是通过平移腰的辅助线作法构造平行四边形，实现线段的转化，将分散的条件集中到同一个三角形中完成推导，平移腰是解决梯形相关问题的常用辅助线技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7

13. 如图，$∠ ACB = ∠ AED = 90°$，$AC = FE$，$AB$ 平分 $∠ CAE$，$AB // DF$。求证：四边形 $ABDF$ 是平行四边形。

13.证明:$\because AB$ 平分$∠ CAE,$
$\therefore ∠ CAB=∠ BAE.$
$\because AB// DF,$
$\therefore ∠ BAE=∠ DFE,$
$\therefore ∠ CAB=∠ EFD.$
在$△ CAB$和$△ EFD$中,$\begin{cases}∠ ACB=∠ FED,\\AC=FE,\\∠ CAB=∠ EFD,\end{cases}$
$\therefore △ CAB≌△ EFD(\mathrm{ASA}),$
$\therefore AB=FD.$
又$\because AB// FD,$
$\therefore$ 四边形$ABDF$是平行四边形.

【分析】
要证四边形ABDF是平行四边形，已知AB//DF，根据平行四边形的判定定理，只需证明AB=DF即可。要证明两条边相等，可通过证明两条边所在的三角形全等来实现，即证△CAB≌△EFD。接下来结合已知条件找全等的条件：首先由AB平分∠CAE可得∠CAB=∠BAE，再由AB//DF可得∠BAE=∠DFE，等量代换得到∠CAB=∠EFD，再结合已知的∠ACB=∠FED=90°、AC=FE，即可用ASA判定△CAB≌△EFD，得到AB=FD，结合AB//FD的条件即可证得结论。
【解析】
证明:
$\because AB$ 平分$∠ CAE,$
$\therefore ∠ CAB=∠ BAE.$
$\because AB// DF,$
$\therefore ∠ BAE=∠ DFE,$
$\therefore ∠ CAB=∠ EFD.$
在$△ CAB$和$△ EFD$中,
$\begin{cases}∠ ACB=∠ FED,\\AC=FE,\\∠ CAB=∠ EFD,\end{cases}$
$\therefore △ CAB≌△ EFD(\mathrm{ASA}),$
$\therefore AB=FD.$
又$\because AB// FD,$
$\therefore$ 四边形$ABDF$是平行四边形.
【答案】
证明:
$\because AB$ 平分$∠ CAE,$
$\therefore ∠ CAB=∠ BAE.$
$\because AB// DF,$
$\therefore ∠ BAE=∠ DFE,$
$\therefore ∠ CAB=∠ EFD.$
在$△ CAB$和$△ EFD$中,
$\begin{cases}∠ ACB=∠ FED,\\AC=FE,\\∠ CAB=∠ EFD,\end{cases}$
$\therefore △ CAB≌△ EFD(\mathrm{ASA}),$
$\therefore AB=FD.$
又$\because AB// FD,$
$\therefore$ 四边形$ABDF$是平行四边形.
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合已知条件，通过角的等量代换找到三角形全等的判定条件，再利用平行四边形的判定定理即可完成证明，解题时要注意逻辑的严谨性，每一步推导都要有对应的依据。
【难度系数】
0.7