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16. [新定义]定义新运算“◎”：$a◎b=\begin{cases}\dfrac{3}{a-b} & (a＞b), \\ \dfrac{b}{b-a} & (a＜b).\end{cases}$ 如果$2◎x=3$，那么$x$的值为 （ ）
A.1或2
B.1或3
C.2
D.3
A.1或2
B.1或3
C.2
D.3
答案
16.B
解析
【分析】
这是一道新定义运算题，解题需要先明确运算规则的适用条件：运算结果由参与运算的两个数的大小关系决定，因此需分情况讨论。本题中“◎”左边的数是2，右边的数是x，因此分2＞x、2＜x两种情况，分别代入对应运算公式列方程求解，解出结果后要验证是否符合对应情况的大小前提，同时要注意分母不能为0，排除x=2的情况。
【解析】
根据新运算的定义，分两种情况讨论：
1. 当$2＞x$即$x＜2$时，运算规则适用$a◎b=\dfrac{3}{a-b}$，代入得：
$\dfrac{3}{2-x}=3$
方程两边同乘$(2-x)$得：$3=3(2-x)$
展开得：$3=6-3x$
移项、系数化为1得：$x=1$
验证：$x=1＜2$，符合前提条件，是有效解。
2. 当$2＜x$即$x＞2$时，运算规则适用$a◎b=\dfrac{b}{b-a}$，代入得：
$\dfrac{x}{x-2}=3$
方程两边同乘$(x-2)$得：$x=3(x-2)$
展开得：$x=3x-6$
移项、系数化为1得：$x=3$
验证：$x=3＞2$，符合前提条件，是有效解。
当$x=2$时，分母为0，运算无意义，舍去。
综上，$x$的值为1或3。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、分式方程求解、分类讨论思想
【点评】
本题主要考查对新定义运算的理解和分式方程的解法，解题的关键是根据新运算的适用条件合理分类讨论，求解后要注意验证解是否满足前提条件，同时不要忽略分母不为0的隐含限制。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义运算题，解题需要先明确运算规则的适用条件：运算结果由参与运算的两个数的大小关系决定，因此需分情况讨论。本题中“◎”左边的数是2，右边的数是x，因此分2＞x、2＜x两种情况，分别代入对应运算公式列方程求解，解出结果后要验证是否符合对应情况的大小前提，同时要注意分母不能为0，排除x=2的情况。
【解析】
根据新运算的定义，分两种情况讨论：
1. 当$2＞x$即$x＜2$时，运算规则适用$a◎b=\dfrac{3}{a-b}$，代入得：
$\dfrac{3}{2-x}=3$
方程两边同乘$(2-x)$得：$3=3(2-x)$
展开得：$3=6-3x$
移项、系数化为1得：$x=1$
验证：$x=1＜2$，符合前提条件，是有效解。
2. 当$2＜x$即$x＞2$时，运算规则适用$a◎b=\dfrac{b}{b-a}$，代入得：
$\dfrac{x}{x-2}=3$
方程两边同乘$(x-2)$得：$x=3(x-2)$
展开得：$x=3x-6$
移项、系数化为1得：$x=3$
验证：$x=3＞2$，符合前提条件，是有效解。
当$x=2$时，分母为0，运算无意义，舍去。
综上，$x$的值为1或3。
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、分式方程求解、分类讨论思想
【点评】
本题主要考查对新定义运算的理解和分式方程的解法，解题的关键是根据新运算的适用条件合理分类讨论，求解后要注意验证解是否满足前提条件，同时不要忽略分母不为0的隐含限制。
【难度系数】
0.7
17.若关于$x$的不等式组$\begin{cases}\dfrac{2x+3}{3}≥ x-1,\\4x-6＞a-4\end{cases}$有且只有两个奇数解，且关于$y$的分式方程$\dfrac{3y}{y-2}-\dfrac{a-10}{2-y}=1$的解为非负整数，则符合条件的所有整数$a$的和为 （ ）
A.$12$
B.$16$
C.$18$
D.$20$
A.$12$
B.$16$
C.$18$
D.$20$
答案
17.B
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步先解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解集，得到公共解集后，根据“有且只有两个奇数解”的条件确定参数a的初步取值范围；第二步解分式方程，注意分母不为0排除增根，结合解为非负整数的条件，从a的初步范围中筛选出符合要求的整数a，最后计算所有符合条件的a的和即可。
