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12. 如图，$△ ABC$ 的中线 $BF$，$CE$ 相交于点 $O$，点 $H$，$G$ 分别是 $BO$，$CO$ 的中点，连接 $EH$，$HG$，$GF$，$EF$，试判断四边形 $EFGH$ 的形状，并证明你的结论.
答案
12.解:四边形$EFGH$是平行四边形.
证明如下:
$\because △ ABC$的中线$BF$,$CE$相交于点$O$,
$\therefore EF// BC$,$EF=\dfrac{1}{2}BC$.
$\because$点$H$,$G$分别是$BO$,$CO$的中点,
$\therefore GH// BC$,$GH=\dfrac{1}{2}BC$,
$\therefore EF=GH$,$EF// GH$,
$\therefore$四边形$EFGH$是平行四边形.
证明如下:
$\because △ ABC$的中线$BF$,$CE$相交于点$O$,
$\therefore EF// BC$,$EF=\dfrac{1}{2}BC$.
$\because$点$H$,$G$分别是$BO$,$CO$的中点,
$\therefore GH// BC$,$GH=\dfrac{1}{2}BC$,
$\therefore EF=GH$,$EF// GH$,
$\therefore$四边形$EFGH$是平行四边形.
解析
【分析】
要判断四边形EFGH的形状，首先结合题目给出的多个中点条件，可联想到三角形中位线定理：①已知BF、CE是△ABC的中线，可得E是AB的中点，F是AC的中点，因此EF是△ABC的中位线，可推出EF与BC的位置和数量关系；②已知H、G分别是BO、CO的中点，因此HG是△OBC的中位线，可推出HG与BC的位置和数量关系；③对比EF和HG的关系，根据平行四边形的判定定理即可得出四边形的形状。
【解析】
解：四边形$EFGH$是平行四边形，证明如下：
$\because △ ABC$的中线$BF$，$CE$相交于点$O$，
$\therefore E$是$AB$中点，$F$是$AC$中点，即$EF$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore EF// BC$，$EF=\dfrac{1}{2}BC$。
$\because$点$H$，$G$分别是$BO$，$CO$的中点，
$\therefore HG$是$△ OBC$的中位线，
$\therefore GH// BC$，$GH=\dfrac{1}{2}BC$，
$\therefore EF=GH$，$EF// GH$，
$\therefore$四边形$EFGH$是平行四边形。
【答案】
四边形$EFGH$是平行四边形
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，解题的关键是结合中点条件识别出图中的两条三角形中位线，通过中位线性质推导得到四边形一组对边平行且相等的关系，进而判定四边形形状，这类题型是平行四边形判定的常见考法，需要熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.7
要判断四边形EFGH的形状，首先结合题目给出的多个中点条件，可联想到三角形中位线定理：①已知BF、CE是△ABC的中线，可得E是AB的中点，F是AC的中点，因此EF是△ABC的中位线，可推出EF与BC的位置和数量关系；②已知H、G分别是BO、CO的中点，因此HG是△OBC的中位线，可推出HG与BC的位置和数量关系；③对比EF和HG的关系，根据平行四边形的判定定理即可得出四边形的形状。
【解析】
解：四边形$EFGH$是平行四边形，证明如下：
$\because △ ABC$的中线$BF$，$CE$相交于点$O$，
$\therefore E$是$AB$中点，$F$是$AC$中点，即$EF$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore EF// BC$，$EF=\dfrac{1}{2}BC$。
$\because$点$H$，$G$分别是$BO$，$CO$的中点，
$\therefore HG$是$△ OBC$的中位线，
$\therefore GH// BC$，$GH=\dfrac{1}{2}BC$，
$\therefore EF=GH$，$EF// GH$，
$\therefore$四边形$EFGH$是平行四边形。
【答案】
四边形$EFGH$是平行四边形
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形的判定
【点评】
本题是几何基础证明题，解题的关键是结合中点条件识别出图中的两条三角形中位线，通过中位线性质推导得到四边形一组对边平行且相等的关系，进而判定四边形形状，这类题型是平行四边形判定的常见考法，需要熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.7
13. 如图,在$△ ABC$中,D,E分别是BC,AC的中点,BF平分$∠ ABC$,交DE于点F.若$AB=8$,
$BC=6$,则EF的长为
（
A.1
B.2
C.3
D.4
$BC=6$,则EF的长为
（
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
13.A
解析
【分析】
