5. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC$,点$D$,$E$分别为边$AB$,$BC$的中点,连接$AE$,$DE$.若$∠ AED=20°$,则$∠ C$的度数为 （）

A.$70°$
B.$60°$
C.$40°$
D.$30°$

5.A

【分析】
解题思路可按以下步骤梳理：首先由等腰三角形ABC中AB=AC、E是BC中点，利用等腰三角形三线合一性质得出AE⊥BC；再根据D、E分别是AB、BC的中点，判断DE是△ABC的中位线，由中位线定理得DE//AC，结合已知∠AED=20°，利用平行线内错角相等求出∠EAC的度数；最后在直角三角形AEC中利用两锐角互余即可计算出∠C的度数。
【解析】
1.
∵AB=AC，E为BC中点，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得AE⊥BC，即∠AEC=90°。
2.
∵D是AB中点，E是BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，DE//AC。
3.
∵DE//AC，
∴∠EAC=∠AED=20°（两直线平行，内错角相等）。
4. 在Rt△AEC中，∠C+∠EAC=90°，代入∠EAC=20°，得∠C=90°-20°=70°。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是基础综合题，将等腰三角形、三角形中位线、平行线性质、直角三角形的性质多个基础知识点结合考查，解题的关键是通过中位线的平行关系完成角的转化，熟练掌握相关基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

6. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,线段 $BC$ 的垂直平分线与 $BC$ 交于点 $D$,与 $AC$ 交于点 $E$,连接 $BE$,$F$ 为 $BE$ 的中点.若 $DF=2$,则 $AE$ 的长为 （）

A.$5$
B.$2\sqrt{3}$
C.$4$
D.$3$

6.C

【分析】
我们可以逐步拆解条件推导：首先利用线段垂直平分线的性质，得到DE垂直BC、D是BC中点、BE=EC三个结论；其次观察到△BDE是直角三角形，F是斜边BE的中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，就能算出BE的长度；最后由AB和DE都垂直BC可知AB//DE，结合D是BC中点可推出E是AC中点，即AE=EC，代入数值即可求出AE的长。
【解析】
解：
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DE⊥BC，D为BC的中点，且BE=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴AB//DE（垂直于同一直线的两条直线互相平行）。
∵D是BC中点，AB//DE，
∴E是AC的中点，即AE=EC。
在Rt△BDE中，∠EDB=90°，F为BE的中点，
∴DF=$\frac{1}{2}$BE（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
∵DF=2，
∴BE=2DF=2×2=4，
∴EC=BE=4，
∴AE=EC=4。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线性质，直角三角形斜边中线性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题属于几何基础综合题，主要考查学生对三角形相关性质的灵活运用能力，解题的突破口是识别出直角三角形的斜边中线，再结合垂直平分线和平行线的性质推导线段等量关系，只要熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在$□ ABCD$中,$AD=6$,点$E$,$F$分别是$BD$,$CD$的中点,则$EF=$.

7.3

【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形对边相等，由此可得到BC的长度；再观察E、F分别是BD、CD的中点，可判断EF是△BCD的中位线，最后利用三角形中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AD=6
∴ BC=AD=6（平行四边形对边相等）
∵ 点E是BD的中点，点F是CD的中点
∴ EF是△BCD的中位线
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半
∴ EF = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×6 = 3
【答案】
3
【知识点】
平行四边形的性质；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行四边形性质与三角形中位线定理的结合应用，解题的关键是准确识别中位线，熟记相关性质定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

8. 如图，$△ ABC$ 沿 $AC$ 平移得到 $△ A'B'C'$，$A'B'$ 交 $BC$ 于点 $D$。若 $AC=6$，$D$ 是 $BC$ 的中点，则 $C'C=\_\_\_\_\_\_$。

8.3

【分析】
解题时先回忆平移的性质：平移前后对应线段互相平行，对应点连接的线段长度相等，平移距离处处相等。首先根据平移可得AB//A'B'，结合D是BC中点的条件，可推导得出A'是AC的中点，先求出AA'的长度，再根据平移时AA'与C'C长度相等，即可求出C'C的长度。
【解析】
解：
∵△ABC沿AC平移得到△A'B'C'，
∴AB//A'B'，且对应点连线相等，即$AA'=CC'$，
∵D为BC中点，且$A'D// AB$，
∴A'是AC的中点（过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边），
∵$AC=6$，
∴$AA' = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}×6 = 3$，
∴$C'C = AA' = 3$。
【答案】
3
【知识点】
平移的性质、三角形中位线推论
【点评】
本题是平移性质和三角形相关定理的结合应用类题目，解题的核心是通过平移得到线段平行的关系，进而推导出A'为AC中点，整体解题思路清晰，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8

9.如图,在$△ ABC$中,点$D$在$BC$上,$BD=AB$,$BM\bot AD$于点$M$,$N$是$AC$的中点,连接$MN$.若$AB=5$,$BC=8$,则$MN=$.

