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7. 方程$\frac{1}{x} - \frac{2}{x + 3} = 0$的解为________.
答案
7.$x=3$
解析
【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题思路清晰可分为三步：第一步先明确分母不为0的取值范围，排除无意义的情况；第二步找到两个分母的最简公分母，给方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为已学过的一元一次方程；第三步求解一元一次方程后，必须代入最简公分母检验，确认解不会让原方程分母为0，才是原方程的有效解。
【解析】
要使原方程有意义，则分母不为0，即$x≠0$且$x+3≠0$，也就是$x≠0$且$x≠-3$。
方程两边同时乘最简公分母$x(x+3)$，去分母得：
$x+3 - 2x = 0$
移项、合并同类项得：
$-x = -3$
系数化为1得：
$x=3$
检验：将$x=3$代入最简公分母$x(x+3)=3×(3+3)=18≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解。
【答案】
$x=3$
【知识点】
分式方程的解法；一元一次方程求解；分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础常规题，核心考察将分式方程转化为整式方程求解的转化思想，要特别注意分式方程求解后必须验根，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程求解的题目，解题思路清晰可分为三步：第一步先明确分母不为0的取值范围，排除无意义的情况；第二步找到两个分母的最简公分母，给方程两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为已学过的一元一次方程；第三步求解一元一次方程后，必须代入最简公分母检验，确认解不会让原方程分母为0，才是原方程的有效解。
【解析】
要使原方程有意义，则分母不为0，即$x≠0$且$x+3≠0$，也就是$x≠0$且$x≠-3$。
方程两边同时乘最简公分母$x(x+3)$，去分母得：
$x+3 - 2x = 0$
移项、合并同类项得：
$-x = -3$
系数化为1得：
$x=3$
检验：将$x=3$代入最简公分母$x(x+3)=3×(3+3)=18≠0$，因此$x=3$是原分式方程的解。
【答案】
$x=3$
【知识点】
分式方程的解法；一元一次方程求解；分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础常规题，核心考察将分式方程转化为整式方程求解的转化思想，要特别注意分式方程求解后必须验根，排除使分母为0的增根。
【难度系数】
0.8
8. 当 $ x $ 的值是 ______ 时，代数式 $\dfrac{x - 5}{x - 8}$ 和 $\dfrac{4 - 2x}{8 - x}$ 的值互为相反数。
答案
8.3
解析
【分析】
解题首先利用“互为相反数的两个数之和为0”的性质列方程，由于是分式方程，需先明确分母不为0的前提，再通过变形统一两个分式的分母，去掉分母转化为整式方程求解，最后必须验根，确认解不会使原分式的分母为0，避免出现增根。具体思路：第一步根据相反数性质列等式，第二步处理分母的符号差异统一分母，第三步去分母转化为整式方程求解，第四步验根确认解的有效性。
【解析】
解：已知两个代数式互为相反数，根据互为相反数的两数和为0，列方程：
$\dfrac{x - 5}{x - 8} + \dfrac{4 - 2x}{8 - x} = 0$
对第二个分式变形，$8-x=-(x-8)$，原方程可化为：
$\dfrac{x - 5}{x - 8} + \dfrac{2x - 4}{x - 8} = 0$
分式有意义的前提是分母不为0，即$x-8≠0$，也就是$x≠8$，方程两边同时乘$(x-8)$去分母得：
$x-5 + 2x - 4 = 0$
合并同类项得：
$3x - 9 = 0$
解得$x=3$
验根：把$x=3$代入原方程分母，$x-8=3-8=-5≠0$，因此$x=3$是原方程的解。
【答案】3
【知识点】
1.相反数的性质 2.分式方程的解法 3.分式有意义的条件
【点评】
