登录
1. 下列方程中,不是分式方程的是 （
A.$\frac{3x+1}{3}=\frac{5x+3}{6}$
B.$x+\frac{1}{x}=2$
C.$-5x=\frac{1}{7x}$
D.$\frac{5x+3}{x}=7$
A
）A.$\frac{3x+1}{3}=\frac{5x+3}{6}$
B.$x+\frac{1}{x}=2$
C.$-5x=\frac{1}{7x}$
D.$\frac{5x+3}{x}=7$
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查分式方程的判定，解题的核心是牢记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程。解题时先明确判断标准，再逐一核对每个选项的分母是否含未知数即可：首先回忆分式方程和整式方程的区别，核心差异是分母中是否出现未知数；随后逐个分析四个选项的分母，找到分母全为常数、不含未知数的方程，即为本题所求的“不是分式方程”的选项。
【解析】
解：判断方程是否为分式方程的依据是：分母中含有未知数的方程是分式方程。
选项A：方程$\frac{3x+1}{3}=\frac{5x+3}{6}$的分母为3和6，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
选项B：方程$x+\frac{1}{x}=2$的分母含有未知数$x$，是分式方程；
选项C：方程$-5x=\frac{1}{7x}$的分母含有未知数$x$，是分式方程；
选项D：方程$\frac{5x+3}{x}=7$的分母含有未知数$x$，是分式方程。
综上，不是分式方程的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的定义；整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要掌握分式方程的判断核心（分母含未知数）即可快速得出答案，解题时注意不要将分母仅为常数的整式方程错判为分式方程。
【难度系数】
0.9
本题考查分式方程的判定，解题的核心是牢记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程。解题时先明确判断标准，再逐一核对每个选项的分母是否含未知数即可：首先回忆分式方程和整式方程的区别，核心差异是分母中是否出现未知数；随后逐个分析四个选项的分母，找到分母全为常数、不含未知数的方程，即为本题所求的“不是分式方程”的选项。
【解析】
解：判断方程是否为分式方程的依据是：分母中含有未知数的方程是分式方程。
选项A：方程$\frac{3x+1}{3}=\frac{5x+3}{6}$的分母为3和6，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程；
选项B：方程$x+\frac{1}{x}=2$的分母含有未知数$x$，是分式方程；
选项C：方程$-5x=\frac{1}{7x}$的分母含有未知数$x$，是分式方程；
选项D：方程$\frac{5x+3}{x}=7$的分母含有未知数$x$，是分式方程。
综上，不是分式方程的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的定义；整式方程的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要掌握分式方程的判断核心（分母含未知数）即可快速得出答案，解题时注意不要将分母仅为常数的整式方程错判为分式方程。
【难度系数】
0.9
2.若分式方程$\dfrac{x}{x - 4}=2+\dfrac{a}{x - 4}$无解，则$a$的值为 （
A.4
B.2
C.1
D.0
A
）A.4
B.2
C.1
D.0
答案
2.A
解析
【分析】
首先明确分式方程无解的核心原因：要么去分母后得到的整式方程本身无解，要么整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的未知数的值）。本题中分式的分母为$x-4$，因此增根只能是$x=4$。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再把增根代入整式方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：给原分式方程两边同时乘以最简公分母$(x-4)$（此时$x≠4$），消去分母得：
$x = 2(x-4) + a$
展开并整理整式方程：
$x = 2x - 8 + a$
移项计算得：$x = 8 - a$
$\because$原分式方程无解
$\therefore x=8-a$是原方程的增根，即$x=4$
将$x=4$代入$x=8-a$得：
$4 = 8 - a$