首先观察到D、E分别是BC、AC的中点，优先考虑三角形中位线定理，可得到DE的长度和DE与AB的平行关系；再结合BF是角平分线，利用平行线的内错角相等，可推出△BDF为等腰三角形，得到DF的长度，最后用DE的长度减去DF的长度即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，$DE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$，$BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×6 = 3$，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF = ∠DBF，
∵DE//AB，
∴∠ABF = ∠DFB，
∴∠DBF = ∠DFB，
∴DF = BD = 3，
∴$EF = DE - DF = 4 - 3 = 1$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题解题的关键是利用中位线的性质得到平行关系和线段长度，再结合角平分线与平行线的性质推导等腰三角形，进而求出未知线段长度，属于常见的几何基础综合题。
【难度系数】
0.7
首先观察到D、E分别是BC、AC的中点，优先考虑三角形中位线定理，可得到DE的长度和DE与AB的平行关系；再结合BF是角平分线，利用平行线的内错角相等，可推出△BDF为等腰三角形，得到DF的长度，最后用DE的长度减去DF的长度即可求出EF的长。
【解析】
解：
∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，$DE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$，$BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×6 = 3$，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF = ∠DBF，
∵DE//AB，
∴∠ABF = ∠DFB，
∴∠DBF = ∠DFB，
∴DF = BD = 3，
∴$EF = DE - DF = 4 - 3 = 1$。
【答案】
A
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的判定，角平分线的定义
【点评】
本题解题的关键是利用中位线的性质得到平行关系和线段长度，再结合角平分线与平行线的性质推导等腰三角形，进而求出未知线段长度，属于常见的几何基础综合题。
【难度系数】
0.7
14. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=10,∠BCD=120°,E是AD上的一点,且AE=2,P是BC上的一动点,连接AP,取AP的中点F,连接EF,则线段EF取得的最小值是 （
A.5
B.$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
C.$5\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{5}$
B
）A.5
B.$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
C.$5\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{5}$
答案
14.B
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠B的度数，计算出平行四边形一组对边AD和BC之间的距离；再结合F是AP中点的条件，判断出点F的运动轨迹是平行于AD的直线，该直线到AD的距离是AD、BC间距离的一半；最后根据“垂线段最短”的性质，可知当EF垂直于AD时，EF的长度最小，最小长度就等于轨迹直线到AD的距离。
【解析】
1. 求AD与BC之间的距离：
过点A作AH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠B=180°-∠BCD=60°。
在Rt△ABH中，∠BAH=90°-∠B=30°，AB=10，
∴BH=$\frac{1}{2}$AB=5，由勾股定理得AH=$\sqrt{AB^2-BH^2}$=$\sqrt{10^2-5^2}$=$5\sqrt{3}$，即AD与BC之间的距离为$5\sqrt{3}$。
2. 分析点F的轨迹：
∵F是AP的中点，P在BC上运动，
∴点F的运动轨迹是平行于AD（也平行于BC）的直线，该直线到AD的距离为AD、BC间距离的一半，即$\frac{1}{2}×5\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
3. 求EF的最小值：
根据“点到直线的距离，垂线段最短”，当EF垂直于AD时，EF的长度最小，最小值就是轨迹直线到AD的距离，即$\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题属于动点最值类问题，解题的核心是通过中点判断出动点F的运动轨迹，将动态的线段长度最小值问题转化为静态的点到直线的距离问题，很好地考察了转化思想和几何直观能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠B的度数，计算出平行四边形一组对边AD和BC之间的距离；再结合F是AP中点的条件，判断出点F的运动轨迹是平行于AD的直线，该直线到AD的距离是AD、BC间距离的一半；最后根据“垂线段最短”的性质，可知当EF垂直于AD时，EF的长度最小，最小长度就等于轨迹直线到AD的距离。
【解析】
1. 求AD与BC之间的距离：
过点A作AH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠B=180°-∠BCD=60°。
在Rt△ABH中，∠BAH=90°-∠B=30°，AB=10，