本题结合相反数的性质考查分式方程的求解，易错点是处理第二个分式时分母变号出错，以及忘记验根，解题时要先统一分母形式，去分母后求解整式方程，最后代入原分母验证，排除增根即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题首先利用“互为相反数的两个数之和为0”的性质列方程，由于是分式方程，需先明确分母不为0的前提，再通过变形统一两个分式的分母，去掉分母转化为整式方程求解，最后必须验根，确认解不会使原分式的分母为0，避免出现增根。具体思路：第一步根据相反数性质列等式，第二步处理分母的符号差异统一分母，第三步去分母转化为整式方程求解，第四步验根确认解的有效性。
【解析】
解：已知两个代数式互为相反数，根据互为相反数的两数和为0，列方程：
$\dfrac{x - 5}{x - 8} + \dfrac{4 - 2x}{8 - x} = 0$
对第二个分式变形，$8-x=-(x-8)$，原方程可化为：
$\dfrac{x - 5}{x - 8} + \dfrac{2x - 4}{x - 8} = 0$
分式有意义的前提是分母不为0，即$x-8≠0$，也就是$x≠8$，方程两边同时乘$(x-8)$去分母得：
$x-5 + 2x - 4 = 0$
合并同类项得：
$3x - 9 = 0$
解得$x=3$
验根：把$x=3$代入原方程分母，$x-8=3-8=-5≠0$，因此$x=3$是原方程的解。
【答案】3
【知识点】
1.相反数的性质 2.分式方程的解法 3.分式有意义的条件
【点评】
本题结合相反数的性质考查分式方程的求解，易错点是处理第二个分式时分母变号出错，以及忘记验根，解题时要先统一分母形式，去分母后求解整式方程，最后代入原分母验证，排除增根即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
9.中国的电商市场蓬勃发展，已经成为世界上最大的电商市场之一，而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展.其实，早在我国汉代就设有“驿传”制度，也可以理解为早期的“快递”雏形.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，则所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为$ x $天，则可列出正确的方程为
$\frac{900}{x-3}=2×\frac{900}{x+1}$
.答案
9.$\frac{900}{x-3}=2×\frac{900}{x+1}$
解析
【分析】
这是一道行程类的分式方程列写题，解题核心是找准题目中的等量关系。首先已知总路程固定为900里，规定时间设为x天，我们先分别推导慢马和快马的行驶时间，再根据“速度=路程÷时间”写出两种马的速度表达式，最后利用“快马速度是慢马的2倍”这个核心等量关系就能列出方程。
第一步先确定两种马的行驶时间：慢马用时比规定时间多1天，所以慢马用时为(x+1)天；快马用时比规定时间少3天，所以快马用时为(x-3)天。
第二步分别计算速度：慢马速度为总路程除以慢马用时，快马速度为总路程除以快马用时。
第三步根据速度的倍数关系列等式即可。
【解析】
解：设规定时间为$x$天。
1. 慢马派送所需时间为$(x+1)$天，根据速度公式可得慢马速度为$\frac{900}{x+1}$里/天。
2. 快马派送所需时间为$(x-3)$天，同理可得快马速度为$\frac{900}{x-3}$里/天。
3. 根据“快马的速度是慢马的2倍”的等量关系，列方程得：
$\frac{900}{x-3}=2×\frac{900}{x+1}$
【答案】
$\frac{900}{x-3}=2×\frac{900}{x+1}$
【知识点】
行程问题基本公式，分式方程的实际应用
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题的关键是准确梳理不同对象的时间、路程、速度的对应关系，不要混淆时间“多”“少”对应的加减关系，就能顺利列出方程。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的分式方程列写题，解题核心是找准题目中的等量关系。首先已知总路程固定为900里，规定时间设为x天，我们先分别推导慢马和快马的行驶时间，再根据“速度=路程÷时间”写出两种马的速度表达式，最后利用“快马速度是慢马的2倍”这个核心等量关系就能列出方程。
第一步先确定两种马的行驶时间：慢马用时比规定时间多1天，所以慢马用时为(x+1)天；快马用时比规定时间少3天，所以快马用时为(x-3)天。