解得$a=4$
【答案】A
【知识点】
分式方程的增根，分式方程无解判定，解分式方程
【点评】
本题属于分式方程的基础常考题，解题关键是理解增根的含义，掌握分式方程无解的判定逻辑，按步骤转化求解即可，是分式方程模块的常规考点。
【难度系数】
0.7
首先明确分式方程无解的核心原因：要么去分母后得到的整式方程本身无解，要么整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的未知数的值）。本题中分式的分母为$x-4$，因此增根只能是$x=4$。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再把增根代入整式方程即可求出$a$的值。
【解析】
解：给原分式方程两边同时乘以最简公分母$(x-4)$（此时$x≠4$），消去分母得：
$x = 2(x-4) + a$
展开并整理整式方程：
$x = 2x - 8 + a$
移项计算得：$x = 8 - a$
$\because$原分式方程无解
$\therefore x=8-a$是原方程的增根，即$x=4$
将$x=4$代入$x=8-a$得：
$4 = 8 - a$
解得$a=4$
【答案】A
【知识点】
分式方程的增根，分式方程无解判定，解分式方程
【点评】
本题属于分式方程的基础常考题，解题关键是理解增根的含义，掌握分式方程无解的判定逻辑，按步骤转化求解即可，是分式方程模块的常规考点。
【难度系数】
0.7
3. 关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{7}{x-1}=\frac{m}{x-1}-3$ 有增根，则 $ m $ 为 （
A.0
B.$-1$
C.7
D.1
C
）A.0
B.$-1$
C.7
D.1
答案
3.C
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先明确增根的性质：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时会使原分式方程的分母为0。解题时先找原方程的增根：原方程分母为x-1，令分母为0可得增根x=1；再将分式方程去分母转化为整式方程；最后把增根代入整式方程，即可求出m的值。
【解析】
解：
∵ 分式方程有增根，
∴ 最简公分母$x-1=0$，解得$x=1$，即增根为$x=1$。
原方程两边同时乘以$(x-1)$去分母，得：
$7 = m - 3(x - 1)$
将$x=1$代入上述整式方程，得：
$7 = m - 3×(1-1)$
计算得$7=m$，即$m=7$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程增根、整式方程求值
【点评】
本题考查分式方程增根的相关计算，解题关键是牢记增根的两个特征：一是使原分式方程的最简公分母为0，二是是去分母后所得整式方程的根，熟练运用这两个性质即可快速求出参数值。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先明确增根的性质：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时会使原分式方程的分母为0。解题时先找原方程的增根：原方程分母为x-1，令分母为0可得增根x=1；再将分式方程去分母转化为整式方程；最后把增根代入整式方程，即可求出m的值。
【解析】
解：
∵ 分式方程有增根，
∴ 最简公分母$x-1=0$，解得$x=1$，即增根为$x=1$。
原方程两边同时乘以$(x-1)$去分母，得：
$7 = m - 3(x - 1)$
将$x=1$代入上述整式方程，得：
$7 = m - 3×(1-1)$
计算得$7=m$，即$m=7$。
【答案】
C
【知识点】
分式方程增根、整式方程求值
【点评】
本题考查分式方程增根的相关计算，解题关键是牢记增根的两个特征：一是使原分式方程的最简公分母为0，二是是去分母后所得整式方程的根，熟练运用这两个性质即可快速求出参数值。
【难度系数】
0.7
4.已知关于$x$的方程$\dfrac{a}{x-2}-1=0$的解是非负数,则$a$的取值范围是 （
A.$a≤ -2$
B.$a≤ -2$且$a≠ -4$
C.$a≥ -2$
D.$a≥ -2$且$a≠ 0$
D
）A.$a≤ -2$
B.$a≤ -2$且$a≠ -4$
C.$a≥ -2$
D.$a≥ -2$且$a≠ 0$
答案
4.D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先解分式方程，用含参数a的代数式表示出方程的解x；第二步，根据“解是非负数”的条件列出不等式，求出a的初步范围；第三步，牢记分式方程的分母不能为0，排除使分母为0的a的取值，最终得到a的完整取值范围。
【解析】
首先解分式方程$\dfrac{a}{x-2}-1=0$：
