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13. 中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化. 已知某茶店3月份第一周绿茶、红茶的销售总额分别为1 500元、1 200元，红茶每千克的售价是绿茶每千克售价的1.5倍，红茶的销售量比绿茶的销售量少7 kg. 绿茶、红茶每千克的售价分别是多少元？
答案
13.解:设绿茶每千克的售价为$x$元,则红茶每千克的售价为$1.5x$元.
根据题意列方程,得
$\frac{1\ 500}{x}-\frac{1\ 200}{1.5x}=7$,解得$x=100$,
检验:$x=100$是所列方程的解,
$1.5x=150$.
答:绿茶每千克的售价为100元,红茶每千克的售价为150元.
根据题意列方程,得
$\frac{1\ 500}{x}-\frac{1\ 200}{1.5x}=7$,解得$x=100$,
检验:$x=100$是所列方程的解,
$1.5x=150$.
答:绿茶每千克的售价为100元,红茶每千克的售价为150元.
解析
【分析】
这是一道销售类的分式方程应用题，解题可按以下步骤思考：首先回忆销售问题的核心数量关系：销售量=销售总额÷单位售价。第一步设未知数，根据“红茶每千克售价是绿茶的1.5倍”，设绿茶每千克售价为x元，即可直接表示出红茶的售价；第二步找等量关系，题目明确给出“红茶的销售量比绿茶的销售量少7kg”，即等量关系为：绿茶销售量 - 红茶销售量=7kg；第三步将两者的销售量用含x的代数式表示，代入等量关系即可列出分式方程，解方程后注意检验根是否符合方程和实际意义，最后求出红茶售价即可。
【解析】
解：设绿茶每千克的售价为$x$元，则红茶每千克的售价为$1.5x$元。
根据题意列方程，得
$\frac{1\ 500}{x}-\frac{1\ 200}{1.5x}=7$
化简方程得$\frac{1500}{x}-\frac{800}{x}=7$，即$\frac{700}{x}=7$，解得$x=100$。
检验：当$x=100$时，$1.5x≠0$，$x=100$是所列方程的解，且符合实际意义。
则红茶每千克售价为$1.5x=1.5×100=150$（元）。
【答案】
绿茶每千克的售价为100元，红茶每千克的售价为150元。
【知识点】
分式方程的应用；销售问题数量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是准确提取题干中的等量关系建立方程，需注意解分式方程后必须检验根是否满足方程和实际意义，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
这是一道销售类的分式方程应用题，解题可按以下步骤思考：首先回忆销售问题的核心数量关系：销售量=销售总额÷单位售价。第一步设未知数，根据“红茶每千克售价是绿茶的1.5倍”，设绿茶每千克售价为x元，即可直接表示出红茶的售价；第二步找等量关系，题目明确给出“红茶的销售量比绿茶的销售量少7kg”，即等量关系为：绿茶销售量 - 红茶销售量=7kg；第三步将两者的销售量用含x的代数式表示，代入等量关系即可列出分式方程，解方程后注意检验根是否符合方程和实际意义，最后求出红茶售价即可。
【解析】
解：设绿茶每千克的售价为$x$元，则红茶每千克的售价为$1.5x$元。
根据题意列方程，得
$\frac{1\ 500}{x}-\frac{1\ 200}{1.5x}=7$
化简方程得$\frac{1500}{x}-\frac{800}{x}=7$，即$\frac{700}{x}=7$，解得$x=100$。
检验：当$x=100$时，$1.5x≠0$，$x=100$是所列方程的解，且符合实际意义。
则红茶每千克售价为$1.5x=1.5×100=150$（元）。
【答案】
绿茶每千克的售价为100元，红茶每千克的售价为150元。
【知识点】
分式方程的应用；销售问题数量关系
【点评】
本题是分式方程实际应用的基础题型，解题关键是准确提取题干中的等量关系建立方程，需注意解分式方程后必须检验根是否满足方程和实际意义，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
14.小明和小亮参加学校组织的“共读一本书”活动.已知小明每天比小亮多读5页,小明读100页所用的时间与小亮读80页所用的时间相等,则小明、小亮每天各读书多少页?设小亮每天读书x页.
(1)根据题意,用含有x的式子填写下表:
| 名字 | 阅读量/页 | 读书效率/(页/天) | 读书时间/天 |
| ---- | --------- | ---------------- | ----------- |
| 小明 | 100 |
| 小亮 | 80 | x |
(2)列出方程,求出问题的答案.