【解析】
1. 解不等式组：
解不等式$\dfrac{2x+3}{3}≥ x-1$：
两边同乘3得$2x+3≥3x-3$，
移项合并得$-x≥-6$，解得$x≤6$。
解不等式$4x-6＞a-4$：
移项得$4x＞a+2$，解得$x＞\dfrac{a+2}{4}$。
因此不等式组的解集为$\dfrac{a+2}{4}＜x≤6$。
已知不等式组有且只有两个奇数解，小于等于6的奇数为5、3、1、…，则两个奇数解为5和3，因此可得：
$1≤\dfrac{a+2}{4}＜3$，
不等式三边同乘4得$4≤a+2＜12$，
解得$2≤a＜10$。
2. 解分式方程$\dfrac{3y}{y-2}-\dfrac{a-10}{2-y}=1$：
先将方程变形为$\dfrac{3y}{y-2}+\dfrac{a-10}{y-2}=1$，
两边同乘最简公分母$y-2$（注意$y≠2$）得：
$3y+a-10=y-2$，
移项合并得$2y=8-a$，解得$y=\dfrac{8-a}{2}$。
已知方程的解为非负整数，因此：
① $y≥0$，即$\dfrac{8-a}{2}≥0$，解得$a≤8$；
② $y≠2$，即$\dfrac{8-a}{2}≠2$，解得$a≠4$；
③ $\dfrac{8-a}{2}$为整数，即$8-a$是偶数，因此a为偶数。
3. 结合上述两个范围$2≤a＜10$、$a≤8$、$a≠4$、a为偶数，可得符合条件的整数a为2、6、8，它们的和为$2+6+8=16$。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，不等式组的整数解
【点评】
本题是不等式组与分式方程的综合题，解题时需注意两个易错点：一是根据奇数解的个数准确确定参数的边界范围，二是解分式方程时要排除增根（分母不为0）的情况，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题分两步进行：第一步先解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解集，得到公共解集后，根据“有且只有两个奇数解”的条件确定参数a的初步取值范围；第二步解分式方程，注意分母不为0排除增根，结合解为非负整数的条件，从a的初步范围中筛选出符合要求的整数a，最后计算所有符合条件的a的和即可。
【解析】
1. 解不等式组：
解不等式$\dfrac{2x+3}{3}≥ x-1$：
两边同乘3得$2x+3≥3x-3$，
移项合并得$-x≥-6$，解得$x≤6$。
解不等式$4x-6＞a-4$：
移项得$4x＞a+2$，解得$x＞\dfrac{a+2}{4}$。
因此不等式组的解集为$\dfrac{a+2}{4}＜x≤6$。
已知不等式组有且只有两个奇数解，小于等于6的奇数为5、3、1、…，则两个奇数解为5和3，因此可得：
$1≤\dfrac{a+2}{4}＜3$，
不等式三边同乘4得$4≤a+2＜12$，
解得$2≤a＜10$。
2. 解分式方程$\dfrac{3y}{y-2}-\dfrac{a-10}{2-y}=1$：
先将方程变形为$\dfrac{3y}{y-2}+\dfrac{a-10}{y-2}=1$，
两边同乘最简公分母$y-2$（注意$y≠2$）得：
$3y+a-10=y-2$，
移项合并得$2y=8-a$，解得$y=\dfrac{8-a}{2}$。
已知方程的解为非负整数，因此：
① $y≥0$，即$\dfrac{8-a}{2}≥0$，解得$a≤8$；
② $y≠2$，即$\dfrac{8-a}{2}≠2$，解得$a≠4$；
③ $\dfrac{8-a}{2}$为整数，即$8-a$是偶数，因此a为偶数。
3. 结合上述两个范围$2≤a＜10$、$a≤8$、$a≠4$、a为偶数，可得符合条件的整数a为2、6、8，它们的和为$2+6+8=16$。
【答案】
B
【知识点】
一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，不等式组的整数解
【点评】
本题是不等式组与分式方程的综合题，解题时需注意两个易错点：一是根据奇数解的个数准确确定参数的边界范围，二是解分式方程时要排除增根（分母不为0）的情况，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
18.如图,这是一个电脑运算程序图,当输入不相等的a,b后,按照程序图运行,会输出一个结果.当$a=5,b=x$时,输出的结果为2,则x的值为________.