∴BH=$\frac{1}{2}$AB=5，由勾股定理得AH=$\sqrt{AB^2-BH^2}$=$\sqrt{10^2-5^2}$=$5\sqrt{3}$，即AD与BC之间的距离为$5\sqrt{3}$。
2. 分析点F的轨迹：
∵F是AP的中点，P在BC上运动，
∴点F的运动轨迹是平行于AD（也平行于BC）的直线，该直线到AD的距离为AD、BC间距离的一半，即$\frac{1}{2}×5\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
3. 求EF的最小值：
根据“点到直线的距离，垂线段最短”，当EF垂直于AD时，EF的长度最小，最小值就是轨迹直线到AD的距离，即$\frac{5\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理
【点评】
本题属于动点最值类问题，解题的核心是通过中点判断出动点F的运动轨迹，将动态的线段长度最小值问题转化为静态的点到直线的距离问题，很好地考察了转化思想和几何直观能力。
【难度系数】
0.6
15. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=6$,$BC=8$,点$N$是$BC$边上一点,点$M$为$AB$边上的动点(不与点$B$重合),点$D$,$E$分别为$CN$,$MN$的中点,则$DE$长度的取值范围为 (
A.$\dfrac{12}{5} ＜ DE ＜ 4$
B.$3 ≤ DE ＜ 4$
C.$3 ≤ DE ≤ 4$
D.$\dfrac{12}{5} ≤ DE ＜ 4$
D
)A.$\dfrac{12}{5} ＜ DE ＜ 4$
B.$3 ≤ DE ＜ 4$
C.$3 ≤ DE ≤ 4$
D.$\dfrac{12}{5} ≤ DE ＜ 4$
答案
15.D
解析
【分析】
解题时先观察中点条件，联想到三角形中位线定理，可得DE是△CMN的中位线，因此DE=½CM，将求DE的取值范围转化为求CM的取值范围。首先用勾股定理计算Rt△ABC的斜边长度，再根据垂线段最短求出CM的最小值，结合动点M不与B重合的限制求出CM的取值上限，最后转化为DE的范围即可。
【解析】
1. 连接CM，
∵D是CN的中点，E是MN的中点，
∴DE是△CMN的中位线，根据三角形中位线定理，得$\boldsymbol{DE=\frac{1}{2}CM}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
3. 求CM的最小值：过点C作$CH⊥ AB$于H，根据垂线段最短，CM的最小值为CH的长度。
由三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，代入数值得：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CH$，解得$CH=\frac{24}{5}$，即$CM≥\frac{24}{5}$。
4. 求CM的取值上限：
∵点M在AB上且不与B重合，
∴当M趋近于点B时，CM趋近于BC的长度8，即$CM＜8$。
5. 结合$DE=\frac{1}{2}CM$，可得：
$\frac{1}{2}×\frac{24}{5}≤ DE＜\frac{1}{2}×8$，即$\frac{12}{5}≤ DE＜4$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题运用转化思想，将未知线段的范围转化为易求的线段范围，核心是利用中位线定理简化问题，解题时要注意动点的限制条件，避免忽略“M不与B重合”导致误判等号是否成立。
【难度系数】
0.65
解题时先观察中点条件，联想到三角形中位线定理，可得DE是△CMN的中位线，因此DE=½CM，将求DE的取值范围转化为求CM的取值范围。首先用勾股定理计算Rt△ABC的斜边长度，再根据垂线段最短求出CM的最小值，结合动点M不与B重合的限制求出CM的取值上限，最后转化为DE的范围即可。
【解析】
1. 连接CM，
∵D是CN的中点，E是MN的中点，
∴DE是△CMN的中位线，根据三角形中位线定理，得$\boldsymbol{DE=\frac{1}{2}CM}$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
3. 求CM的最小值：过点C作$CH⊥ AB$于H，根据垂线段最短，CM的最小值为CH的长度。
由三角形面积公式，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，代入数值得：
$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CH$，解得$CH=\frac{24}{5}$，即$CM≥\frac{24}{5}$。
4. 求CM的取值上限：
∵点M在AB上且不与B重合，
∴当M趋近于点B时，CM趋近于BC的长度8，即$CM＜8$。
5. 结合$DE=\frac{1}{2}CM$，可得：
$\frac{1}{2}×\frac{24}{5}≤ DE＜\frac{1}{2}×8$，即$\frac{12}{5}≤ DE＜4$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题运用转化思想，将未知线段的范围转化为易求的线段范围，核心是利用中位线定理简化问题，解题时要注意动点的限制条件，避免忽略“M不与B重合”导致误判等号是否成立。
【难度系数】
0.65
16. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$CD$是$AB$边上的中线,延长$AB$到点$E$,使$BE=AB$,连接$CE$.求证:$CD=\dfrac{1}{2}CE$.