(1)根据题意,用含有x的式子填写下表:
| 名字 | 阅读量/页 | 读书效率/(页/天) | 读书时间/天 |
| ---- | --------- | ---------------- | ----------- |
| 小明 | 100 |
$x+5$
| $\frac{100}{x+5}$
|| 小亮 | 80 | x |
$\frac{80}{x}$
|(2)列出方程,求出问题的答案.
答案
14.解:(1)
| 名字 | 阅读量/页 | 读书效率/(页/天) | 读书时间/天 |
| ---- | --------- | ---------------- | ----------- |
| 小明 | 100 | $x+5$ | $\frac{100}{x+5}$ |
| 小亮 | 80 | x | $\frac{80}{x}$ |
(2)根据题意列方程,得$\frac{100}{x+5}=\frac{80}{x}$,
解这个方程,得$x=20$.
检验:当$x=20$时,$x(x+5)≠0$,
∴原分式方程的解为$x=20$.
当$x=20$时,$x+5=20+5=25$.
答:小明每天读书25页,小亮每天读书20页.
| 名字 | 阅读量/页 | 读书效率/(页/天) | 读书时间/天 |
| ---- | --------- | ---------------- | ----------- |
| 小明 | 100 | $x+5$ | $\frac{100}{x+5}$ |
| 小亮 | 80 | x | $\frac{80}{x}$ |
(2)根据题意列方程,得$\frac{100}{x+5}=\frac{80}{x}$,
解这个方程,得$x=20$.
检验:当$x=20$时,$x(x+5)≠0$,
∴原分式方程的解为$x=20$.
当$x=20$时,$x+5=20+5=25$.
答:小明每天读书25页,小亮每天读书20页.
解析
【分析】
首先解决表格填空问题：我们依据“读书时间=阅读量÷读书效率”的基本数量关系，结合已知条件“小明每天比小亮多读5页，设小亮每天读书x页”，先得出小明的读书效率，再分别计算两人的读书时间即可完成填表。第二问解题的关键是抓住题干给出的等量关系“小明读100页所用的时间与小亮读80页所用的时间相等”，将第一问得到的两人读书时间列成等式得到分式方程，按照分式方程的求解步骤计算，最后检验解的合理性，即可得到最终答案。
【解析】
(1) 已知小亮每天读书x页，小明每天比小亮多读5页，因此小明的读书效率为$x+5$页/天；
根据“读书时间=阅读量÷读书效率”可得：
小明的读书时间为$100÷(x+5)=\frac{100}{x+5}$天；
小亮的读书时间为$80÷ x=\frac{80}{x}$天。
(2) 根据“小明读100页所用的时间与小亮读80页所用的时间相等”，列方程得：
$\frac{100}{x+5}=\frac{80}{x}$
去分母，两边同时乘以最简公分母$x(x+5)$得：
$100x=80(x+5)$
展开括号：
$100x=80x+400$
移项、合并同类项：
$20x=400$
系数化为1，得：
$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x+5)=20×25=500≠0$，因此$x=20$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则小明每天读书的页数为：$x+5=20+5=25$（页）
【答案】
(1) 依次填：$x+5$；$\frac{100}{x+5}$；$\frac{80}{x}$
(2) 小明每天读书25页，小亮每天读书20页。
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；分式方程的解法
【点评】
本题属于基础的分式方程实际应用题，重点考查工程类问题的数量关系运用，解题时要先找准三个关联量的关系，再抓准题干中的等量关系列方程，解分式方程后注意要完成验根步骤，同时保证解符合实际意义。
【难度系数】
0.7
首先解决表格填空问题：我们依据“读书时间=阅读量÷读书效率”的基本数量关系，结合已知条件“小明每天比小亮多读5页，设小亮每天读书x页”，先得出小明的读书效率，再分别计算两人的读书时间即可完成填表。第二问解题的关键是抓住题干给出的等量关系“小明读100页所用的时间与小亮读80页所用的时间相等”，将第一问得到的两人读书时间列成等式得到分式方程，按照分式方程的求解步骤计算，最后检验解的合理性，即可得到最终答案。
【解析】
(1) 已知小亮每天读书x页，小明每天比小亮多读5页，因此小明的读书效率为$x+5$页/天；
根据“读书时间=阅读量÷读书效率”可得：
小明的读书时间为$100÷(x+5)=\frac{100}{x+5}$天；
小亮的读书时间为$80÷ x=\frac{80}{x}$天。
(2) 根据“小明读100页所用的时间与小亮读80页所用的时间相等”，列方程得：
$\frac{100}{x+5}=\frac{80}{x}$