第二步分别计算速度：慢马速度为总路程除以慢马用时，快马速度为总路程除以快马用时。
第三步根据速度的倍数关系列等式即可。
【解析】
解：设规定时间为$x$天。
1. 慢马派送所需时间为$(x+1)$天，根据速度公式可得慢马速度为$\frac{900}{x+1}$里/天。
2. 快马派送所需时间为$(x-3)$天，同理可得快马速度为$\frac{900}{x-3}$里/天。
3. 根据“快马的速度是慢马的2倍”的等量关系，列方程得：
$\frac{900}{x-3}=2×\frac{900}{x+1}$
【答案】
$\frac{900}{x-3}=2×\frac{900}{x+1}$
【知识点】
行程问题基本公式，分式方程的实际应用
【点评】
本题属于基础的方程应用题，解题的关键是准确梳理不同对象的时间、路程、速度的对应关系，不要混淆时间“多”“少”对应的加减关系，就能顺利列出方程。
【难度系数】
0.7
10.小明读到关于某城际铁路的新闻报道后，搜集该线路的相关信息制作了下表：
在表中两个区间(两个相邻车站之间的路段)内以最高时速运行时相应所用的时间$ t_1 $比$ t_2 $约少$ 0.1 \ \mathrm{h} $，那么$ v=\_\_\_\_\_\_ \ \mathrm{km/h} $。
在表中两个区间(两个相邻车站之间的路段)内以最高时速运行时相应所用的时间$ t_1 $比$ t_2 $约少$ 0.1 \ \mathrm{h} $，那么$ v=\_\_\_\_\_\_ \ \mathrm{km/h} $。
答案
10.320
解析
【分析】
首先回忆行程问题的基本公式：时间=路程÷速度，我们可以先分别用含v的代数式表示出两个区间的运行时间$t_1$和$t_2$。题目给出$t_1$比$t_2$少0.1h，即$t_2-t_1=0.1\mathrm{h}$，以此为等量关系列关于v的分式方程，求解后检验根的合理性即可得到v的值。
【解析】
根据行程公式$t=\frac{s}{v}$可得：
A-B区间用时$t_1=\frac{48}{v}$，
B-C区间用时$t_2=\frac{88}{1.1v}$，
由题意$t_2-t_1=0.1\mathrm{h}$，代入得方程：
$\frac{88}{1.1v}-\frac{48}{v}=0.1$
化简得$\frac{80}{v}-\frac{48}{v}=0.1$，
合并得$\frac{32}{v}=0.1$，
解得$v=320$。
检验：当$v=320$时，$v≠0$，符合实际意义，是原方程的解。
【答案】
320
【知识点】
分式方程的应用；行程问题公式
【点评】
本题是典型的行程类分式方程应用题，解题关键是找准时间差的等量关系列方程，解分式方程后要注意检验根是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
首先回忆行程问题的基本公式：时间=路程÷速度，我们可以先分别用含v的代数式表示出两个区间的运行时间$t_1$和$t_2$。题目给出$t_1$比$t_2$少0.1h，即$t_2-t_1=0.1\mathrm{h}$，以此为等量关系列关于v的分式方程，求解后检验根的合理性即可得到v的值。
【解析】
根据行程公式$t=\frac{s}{v}$可得：
A-B区间用时$t_1=\frac{48}{v}$，
B-C区间用时$t_2=\frac{88}{1.1v}$，
由题意$t_2-t_1=0.1\mathrm{h}$，代入得方程：
$\frac{88}{1.1v}-\frac{48}{v}=0.1$
化简得$\frac{80}{v}-\frac{48}{v}=0.1$，
合并得$\frac{32}{v}=0.1$，
解得$v=320$。
检验：当$v=320$时，$v≠0$，符合实际意义，是原方程的解。
【答案】
320
【知识点】
分式方程的应用；行程问题公式
【点评】
本题是典型的行程类分式方程应用题，解题关键是找准时间差的等量关系列方程，解分式方程后要注意检验根是否符合实际要求。
【难度系数】
0.7
11.解方程：
(1)$\frac{1}{x}=\frac{4}{x+3}$；
(2)$\frac{y-2}{2y-1}+1=\frac{1.5}{1-2y}$；
(3)$\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x^2-1}=1$；
(4)$\frac{3}{(x-1)(x+2)}+1=\frac{x}{x-1}$.