1. 移项得：$\dfrac{a}{x-2}=1$
2. 方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$（注意$x≠2$，否则分式无意义），得：$a = x - 2$
3. 整理得方程的解：$x = a + 2$
接下来根据题意列不等式：
① 因为方程的解是非负数，所以$x≥0$，代入得：$a + 2≥0$，解得$a≥-2$
② 因为分式分母不能为0，所以$x≠2$，代入得：$a + 2≠2$，解得$a≠0$
综合两个条件，$a$的取值范围是$a≥-2$且$a≠0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法；一元一次不等式的应用；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程参数取值范围的常考题型，解题的关键是不要遗漏分式分母不为0的限制条件，只要先求出方程的解，再结合题目给出的解的性质和分式有意义的条件列不等式求解即可。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按三步思考：第一步，先解分式方程，用含参数a的代数式表示出方程的解x；第二步，根据“解是非负数”的条件列出不等式，求出a的初步范围；第三步，牢记分式方程的分母不能为0，排除使分母为0的a的取值，最终得到a的完整取值范围。
【解析】
首先解分式方程$\dfrac{a}{x-2}-1=0$：
1. 移项得：$\dfrac{a}{x-2}=1$
2. 方程两边同时乘以最简公分母$(x-2)$（注意$x≠2$，否则分式无意义），得：$a = x - 2$
3. 整理得方程的解：$x = a + 2$
接下来根据题意列不等式：
① 因为方程的解是非负数，所以$x≥0$，代入得：$a + 2≥0$，解得$a≥-2$
② 因为分式分母不能为0，所以$x≠2$，代入得：$a + 2≠2$，解得$a≠0$
综合两个条件，$a$的取值范围是$a≥-2$且$a≠0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法；一元一次不等式的应用；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程参数取值范围的常考题型，解题的关键是不要遗漏分式分母不为0的限制条件，只要先求出方程的解，再结合题目给出的解的性质和分式有意义的条件列不等式求解即可。
【难度系数】
0.7
5. 在古代建筑中，榫(sǔn)卯(mǎo)结构至关重要，如图，通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动. 工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5 kg. 已知用35 kg木材制作榫的数量与用30 kg木材制作卯的数量相同. 设制作1个榫需要的木材为x kg，则符合题意的方程是 （
A.$\frac{35}{x}=\frac{30}{x-0.5}$
B.$\frac{35}{x}=\frac{30}{x}+0.5$
C.$\frac{35}{x}+0.5=\frac{30}{x}$
D.$\frac{35}{x+0.5}=\frac{30}{x}$
A
）A.$\frac{35}{x}=\frac{30}{x-0.5}$
B.$\frac{35}{x}=\frac{30}{x}+0.5$
C.$\frac{35}{x}+0.5=\frac{30}{x}$
D.$\frac{35}{x+0.5}=\frac{30}{x}$
答案
5.A
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题时先明确题设条件：已知制作1个榫需要木材x kg，先推导单个卯的需用木材量，再找到核心等量关系——35kg木材制作榫的数量 = 30kg木材制作卯的数量，最后根据“总质量÷单个质量=数量”分别表示两种零件的数量，即可列出方程。
【解析】
解：已知制作1个榫需要木材x kg，
∵每个榫需要的木材比每个卯多0.5 kg，
∴制作1个卯需要木材$(x-0.5)$kg。
根据“总质量÷单个零件需用木材=零件数量”可得：
35 kg木材可制作榫的数量为$\frac{35}{x}$个，
30 kg木材可制作卯的数量为$\frac{30}{x-0.5}$个。
由题可知两种零件数量相等，因此列方程：
$\frac{35}{x}=\frac{30}{x-0.5}$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程应用；列代数式；等量关系列方程
【点评】
