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17.实践与应用.
重温知识
如图1,在证明三角形的中位线定理时,采用了剪拼的方式,将三角形转化为平行四边形,通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”
阅读素材
一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫作梯形,其中平行的一组对边叫作梯形的底边,不平行的一组对边叫作梯形的腰,我们把连接梯形两腰中点的线段叫作梯形的中位线
任务1
如图2,在梯形ABCD中,AD//BC,点F是腰DC的中点,请沿着AF剪开并将梯形拼成一个完整的三角形(在图2中直接画出剪拼后的三角形)
任务2
如图3,在梯形ABCD中,AD//BC,点E,F分别是两腰AB,DC的中点,线段EF叫作梯形ABCD的中位线.请类比三角形中位线的性质,猜想EF和AD,BC具有怎样的位置关系和数量关系,并结合“任务1”,证明你猜想的结论
任务3
如图3,若梯形ABCD的面积为30 cm²,高为5 cm,求梯形的中位线EF的长
重温知识
如图1,在证明三角形的中位线定理时,采用了剪拼的方式,将三角形转化为平行四边形,通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半”
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一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫作梯形,其中平行的一组对边叫作梯形的底边,不平行的一组对边叫作梯形的腰,我们把连接梯形两腰中点的线段叫作梯形的中位线
任务1
如图2,在梯形ABCD中,AD//BC,点F是腰DC的中点,请沿着AF剪开并将梯形拼成一个完整的三角形(在图2中直接画出剪拼后的三角形)
任务2
如图3,在梯形ABCD中,AD//BC,点E,F分别是两腰AB,DC的中点,线段EF叫作梯形ABCD的中位线.请类比三角形中位线的性质,猜想EF和AD,BC具有怎样的位置关系和数量关系,并结合“任务1”,证明你猜想的结论
任务3
如图3,若梯形ABCD的面积为30 cm²,高为5 cm,求梯形的中位线EF的长
答案
17.解:任务1 如图1,$△ ABG$为剪拼后的三角形.
任务2 $EF// AD// BC$,$EF=\dfrac{1}{2}(AD+BC)$.
证明如下:如图2,连接$AF$并延长与$BC$的延长线交于点$G$.
$\because AD// BC$,$\therefore ∠ ADF=∠ FCG$.
$\because$点$F$是$DC$的中点,$\therefore DF=CF$.
在$△ ADF$和$△ GCF$中$\begin{cases} ∠ ADF=∠ GCF, \\ DF=CF, \\ ∠ AFD=∠ GFC, \end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ GCF(\mathrm{ASA})$,$\therefore AF=FG$,$AD=CG$.
$\because AF=FG$,点$E$是$AB$的中点,
$\therefore EF$是$△ ABG$的中位线,$\therefore EF// BG$,$EF=\dfrac{1}{2}BG$.
$\because AD// BC$,$EF// BG$,$\therefore EF// AD// BC$.
$\because BG=BC+CG$,$CG=AD$,$\therefore EF=\dfrac{1}{2}(AD+BC)$.
任务3 由任务2,可知$EF=\dfrac{1}{2}(AD+BC)$.
$\because$梯形$ABCD$的面积为$30\ \mathrm{cm^2}$,高为$5\ \mathrm{cm}$,
$\therefore \dfrac{1}{2}(AD+BC)×5=30$,即$5EF=30$,$\therefore EF=6$.