(1)$\frac{1}{x}=\frac{4}{x+3}$；
(2)$\frac{y-2}{2y-1}+1=\frac{1.5}{1-2y}$；
(3)$\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x^2-1}=1$；
(4)$\frac{3}{(x-1)(x+2)}+1=\frac{x}{x-1}$.
答案
11.解:(1)方程两边同乘$x(x+3)$,得$x+3=4x$,
解得$x=1$,
检验:当$x=1$时,$x(x+3)≠0$,
∴原方程的解是$x=1$.
(2)方程两边同时乘$2y-1$,得$y-2+2y-1=-1.5$,
解得$y=\frac{1}{2}$,
检验:把$y=\frac{1}{2}$代入$2y-1$得$2y-1=0$.
∴$y=\frac{1}{2}$是分式方程的增根,
∴原分式方程无解.
(3)方程两边同乘$(x+1)(x-1)$,得$x(x+1)+1=(x+1)(x-1)$,
解得$x=-2$,
检验:当$x=-2$时,$(x+1)(x-1)≠0$,
∴原分式方程的解是$x=-2$.
(4)方程两边同时乘$(x-1)(x+2)$,得$3+(x-1)(x+2)=x(x+2)$,
去括号,得$3+x^2+2x-x-2=x^2+2x$,
解得$x=1$,
检验:把$x=1$代入$(x-1)(x+2)$得$(x-1)(x+2)=0$,
∴$x=1$是分式方程的增根,
∴分式方程无解.
解得$x=1$,
检验:当$x=1$时,$x(x+3)≠0$,
∴原方程的解是$x=1$.
(2)方程两边同时乘$2y-1$,得$y-2+2y-1=-1.5$,
解得$y=\frac{1}{2}$,
检验:把$y=\frac{1}{2}$代入$2y-1$得$2y-1=0$.
∴$y=\frac{1}{2}$是分式方程的增根,
∴原分式方程无解.
(3)方程两边同乘$(x+1)(x-1)$,得$x(x+1)+1=(x+1)(x-1)$,
解得$x=-2$,
检验:当$x=-2$时,$(x+1)(x-1)≠0$,
∴原分式方程的解是$x=-2$.
(4)方程两边同时乘$(x-1)(x+2)$,得$3+(x-1)(x+2)=x(x+2)$,
去括号,得$3+x^2+2x-x-2=x^2+2x$,
解得$x=1$,
检验:把$x=1$代入$(x-1)(x+2)$得$(x-1)(x+2)=0$,
∴$x=1$是分式方程的增根,
∴分式方程无解.