答案
16.证明:过点$B$作$BF// AC$交$EC$于点$F$,如图
,$\therefore ∠ FBC=∠ ACB$.
$\because AB=AC$,$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$,
$\therefore ∠ FBC=∠ ABC$.
$\because BF// AC$,$BE=AB$,
$\therefore BF=\dfrac{1}{2}AC$,$CF=\dfrac{1}{2}CE$.
$\because CD$是$AB$边上的中线,$\therefore BD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC$,
$\therefore BF=BD$.
在$△ FBC$和$△ DBC$中,$\begin{cases} BF=BD, \\ ∠ FBC=∠ DBC, \\ BC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ FBC≌△ DBC$,$\therefore CD=CF$,
$\therefore CD=\dfrac{1}{2}CE$.
解析
【分析】
要证明$CD=\dfrac{1}{2}CE$，属于线段倍半关系的证明，通常可先构造出长度为$\dfrac{1}{2}CE$的线段，再证明该线段与$CD$相等。观察已知条件：$BE=AB$，说明$B$是$AE$的中点，因此过点$B$作$BF// AC$，即可得到$BF$是$△ AEC$的中位线，推出$CF=\dfrac{1}{2}CE$，接下来只需证明$CD=CF$即可。结合$AB=AC$、$CD$是$AB$边上的中线，可推出$BF=BD$，再通过等腰三角形的性质和平行线的性质得到$∠ FBC=∠ DBC$，结合公共边$BC$，可证明$△ FBC$和$△ DBC$全等，从而得到$CD=CF$，最终推导得出结论。
【解析】
证明：过点$B$作$BF// AC$交$EC$于点$F$，如图，
$\therefore ∠ FBC=∠ ACB$。
$\because AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠ ABC=∠ ACB$，
$\therefore ∠ FBC=∠ ABC$，即$∠ FBC=∠ DBC$。
$\because BF// AC$，$BE=AB$，即$B$为$AE$的中点，
$\therefore BF$是$△ AEC$的中位线，
根据三角形中位线定理，可得$BF=\dfrac{1}{2}AC$，$CF=\dfrac{1}{2}CE$。
$\because CD$是$AB$边上的中线，$\therefore BD=\dfrac{1}{2}AB$，
又$\because AB=AC$，$\therefore BD=\dfrac{1}{2}AC$，
$\therefore BF=BD$。
在$△ FBC$和$△ DBC$中：
$\begin{cases} BF=BD, \\ ∠ FBC=∠ DBC, \\ BC=BC(\mathrm{公共边}), \end{cases}$
$\therefore △ FBC≌△ DBC(\mathrm{SAS})$，
根据全等三角形对应边相等的性质，可得$CD=CF$，
又$\because CF=\dfrac{1}{2}CE$，
$\therefore CD=\dfrac{1}{2}CE$。
【答案】
16.证明:过点$B$作$BF// AC$交$EC$于点$F$,如图,
$\therefore ∠ FBC=∠ ACB$.
