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20.嘉嘉和淇淇计划在网店购买一些签字笔，通过对比他们发现同样的签字笔第二家网店每支的价格比第一家网店贵2元.
(1)嘉嘉添加了一个条件:用20元在第一家网店购买签字笔的数量与用25元在第二家网店购买签字笔的数量相等(钱无剩余).
①根据嘉嘉添加的条件，嘉嘉和淇淇分别列出不完整的方程如下，请补充完整.
嘉嘉:设________，所列方程为$\dfrac{20}{x}=\dfrac{25}{(\quad\quad)}$；
淇淇:设可购买的签字笔的数量为$y$支，所列方程为$\dfrac{25}{y}-\dfrac{20}{y}=\_\_\_\_\_\_$.
②请选择①中所列的一个方程分析嘉嘉添加的条件是否正确.
(2)若淇淇在第二家网店领取了一张“满50减10”的优惠券，用优惠券后花$a(a≥50)$元在两家网店购买的签字笔的数量相等，用含$a$的式子表示第一家网店每支签字笔的售价.
(1)嘉嘉添加了一个条件:用20元在第一家网店购买签字笔的数量与用25元在第二家网店购买签字笔的数量相等(钱无剩余).
①根据嘉嘉添加的条件，嘉嘉和淇淇分别列出不完整的方程如下，请补充完整.
嘉嘉:设________，所列方程为$\dfrac{20}{x}=\dfrac{25}{(\quad\quad)}$；
淇淇:设可购买的签字笔的数量为$y$支，所列方程为$\dfrac{25}{y}-\dfrac{20}{y}=\_\_\_\_\_\_$.
②请选择①中所列的一个方程分析嘉嘉添加的条件是否正确.
(2)若淇淇在第二家网店领取了一张“满50减10”的优惠券，用优惠券后花$a(a≥50)$元在两家网店购买的签字笔的数量相等，用含$a$的式子表示第一家网店每支签字笔的售价.
答案
20.解:(1)①嘉嘉:设第一家网店每支签字笔的售价为$x$元,则第二家网店每支签字笔的售价为$(x+2)$元.
∵用20元在第一家网店购买签字笔的数量与用25元在第二家网店购买签字笔的数量相等,
∴所列方程为$\frac{20}{x}=\frac{25}{x+2}$.
淇淇:设可购买的签字笔的数量为$y$支.
∵第二家网店每支的价格比第一家网店贵2元,
∴所列方程为$\frac{25}{y}-\frac{20}{y}=2$.
故答案为第一家网店每支签字笔的售价为$x$元,$x+2$,2.
②选择嘉嘉所列的方程:根据题意得$\frac{20}{x}=\frac{25}{x+2}$,解得$x=8$.
当$x=8$时,$\frac{20}{x}=\frac{20}{8}=2.5$,$2.5$不是整数,
∴$x=8$不符合题意,即嘉嘉添加的条件不正确.
选择淇淇所列的方程:根据题意得$\frac{25}{y}-\frac{20}{y}=2$,解得$y=2.5$.
∵$2.5$不是整数,
∴$y=2.5$不符合题意,即嘉嘉添加的条件不正确.
(2)设第一家网店每支签字笔的售价为$z$元,则第二家网店每支签字笔的售价为$(z+2)$元,根据题意得
$\frac{a}{z}=\frac{a+10}{z+2}$,解得$z=\frac{a}{5}$,
经检验,$z=\frac{a}{5}$是所列方程的解,且符合题意.
∴第一家网店每支签字笔的售价为$\frac{a}{5}$元.
∵用20元在第一家网店购买签字笔的数量与用25元在第二家网店购买签字笔的数量相等,
∴所列方程为$\frac{20}{x}=\frac{25}{x+2}$.
淇淇:设可购买的签字笔的数量为$y$支.
∵第二家网店每支的价格比第一家网店贵2元,
∴所列方程为$\frac{25}{y}-\frac{20}{y}=2$.
故答案为第一家网店每支签字笔的售价为$x$元,$x+2$,2.
②选择嘉嘉所列的方程:根据题意得$\frac{20}{x}=\frac{25}{x+2}$,解得$x=8$.
当$x=8$时,$\frac{20}{x}=\frac{20}{8}=2.5$,$2.5$不是整数,
∴$x=8$不符合题意,即嘉嘉添加的条件不正确.
选择淇淇所列的方程:根据题意得$\frac{25}{y}-\frac{20}{y}=2$,解得$y=2.5$.
∵$2.5$不是整数,
∴$y=2.5$不符合题意,即嘉嘉添加的条件不正确.
(2)设第一家网店每支签字笔的售价为$z$元,则第二家网店每支签字笔的售价为$(z+2)$元,根据题意得
$\frac{a}{z}=\frac{a+10}{z+2}$,解得$z=\frac{a}{5}$,
经检验,$z=\frac{a}{5}$是所列方程的解,且符合题意.
∴第一家网店每支签字笔的售价为$\frac{a}{5}$元.