答案
18.$\frac{5}{2}$或10
解析
【分析】
首先明确程序的运行逻辑：输入a、b后先判断a和b的大小，根据大小关系选择对应的表达式计算M的值。本题中a=5，b=x且a≠b，因此需要分两种情况讨论：①当5＞x时，代入左侧$M=\frac{a}{a-b}$列方程求解；②当5＜x时，代入右侧$M=\frac{b}{b-a}$列方程求解，求解后需检验解是否满足对应前提、分母不为0，排除不符合的解。
【解析】
解：已知输入a=5，b=x，且a≠b，分两种情况讨论：
1. 当$a＞b$即$5＞x$时，代入$M=\frac{a}{a-b}$，结合输出$M=2$得：
$\frac{5}{5-x}=2$
方程两边同乘$(5-x)$去分母得：$5=2(5-x)$
展开计算：$5=10-2x$
移项整理得：$2x=5$
解得：$x=\frac{5}{2}$
检验：当$x=\frac{5}{2}$时，分母$5-x=\frac{5}{2}≠0$，且满足$5＞x$，该解有效。
2. 当$a＜b$即$5＜x$时，代入$M=\frac{b}{b-a}$，结合输出$M=2$得：
$\frac{x}{x-5}=2$
方程两边同乘$(x-5)$去分母得：$x=2(x-5)$
展开计算：$x=2x-10$
移项整理得：$x=10$
检验：当$x=10$时，分母$x-5=5≠0$，且满足$5＜x$，该解有效。
综上，x的值为$\frac{5}{2}$或10。
【答案】
$\frac{5}{2}$或10
【知识点】
程序框图应用，分式方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查根据程序逻辑分类列方程求解的能力，解题时需注意不要漏情况，解完分式方程后要检验分母不为零，同时验证解是否符合对应分类的前提条件，避免出现增根或不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
首先明确程序的运行逻辑：输入a、b后先判断a和b的大小，根据大小关系选择对应的表达式计算M的值。本题中a=5，b=x且a≠b，因此需要分两种情况讨论：①当5＞x时，代入左侧$M=\frac{a}{a-b}$列方程求解；②当5＜x时，代入右侧$M=\frac{b}{b-a}$列方程求解，求解后需检验解是否满足对应前提、分母不为0，排除不符合的解。
【解析】
解：已知输入a=5，b=x，且a≠b，分两种情况讨论：
1. 当$a＞b$即$5＞x$时，代入$M=\frac{a}{a-b}$，结合输出$M=2$得：
$\frac{5}{5-x}=2$
方程两边同乘$(5-x)$去分母得：$5=2(5-x)$
展开计算：$5=10-2x$
移项整理得：$2x=5$
解得：$x=\frac{5}{2}$
检验：当$x=\frac{5}{2}$时，分母$5-x=\frac{5}{2}≠0$，且满足$5＞x$，该解有效。
2. 当$a＜b$即$5＜x$时，代入$M=\frac{b}{b-a}$，结合输出$M=2$得：
$\frac{x}{x-5}=2$
方程两边同乘$(x-5)$去分母得：$x=2(x-5)$
展开计算：$x=2x-10$
移项整理得：$x=10$
检验：当$x=10$时，分母$x-5=5≠0$，且满足$5＜x$，该解有效。
综上，x的值为$\frac{5}{2}$或10。
【答案】
$\frac{5}{2}$或10
【知识点】
程序框图应用，分式方程求解，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查根据程序逻辑分类列方程求解的能力，解题时需注意不要漏情况，解完分式方程后要检验分母不为零，同时验证解是否符合对应分类的前提条件，避免出现增根或不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
19.某工程队承接了60万平方米的乡村筑路工程，由于情况有变……设原计划每天筑路的面积为$ x $万平方米，列方程为$\frac{60}{(1 - 20\%)x} - \frac{60}{x} = 30$。
(1)根据方程，知省略的部分是 （
A. 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务
B. 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果推迟30天完成了这一任务
C. 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果推迟30天完成了这一任务
D. 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务
(2)原计划完成这项筑路工程需要多少天？
(1)根据方程，知省略的部分是 （
C
）A. 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务
B. 实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果推迟30天完成了这一任务
C. 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果推迟30天完成了这一任务
D. 实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务
(2)原计划完成这项筑路工程需要多少天？
答案
19.解:(1)
∵所列方程为$\frac{60}{(1-20\%)x}-\frac{60}{x}=30$,且$x$表示原计划每天筑路的面积,
∴$(1-20\%)x$表示实际每天筑路的面积,
∴省略的部分是实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果推迟30天完成了这一任务.
故选C.
(2)$\frac{60}{(1-20\%)x}-\frac{60}{x}=30$,解得$x=0.5$,
经检验,$x=0.5$是所列方程的解,且符合题意,
∴原计划每天筑路的面积为0.5万平方米,
$60÷0.5=120$(天),
∴原计划完成这项筑路工程需要120天.