9.$\dfrac{3}{2}$

【分析】
解题时先梳理已知条件：①BD=AB，BM⊥AD，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，推导出M是AD的中点；②N是AC的中点，两个中点的连线符合三角形中位线的定义，因此可借助三角形中位线定理求解MN的长度，只需先算出DC的长度即可，DC可通过BC与BD的差求得，BD=AB为已知条件，逐步推导即可得到结果。
【解析】
解：
∵$BD=AB$，$BM\bot AD$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得$M$是$AD$的中点。
又
∵$N$是$AC$的中点，
∴$MN$是$△ ADC$的中位线。
根据三角形中位线定理，得 $MN=\frac{1}{2}DC$。
已知$AB=5$，故$BD=AB=5$，又$BC=8$，
∴$DC=BC-BD=8-5=3$，
∴$MN=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查核心几何性质的应用，解题关键是通过等腰三角形三线合一定性得到中点，再结合中位线定理完成线段长度的计算，是几何部分的常考典型题型。
【难度系数】
0.7

10.如图,在$△ ABC$中,D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,四边形BEFD的周长为14,则$AB+BC$的长为________.

10.14

【分析】
解题时首先观察到D、E、F均为三角形各边中点，可联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。接下来分别推导四边形BEFD的各条边与AB、BC的数量关系，再将四边形的周长表达式整理化简，即可直接得到AB+BC的长度。
【解析】
∵ D、F分别是AB、AC的中点，
∴ DF是△ABC的中位线，
∴ $DF = \frac{1}{2}BC$，且$DF// BC$，
同理，E、F分别是BC、AC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ $EF = \frac{1}{2}AB$，且$EF// AB$，
又
∵ D是AB中点，E是BC中点，
∴ $BD = \frac{1}{2}AB$，$BE = \frac{1}{2}BC$，
∴ 四边形BEFD的周长 $= BD + BE + EF + DF$
$= \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}BC + \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}BC$
$= AB + BC$，
已知四边形BEFD的周长为14，
∴ $AB + BC = 14$。
【答案】
14
【知识点】
三角形中位线定理、线段中点的定义、周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形中位线定理的应用，解题关键是通过中位线的性质将四边形的边长转化为原三角形对应边长的一半，进而建立周长与AB、BC和的等量关系，熟练掌握中位线定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

11.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$E$是$BC$的中点,$DE=AD=3$,求$AC$的长.

11.解:$\because AB=AC$,点$E$是$BC$的中点,
$\therefore ∠ CAE=∠ BAE$.
$\because DE=AD$,
$\therefore ∠ CAE=∠ DEA$,
$\therefore ∠ DEA=∠ BAE$,
$\therefore DE// AB$.
又$\because$点$E$是$BC$的中点,
$\therefore$点$D$是$AC$的中点,
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线,
$\therefore DE=\dfrac{1}{2}AB$.
又$\because DE=3$,$\therefore AB=6$,$\therefore AC=6$.

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先由AB=AC、E是BC中点，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可得AE平分∠CAB；再由DE=AD，利用等边对等角得到角相等，通过等量代换得到内错角相等，判定DE//AB；结合E是BC中点，可推出DE是△ABC的中位线，利用中位线性质求出AB的长，最后由AB=AC得到AC的长度。
【解析】
$\because AB=AC$，点$E$是$BC$的中点，
$\therefore ∠ CAE=∠ BAE$。
$\because DE=AD$，
$\therefore ∠ CAE=∠ DEA$，
$\therefore ∠ DEA=∠ BAE$，
$\therefore DE// AB$。
又$\because$点$E$是$BC$的中点，
$\therefore$点$D$是$AC$的中点，
$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore DE=\dfrac{1}{2}AB$。
又$\because DE=3$，$\therefore AB=6$，$\therefore AC=AB=6$。
【答案】
$6$
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础综合题，将等腰三角形性质、平行线判定及中位线定理结合考查，解题的关键是通过角的等量关系推出DE与AB平行，进而得到DE是三角形的中位线。
【难度系数】
0.7