解析
【分析】
这是分式方程求解类题目，解题思路遵循“转化-求解-检验”三步：首先观察各方程的分母，确定最简公分母，将方程两边同时乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程（注意不含分母的项也要乘最简公分母，互为相反数的分母要先统一符号避免符号错误）；接下来求解得到的整式方程；最后必须进行检验：将求得的根代入最简公分母，若公分母不为0，则是原方程的解，若公分母为0，说明该根是增根，原分式方程无解。
【解析】
(1) 方程两边同乘$x(x+3)$，得$x+3=4x$，
解得$x=1$，
检验：当$x=1$时，$x(x+3)≠0$，
∴原方程的解是$x=1$。
(2) 方程两边同时乘$2y-1$，得$y-2+2y-1=-1.5$，
解得$y=\frac{1}{2}$，
检验：把$y=\frac{1}{2}$代入$2y-1$得$2y-1=0$，
∴$y=\frac{1}{2}$是分式方程的增根，
∴原分式方程无解。
(3) 方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得$x(x+1)+1=(x+1)(x-1)$，
解得$x=-2$，
检验：当$x=-2$时，$(x+1)(x-1)≠0$，
∴原分式方程的解是$x=-2$。
(4) 方程两边同时乘$(x-1)(x+2)$，得$3+(x-1)(x+2)=x(x+2)$，
去括号，得$3+x^2+2x-x-2=x^2+2x$，
解得$x=1$，
检验：把$x=1$代入$(x-1)(x+2)$得$(x-1)(x+2)=0$，
∴$x=1$是分式方程的增根，
∴分式方程无解。
【答案】
(1)$x=1$；(2)无解；(3)$x=-2$；(4)无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的判定，整式方程求解
【点评】
本题属于分式方程基础运算题，解题时要注意两个易错点：一是去分母时不要漏乘没有分母的常数项，当分母互为相反数时要注意符号变化；二是检验是解分式方程的必要步骤，不能省略，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.7
这是分式方程求解类题目，解题思路遵循“转化-求解-检验”三步：首先观察各方程的分母，确定最简公分母，将方程两边同时乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程（注意不含分母的项也要乘最简公分母，互为相反数的分母要先统一符号避免符号错误）；接下来求解得到的整式方程；最后必须进行检验：将求得的根代入最简公分母，若公分母不为0，则是原方程的解，若公分母为0，说明该根是增根，原分式方程无解。
【解析】
(1) 方程两边同乘$x(x+3)$，得$x+3=4x$，
解得$x=1$，
检验：当$x=1$时，$x(x+3)≠0$，
∴原方程的解是$x=1$。
(2) 方程两边同时乘$2y-1$，得$y-2+2y-1=-1.5$，
解得$y=\frac{1}{2}$，
检验：把$y=\frac{1}{2}$代入$2y-1$得$2y-1=0$，
∴$y=\frac{1}{2}$是分式方程的增根，
∴原分式方程无解。
(3) 方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得$x(x+1)+1=(x+1)(x-1)$，
解得$x=-2$，
检验：当$x=-2$时，$(x+1)(x-1)≠0$，
∴原分式方程的解是$x=-2$。
(4) 方程两边同时乘$(x-1)(x+2)$，得$3+(x-1)(x+2)=x(x+2)$，
去括号，得$3+x^2+2x-x-2=x^2+2x$，
解得$x=1$，
检验：把$x=1$代入$(x-1)(x+2)$得$(x-1)(x+2)=0$，
∴$x=1$是分式方程的增根，
∴分式方程无解。
【答案】
(1)$x=1$；(2)无解；(3)$x=-2$；(4)无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的判定，整式方程求解
【点评】
本题属于分式方程基础运算题，解题时要注意两个易错点：一是去分母时不要漏乘没有分母的常数项，当分母互为相反数时要注意符号变化；二是检验是解分式方程的必要步骤，不能省略，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.7
12.下面是某位同学解分式方程$\frac{2}{x+2}-\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x^2-4}$的过程.
解:方程两边同乘$(x+2)(x-2)$,得
$2(x-2)-3(x+2)=1$. ①
$2x-4-3x+6=1$. ②
$x=1$. ③
检验:当$x=1$时,$(x+2)(x-2)≠0$,④
$\therefore$原分式方程的解为$x=1$.
(1)该同学的解题过程从第
(2)请写出正确的解题过程.
解:方程两边同乘$(x+2)(x-2)$,得
$2(x-2)-3(x+2)=1$. ①
$2x-4-3x+6=1$. ②
$x=1$. ③
检验:当$x=1$时,$(x+2)(x-2)≠0$,④
$\therefore$原分式方程的解为$x=1$.
(1)该同学的解题过程从第
②
步开始出现了错误(只填序号);(2)请写出正确的解题过程.