∵所列方程为$\frac{60}{(1-20\%)x}-\frac{60}{x}=30$,且$x$表示原计划每天筑路的面积,
∴$(1-20\%)x$表示实际每天筑路的面积,
∴省略的部分是实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果推迟30天完成了这一任务.
故选C.
(2)$\frac{60}{(1-20\%)x}-\frac{60}{x}=30$,解得$x=0.5$,
经检验,$x=0.5$是所列方程的解,且符合题意,
∴原计划每天筑路的面积为0.5万平方米,
$60÷0.5=120$(天),
∴原计划完成这项筑路工程需要120天.
解析
【分析】
（1）首先明确x是原计划每天筑路面积，先分析式子中的$(1-20\%)x$：1减20%说明实际每天的效率是原计划的80%，即比原计划降低了20%；再看等号左边，$\frac{60}{(1-20\%)x}$是实际工作时间，$\frac{60}{x}$是原计划工作时间，实际时间减计划时间等于30天，说明实际用时比计划多30天，也就是推迟30天完成，对应选项即可。
（2）先解给出的分式方程，求出原计划每天筑路面积x，注意分式方程要检验根是否符合题意，再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，用总工程量60万平方米除以x，就能得到原计划的工作天数。
【解析】
(1) 已知x表示原计划每天筑路的面积：
① $(1-20\%)x$代表实际每天筑路面积，说明实际工作效率是原计划的80%，即比原计划降低了20%；
② $\frac{60}{(1-20\%)x}$是实际完成工程的天数，$\frac{60}{x}$是原计划完成工程的天数，$\frac{60}{(1-20\%)x} - \frac{60}{x}=30$说明实际用时比原计划多30天，即推迟30天完成任务。
综上省略的部分对应选项C。
(2) 解分式方程$\frac{60}{(1-20\%)x} - \frac{60}{x}=30$：
先化简得$(1-20\%)x=0.8x$，方程变为$\frac{60}{0.8x} - \frac{60}{x}=30$
通分计算左边：$\frac{75}{x} - \frac{60}{x}=\frac{15}{x}$，即$\frac{15}{x}=30$
解得$x=0.5$
检验：当$x=0.5$时，$0.8x=0.4≠0$，所以$x=0.5$是原方程的解，且符合实际意义。
原计划完成工程的天数 = 总工程量÷原计划每天筑路面积 = $60÷0.5=120$（天）
【答案】
(1) C
(2) 120天
【知识点】
工程问题、分式方程的应用、分式方程的解法
【点评】
本题结合工程场景考察分式方程的相关知识，解题的核心是掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，同时要注意解分式方程后必须验根，确保根符合实际题意。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确x是原计划每天筑路面积，先分析式子中的$(1-20\%)x$：1减20%说明实际每天的效率是原计划的80%，即比原计划降低了20%；再看等号左边，$\frac{60}{(1-20\%)x}$是实际工作时间，$\frac{60}{x}$是原计划工作时间，实际时间减计划时间等于30天，说明实际用时比计划多30天，也就是推迟30天完成，对应选项即可。
（2）先解给出的分式方程，求出原计划每天筑路面积x，注意分式方程要检验根是否符合题意，再根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，用总工程量60万平方米除以x，就能得到原计划的工作天数。
【解析】
(1) 已知x表示原计划每天筑路的面积：
① $(1-20\%)x$代表实际每天筑路面积，说明实际工作效率是原计划的80%，即比原计划降低了20%；
② $\frac{60}{(1-20\%)x}$是实际完成工程的天数，$\frac{60}{x}$是原计划完成工程的天数，$\frac{60}{(1-20\%)x} - \frac{60}{x}=30$说明实际用时比原计划多30天，即推迟30天完成任务。
综上省略的部分对应选项C。
(2) 解分式方程$\frac{60}{(1-20\%)x} - \frac{60}{x}=30$：
先化简得$(1-20\%)x=0.8x$，方程变为$\frac{60}{0.8x} - \frac{60}{x}=30$
通分计算左边：$\frac{75}{x} - \frac{60}{x}=\frac{15}{x}$，即$\frac{15}{x}=30$
解得$x=0.5$
检验：当$x=0.5$时，$0.8x=0.4≠0$，所以$x=0.5$是原方程的解，且符合实际意义。
原计划完成工程的天数 = 总工程量÷原计划每天筑路面积 = $60÷0.5=120$（天）
【答案】
(1) C
(2) 120天
【知识点】
工程问题、分式方程的应用、分式方程的解法
【点评】
本题结合工程场景考察分式方程的相关知识，解题的核心是掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，同时要注意解分式方程后必须验根，确保根符合实际题意。
【难度系数】
0.7