去分母，两边同时乘以最简公分母$x(x+5)$得：
$100x=80(x+5)$
展开括号：
$100x=80x+400$
移项、合并同类项：
$20x=400$
系数化为1，得：
$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x+5)=20×25=500≠0$，因此$x=20$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则小明每天读书的页数为：$x+5=20+5=25$（页）
【答案】
(1) 依次填：$x+5$；$\frac{100}{x+5}$；$\frac{80}{x}$
(2) 小明每天读书25页，小亮每天读书20页。
【知识点】
列代数式；分式方程的应用；分式方程的解法
【点评】
本题属于基础的分式方程实际应用题，重点考查工程类问题的数量关系运用，解题时要先找准三个关联量的关系，再抓准题干中的等量关系列方程，解分式方程后注意要完成验根步骤，同时保证解符合实际意义。
【难度系数】
0.7
15.关于方程$\frac{3}{x^2 - x} + \frac{6}{1 - x^2} = \frac{7}{x^2 + x}$的根的情况,下面说法正确的是 （
A.0是它的增根
B.－1是它的增根
C.原分式方程无解
D.1是它的根
C
）A.0是它的增根
B.－1是它的增根
C.原分式方程无解
D.1是它的根
答案
15.C
解析
【分析】
要判断分式方程根的情况，需按照分式方程的求解步骤逐步分析：首先对各分母因式分解，确定最简公分母，明确可能的增根（使分母为0的x值）；再去分母将分式方程转化为整式方程求解；最后将整式方程的解代入最简公分母检验，判断是原方程的根还是增根，进而确定原方程根的情况。
【解析】
步骤1：对分母因式分解，确定取值范围
原方程可变形为：
$\frac{3}{x(x-1)} - \frac{6}{(x-1)(x+1)} = \frac{7}{x(x+1)}$
要使分式有意义，则分母不为0，即$x≠0$，$x≠1$，$x≠-1$，最简公分母为$x(x-1)(x+1)$。
步骤2：去分母化为整式方程
方程两边同时乘最简公分母$x(x-1)(x+1)$，得：
$3(x+1) - 6x = 7(x-1)$
步骤3：解整式方程
展开得：$3x + 3 - 6x = 7x - 7$
合并同类项得：$-3x + 3 = 7x - 7$
移项得：$-3x -7x = -7 -3$
合并得：$-10x = -10$
解得：$x=1$
步骤4：检验根的合理性
当$x=1$时，最简公分母$x(x-1)(x+1)=1×0×2=0$，因此$x=1$是增根，不是原方程的根。
综上，原分式方程无实数根。
逐一判断选项：
A. 0不是整式方程的解，不是增根，错误；
B. -1不是整式方程的解，不是增根，错误；
C. 原分式方程无解，正确；
D. 1是增根，不是原方程的根，错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程的增根
【点评】
本题重点考查分式方程的求解及增根的判定，解题的关键是去分母时注意符号变化，解出整式方程的根后必须代入最简公分母检验，若所有解都是增根，则原分式方程无解。
【难度系数】
0.65
要判断分式方程根的情况，需按照分式方程的求解步骤逐步分析：首先对各分母因式分解，确定最简公分母，明确可能的增根（使分母为0的x值）；再去分母将分式方程转化为整式方程求解；最后将整式方程的解代入最简公分母检验，判断是原方程的根还是增根，进而确定原方程根的情况。
【解析】
步骤1：对分母因式分解，确定取值范围
原方程可变形为：
$\frac{3}{x(x-1)} - \frac{6}{(x-1)(x+1)} = \frac{7}{x(x+1)}$
要使分式有意义，则分母不为0，即$x≠0$，$x≠1$，$x≠-1$，最简公分母为$x(x-1)(x+1)$。
步骤2：去分母化为整式方程
方程两边同时乘最简公分母$x(x-1)(x+1)$，得：
$3(x+1) - 6x = 7(x-1)$
步骤3：解整式方程
展开得：$3x + 3 - 6x = 7x - 7$
合并同类项得：$-3x + 3 = 7x - 7$
移项得：$-3x -7x = -7 -3$
合并得：$-10x = -10$
解得：$x=1$
步骤4：检验根的合理性
当$x=1$时，最简公分母$x(x-1)(x+1)=1×0×2=0$，因此$x=1$是增根，不是原方程的根。
综上，原分式方程无实数根。
逐一判断选项：
A. 0不是整式方程的解，不是增根，错误；
B. -1不是整式方程的解，不是增根，错误；
C. 原分式方程无解，正确；
D. 1是增根，不是原方程的根，错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的解法
2. 分式方程的增根
【点评】
本题重点考查分式方程的求解及增根的判定，解题的关键是去分母时注意符号变化，解出整式方程的根后必须代入最简公分母检验，若所有解都是增根，则原分式方程无解。
【难度系数】
0.65