答案
12.解:(1)该同学的解题过程从第②步开始出现了错误,故答案为②.
(2)方程两边同乘$(x+2)(x-2)$,得$2(x-2)-3(x+2)=1$,
$2x-4-3x-6=1$,
$-x=11$,
$x=-11$.
检验:当$x=-11$时,$(x+2)(x-2)≠0$,
∴原分式方程的解为$x=-11$.
(2)方程两边同乘$(x+2)(x-2)$,得$2(x-2)-3(x+2)=1$,
$2x-4-3x-6=1$,
$-x=11$,
$x=-11$.
检验:当$x=-11$时,$(x+2)(x-2)≠0$,
∴原分式方程的解为$x=-11$.
解析
【分析】
（1）判断错误步骤时逐行核对运算规则：首先去分母步骤，方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$得到①式是正确的；接下来对①式去括号，根据去括号法则，$-3(x+2)$展开应为$-3x-6$，题中第②步写成了$-3x+6$，符号计算错误，因此从第②步开始出错。
（2）解分式方程的正确思路：先去分母将分式方程转化为整式方程，去括号时注意括号前为负号时括号内每一项都要变号，再通过移项、合并同类项、系数化为1求出整式方程的解，最后将解代入最简公分母检验，公分母不为0时才是原分式方程的解。
【解析】
(1) 核对解题过程：
第①步去分母运算符合规则，计算正确；第②步去括号时，$-3(x+2)$展开符号计算错误，因此解题过程从第②步开始出错。
(2) 正确解题过程：
方程两边同乘$(x+2)(x-2)$，得
$2(x-2)-3(x+2)=1$
去括号，得$2x-4-3x-6=1$
移项、合并同类项，得$-x=11$
系数化为1，得$x=-11$
检验：当$x=-11$时，$(x+2)(x-2)≠0$
∴原分式方程的解为$x=-11$
【答案】
(1) $\boldsymbol{②}$；(2) 原分式方程的解为$\boldsymbol{x=-11}$
【知识点】
解分式方程；去括号法则；分式方程检验
【点评】
本题重点考查分式方程的解法，易错点是去括号时符号处理失误，同时要牢记解分式方程必须进行验根，避免出现增根的情况，日常解题时要注意运算细节，提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
（1）判断错误步骤时逐行核对运算规则：首先去分母步骤，方程两边同乘最简公分母$(x+2)(x-2)$得到①式是正确的；接下来对①式去括号，根据去括号法则，$-3(x+2)$展开应为$-3x-6$，题中第②步写成了$-3x+6$，符号计算错误，因此从第②步开始出错。
（2）解分式方程的正确思路：先去分母将分式方程转化为整式方程，去括号时注意括号前为负号时括号内每一项都要变号，再通过移项、合并同类项、系数化为1求出整式方程的解，最后将解代入最简公分母检验，公分母不为0时才是原分式方程的解。
【解析】
(1) 核对解题过程：
第①步去分母运算符合规则，计算正确；第②步去括号时，$-3(x+2)$展开符号计算错误，因此解题过程从第②步开始出错。
(2) 正确解题过程：
方程两边同乘$(x+2)(x-2)$，得
$2(x-2)-3(x+2)=1$
去括号，得$2x-4-3x-6=1$
移项、合并同类项，得$-x=11$
系数化为1，得$x=-11$
检验：当$x=-11$时，$(x+2)(x-2)≠0$
∴原分式方程的解为$x=-11$
【答案】
(1) $\boldsymbol{②}$；(2) 原分式方程的解为$\boldsymbol{x=-11}$
【知识点】
解分式方程；去括号法则；分式方程检验
【点评】
本题重点考查分式方程的解法，易错点是去括号时符号处理失误，同时要牢记解分式方程必须进行验根，避免出现增根的情况，日常解题时要注意运算细节，提升计算准确率。
【难度系数】
0.8