本题结合传统榫卯结构的实际场景命题，属于基础应用题，核心考查从实际问题中提取有效信息、找准等量关系列方程的能力，解题关键是正确表示出单个卯的需用木材量。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程的实际应用题，解题时先明确题设条件：已知制作1个榫需要木材x kg，先推导单个卯的需用木材量，再找到核心等量关系——35kg木材制作榫的数量 = 30kg木材制作卯的数量，最后根据“总质量÷单个质量=数量”分别表示两种零件的数量，即可列出方程。
【解析】
解：已知制作1个榫需要木材x kg，
∵每个榫需要的木材比每个卯多0.5 kg，
∴制作1个卯需要木材$(x-0.5)$kg。
根据“总质量÷单个零件需用木材=零件数量”可得：
35 kg木材可制作榫的数量为$\frac{35}{x}$个，
30 kg木材可制作卯的数量为$\frac{30}{x-0.5}$个。
由题可知两种零件数量相等，因此列方程：
$\frac{35}{x}=\frac{30}{x-0.5}$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程应用；列代数式；等量关系列方程
【点评】
本题结合传统榫卯结构的实际场景命题，属于基础应用题，核心考查从实际问题中提取有效信息、找准等量关系列方程的能力，解题关键是正确表示出单个卯的需用木材量。
【难度系数】
0.8
6.为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某校用400元为各班购进第一批跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳.已知第二批跳绳的数量是第一批跳绳数量的1.5倍，且第二批每根跳绳的价格比第一批的少5元，则第二批每根跳绳的价格是（
A.10元
B.15元
C.20元
D.25元
B
）A.10元
B.15元
C.20元
D.25元
答案
6.B
解析
【分析】
这是一道分式方程的实际应用题，解题时首先要明确题目中的等量关系：第二批跳绳的数量=1.5×第一批跳绳的数量，而数量=总价÷单价。我们可以设第二批每根跳绳的价格为未知数，进而表示出第一批跳绳的单价，再结合两个批次的总费用表示出各自的数量，代入等量关系列出分式方程，求解后检验是否符合题意即可得到答案。
【解析】
设第二批每根跳绳的价格是$x$元，则第一批每根跳绳的价格是$(x+5)$元。
根据“第二批跳绳的数量是第一批跳绳数量的1.5倍”，可列方程：
$\frac{450}{x}=1.5×\frac{400}{x+5}$
化简方程右侧得：
$\frac{450}{x}=\frac{600}{x+5}$
交叉相乘去分母得：
$450(x+5)=600x$
展开括号：
$450x + 2250 = 600x$
移项合并同类项：
$150x=2250$
解得：
$x=15$
检验：当$x=15$时，$x≠0$，$x+5=20≠0$，所以$x=15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的应用；列方程解应用题；分式方程的检验
【点评】
本题属于生活实际类的数学应用题，解题的核心是找准题目中的等量关系，明确总价、单价、数量三者的运算关系，求解分式方程后务必要进行检验，既要验证解是否为原方程的根，也要验证解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程的实际应用题，解题时首先要明确题目中的等量关系：第二批跳绳的数量=1.5×第一批跳绳的数量，而数量=总价÷单价。我们可以设第二批每根跳绳的价格为未知数，进而表示出第一批跳绳的单价，再结合两个批次的总费用表示出各自的数量，代入等量关系列出分式方程，求解后检验是否符合题意即可得到答案。
【解析】
设第二批每根跳绳的价格是$x$元，则第一批每根跳绳的价格是$(x+5)$元。
根据“第二批跳绳的数量是第一批跳绳数量的1.5倍”，可列方程：
$\frac{450}{x}=1.5×\frac{400}{x+5}$
化简方程右侧得：
$\frac{450}{x}=\frac{600}{x+5}$
交叉相乘去分母得：
$450(x+5)=600x$
展开括号：
$450x + 2250 = 600x$
移项合并同类项：
$150x=2250$
解得：
$x=15$
检验：当$x=15$时，$x≠0$，$x+5=20≠0$，所以$x=15$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的应用；列方程解应用题；分式方程的检验
【点评】
本题属于生活实际类的数学应用题，解题的核心是找准题目中的等量关系，明确总价、单价、数量三者的运算关系，求解分式方程后务必要进行检验，既要验证解是否为原方程的根，也要验证解是否符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