$\because AB=AC$,$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$,
$\therefore ∠ FBC=∠ ABC$.
$\because BF// AC$,$BE=AB$,
$\therefore BF=\dfrac{1}{2}AC$,$CF=\dfrac{1}{2}CE$.
$\because CD$是$AB$边上的中线,$\therefore BD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC$,
$\therefore BF=BD$.
在$△ FBC$和$△ DBC$中,$\begin{cases} BF=BD, \\ ∠ FBC=∠ DBC, \\ BC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ FBC≌△ DBC$,$\therefore CD=CF$,
$\therefore CD=\dfrac{1}{2}CE$.
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形部分的典型证明题，核心考查线段倍半关系的推导，解题的关键是合理构造辅助线得到中位线，将待证的倍半关系转化为线段相等的证明，再结合全等三角形的性质完成推导，有助于培养构造辅助线、转化问题的思维能力。
【难度系数】
0.6
要证明$CD=\dfrac{1}{2}CE$，属于线段倍半关系的证明，通常可先构造出长度为$\dfrac{1}{2}CE$的线段，再证明该线段与$CD$相等。观察已知条件：$BE=AB$，说明$B$是$AE$的中点，因此过点$B$作$BF// AC$，即可得到$BF$是$△ AEC$的中位线，推出$CF=\dfrac{1}{2}CE$，接下来只需证明$CD=CF$即可。结合$AB=AC$、$CD$是$AB$边上的中线，可推出$BF=BD$，再通过等腰三角形的性质和平行线的性质得到$∠ FBC=∠ DBC$，结合公共边$BC$，可证明$△ FBC$和$△ DBC$全等，从而得到$CD=CF$，最终推导得出结论。
【解析】
证明：过点$B$作$BF// AC$交$EC$于点$F$，如图
，$\therefore ∠ FBC=∠ ACB$。
$\because AB=AC$，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠ ABC=∠ ACB$，
$\therefore ∠ FBC=∠ ABC$，即$∠ FBC=∠ DBC$。
$\because BF// AC$，$BE=AB$，即$B$为$AE$的中点，
$\therefore BF$是$△ AEC$的中位线，
根据三角形中位线定理，可得$BF=\dfrac{1}{2}AC$，$CF=\dfrac{1}{2}CE$。
$\because CD$是$AB$边上的中线，$\therefore BD=\dfrac{1}{2}AB$，
又$\because AB=AC$，$\therefore BD=\dfrac{1}{2}AC$，
$\therefore BF=BD$。
在$△ FBC$和$△ DBC$中：
$\begin{cases} BF=BD, \\ ∠ FBC=∠ DBC, \\ BC=BC(\mathrm{公共边}), \end{cases}$
$\therefore △ FBC≌△ DBC(\mathrm{SAS})$，
根据全等三角形对应边相等的性质，可得$CD=CF$，
又$\because CF=\dfrac{1}{2}CE$，
$\therefore CD=\dfrac{1}{2}CE$。
【答案】
16.证明:过点$B$作$BF// AC$交$EC$于点$F$,如图
,$\therefore ∠ FBC=∠ ACB$.
$\because AB=AC$,$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$,
$\therefore ∠ FBC=∠ ABC$.
$\because BF// AC$,$BE=AB$,
$\therefore BF=\dfrac{1}{2}AC$,$CF=\dfrac{1}{2}CE$.
$\because CD$是$AB$边上的中线,$\therefore BD=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC$,
$\therefore BF=BD$.
在$△ FBC$和$△ DBC$中,$\begin{cases} BF=BD, \\ ∠ FBC=∠ DBC, \\ BC=BC, \end{cases}$
$\therefore △ FBC≌△ DBC$,$\therefore CD=CF$,
$\therefore CD=\dfrac{1}{2}CE$.
【知识点】
等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是三角形部分的典型证明题，核心考查线段倍半关系的推导，解题的关键是合理构造辅助线得到中位线，将待证的倍半关系转化为线段相等的证明，再结合全等三角形的性质完成推导，有助于培养构造辅助线、转化问题的思维能力。
【难度系数】
0.6