解析
【分析】
任务1：类比三角形中位线的剪拼思路，由于AD//BC，F是DC中点，将△ADF绕点F旋转180°即可和△GCF重合，拼接得到△ABG。
任务2：首先类比三角形中位线的性质，猜想梯形中位线平行于两底，长度为两底和的一半；证明时，通过延长AF交BC的延长线于点G，先利用平行线性质、中点性质、对顶角相等证明△ADF≌△GCF，得到AD=CG、AF=FG，此时EF即为△ABG的中位线，结合三角形中位线定理即可推导出EF与AD、BC的位置和数量关系。
任务3：回忆梯形面积公式，结合任务2得到的中位线和两底的数量关系，将面积公式转化为“面积=中位线×高”，代入已知数值即可求出中位线长度。
【解析】
任务1：延长AF交BC的延长线于点G，将△ADF剪下来拼接到△GCF的位置，得到的△ABG即为剪拼后的三角形。
任务2：猜想：$EF// AD// BC$，$EF=\dfrac{1}{2}(AD+BC)$。
证明：连接$AF$并延长，与$BC$的延长线交于点$G$。
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ ADF=∠ FCG$（两直线平行，内错角相等）。
$\because$点$F$是$DC$的中点，$\therefore DF=CF$。
在$△ ADF$和$△ GCF$中：
$\begin{cases} ∠ ADF=∠ GCF \\ DF=CF \\ ∠ AFD=∠ GFC \mathrm{（对顶角相等）} \end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ GCF(\mathrm{ASA})$，$\therefore AF=FG$，$AD=CG$。
$\because AF=FG$，点$E$是$AB$的中点，$\therefore EF$是$△ ABG$的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF// BG$，$EF=\dfrac{1}{2}BG$。
$\because AD// BC$，$EF// BG$，$\therefore EF// AD// BC$。
又$\because BG=BC+CG$，且$CG=AD$，$\therefore EF=\dfrac{1}{2}(BC+AD)$。
任务3：由任务2的结论可知$EF=\dfrac{1}{2}(AD+BC)$，
梯形的面积公式为$S=\dfrac{1}{2}(AD+BC)× h$（$h$为梯形的高），将$EF=\dfrac{1}{2}(AD+BC)$代入得：$S=EF· h$。
已知$S=30\ \mathrm{cm^2}$，$h=5\ \mathrm{cm}$，代入得：$30=5EF$，解得$EF=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
任务1：，$△ ABG$为剪拼后的三角形；
任务2：$EF// AD// BC$，$EF=\dfrac{1}{2}(AD+BC)$，证明过程见解析；
任务3：$EF$的长为$6\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，梯形面积计算
【点评】
本题通过类比三角形中位线的探究方法，引导学生利用转化思想将梯形问题转化为三角形问题解决，既考查了知识的迁移应用能力，也强化了转化的数学思维，同时结合梯形面积公式的应用，加深了对梯形中位线性质的理解。
【难度系数】
0.7
任务1：类比三角形中位线的剪拼思路，由于AD//BC，F是DC中点，将△ADF绕点F旋转180°即可和△GCF重合，拼接得到△ABG。
任务2：首先类比三角形中位线的性质，猜想梯形中位线平行于两底，长度为两底和的一半；证明时，通过延长AF交BC的延长线于点G，先利用平行线性质、中点性质、对顶角相等证明△ADF≌△GCF，得到AD=CG、AF=FG，此时EF即为△ABG的中位线，结合三角形中位线定理即可推导出EF与AD、BC的位置和数量关系。
任务3：回忆梯形面积公式，结合任务2得到的中位线和两底的数量关系，将面积公式转化为“面积=中位线×高”，代入已知数值即可求出中位线长度。
【解析】
任务1：延长AF交BC的延长线于点G，将△ADF剪下来拼接到△GCF的位置，得到的△ABG即为剪拼后的三角形。
任务2：猜想：$EF// AD// BC$，$EF=\dfrac{1}{2}(AD+BC)$。
证明：连接$AF$并延长，与$BC$的延长线交于点$G$。
$\because AD// BC$，$\therefore ∠ ADF=∠ FCG$（两直线平行，内错角相等）。
$\because$点$F$是$DC$的中点，$\therefore DF=CF$。
在$△ ADF$和$△ GCF$中：
$\begin{cases} ∠ ADF=∠ GCF \\ DF=CF \\ ∠ AFD=∠ GFC \mathrm{（对顶角相等）} \end{cases}$
$\therefore △ ADF≌△ GCF(\mathrm{ASA})$，$\therefore AF=FG$，$AD=CG$。
$\because AF=FG$，点$E$是$AB$的中点，$\therefore EF$是$△ ABG$的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF// BG$，$EF=\dfrac{1}{2}BG$。
$\because AD// BC$，$EF// BG$，$\therefore EF// AD// BC$。
又$\because BG=BC+CG$，且$CG=AD$，$\therefore EF=\dfrac{1}{2}(BC+AD)$。
任务3：由任务2的结论可知$EF=\dfrac{1}{2}(AD+BC)$，
梯形的面积公式为$S=\dfrac{1}{2}(AD+BC)× h$（$h$为梯形的高），将$EF=\dfrac{1}{2}(AD+BC)$代入得：$S=EF· h$。
已知$S=30\ \mathrm{cm^2}$，$h=5\ \mathrm{cm}$，代入得：$30=5EF$，解得$EF=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
任务1：
，$△ ABG$为剪拼后的三角形；任务2：$EF// AD// BC$，$EF=\dfrac{1}{2}(AD+BC)$，证明过程见解析；
任务3：$EF$的长为$6\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，梯形面积计算
【点评】
本题通过类比三角形中位线的探究方法，引导学生利用转化思想将梯形问题转化为三角形问题解决，既考查了知识的迁移应用能力，也强化了转化的数学思维，同时结合梯形面积公式的应用，加深了对梯形中位线性质的理解。
【难度系数】
0.7