解析
【分析】
（1）①本题有两种设元思路：嘉嘉以单价为设元对象，等量关系为“20元在第一家店购买的数量=25元在第二家店购买的数量”，结合“第二家单价比第一家贵2元”即可补全方程；淇淇以购买数量为设元对象，等量关系为“第二家单价-第一家单价=2元”，结合“单价=总价÷数量”即可补全方程。
（1）②解出分式方程的根后，需结合实际意义检验：签字笔的数量必须是正整数，若解不符合该要求，则说明嘉嘉添加的条件不合理。
（2）首先明确满减规则：“满50减10”说明花a元（a≥50）在第二家购买时，商品原价总额为(a+10)元，再根据“两家购买的签字笔数量相等”列分式方程，求解后验根即可。
【解析】
(1)①嘉嘉设第一家网店每支签字笔的售价为$x$元，因为第二家每支比第一家贵2元，所以第二家单价为$(x+2)$元，根据数量相等列方程得$\dfrac{20}{x}=\dfrac{25}{x+2}$；
淇淇设可购买的签字笔数量为$y$支，第二家单价为$\dfrac{25}{y}$元，第一家单价为$\dfrac{20}{y}$元，根据单价差为2元，得$\dfrac{25}{y}-\dfrac{20}{y}=2$。
②示例1：选择嘉嘉所列方程：
解方程$\dfrac{20}{x}=\dfrac{25}{x+2}$，交叉相乘得$20(x+2)=25x$，展开得$20x+40=25x$，解得$x=8$。
检验：当$x=8$时，购买数量为$\dfrac{20}{8}=2.5$支，签字笔数量应为正整数，不符合实际意义，故嘉嘉添加的条件不正确。
示例2：选择淇淇所列方程：
解方程$\dfrac{25}{y}-\dfrac{20}{y}=2$，合并得$\dfrac{5}{y}=2$，解得$y=2.5$。
检验：签字笔数量应为正整数，$y=2.5$不符合实际意义，故嘉嘉添加的条件不正确。
(2)设第一家网店每支签字笔的售价为$z$元，则第二家网店每支售价为$(z+2)$元。
第二家使用优惠券后花费$a$元，商品原价总额为$(a+10)$元，根据两家购买数量相等列方程：
$\dfrac{a}{z}=\dfrac{a+10}{z+2}$
交叉相乘得$a(z+2)=z(a+10)$，展开化简得$2a=10z$，解得$z=\dfrac{a}{5}$。
检验：当$z=\dfrac{a}{5}$时，$z(z+2)≠0$，所以$z=\dfrac{a}{5}$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1)①第一家网店每支签字笔的售价为$x$元；$x+2$；$2$
②嘉嘉添加的条件不正确
(2)第一家网店每支签字笔的售价为$\dfrac{a}{5}$元
【知识点】
1.分式方程的实际应用
2.分式方程的求解
3.分式方程的验根
【点评】
本题结合购物消费场景考查分式方程的应用，解题时需根据设元角度的不同找准等量关系，易错点有两个：一是使用满减优惠时需正确计算商品原价总额，二是解完分式方程后既要检验根是否满足方程，还要检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.65
（1）①本题有两种设元思路：嘉嘉以单价为设元对象，等量关系为“20元在第一家店购买的数量=25元在第二家店购买的数量”，结合“第二家单价比第一家贵2元”即可补全方程；淇淇以购买数量为设元对象，等量关系为“第二家单价-第一家单价=2元”，结合“单价=总价÷数量”即可补全方程。
（1）②解出分式方程的根后，需结合实际意义检验：签字笔的数量必须是正整数，若解不符合该要求，则说明嘉嘉添加的条件不合理。
（2）首先明确满减规则：“满50减10”说明花a元（a≥50）在第二家购买时，商品原价总额为(a+10)元，再根据“两家购买的签字笔数量相等”列分式方程，求解后验根即可。
【解析】
(1)①嘉嘉设第一家网店每支签字笔的售价为$x$元，因为第二家每支比第一家贵2元，所以第二家单价为$(x+2)$元，根据数量相等列方程得$\dfrac{20}{x}=\dfrac{25}{x+2}$；
淇淇设可购买的签字笔数量为$y$支，第二家单价为$\dfrac{25}{y}$元，第一家单价为$\dfrac{20}{y}$元，根据单价差为2元，得$\dfrac{25}{y}-\dfrac{20}{y}=2$。
②示例1：选择嘉嘉所列方程：
解方程$\dfrac{20}{x}=\dfrac{25}{x+2}$，交叉相乘得$20(x+2)=25x$，展开得$20x+40=25x$，解得$x=8$。
检验：当$x=8$时，购买数量为$\dfrac{20}{8}=2.5$支，签字笔数量应为正整数，不符合实际意义，故嘉嘉添加的条件不正确。
示例2：选择淇淇所列方程：
解方程$\dfrac{25}{y}-\dfrac{20}{y}=2$，合并得$\dfrac{5}{y}=2$，解得$y=2.5$。
检验：签字笔数量应为正整数，$y=2.5$不符合实际意义，故嘉嘉添加的条件不正确。
(2)设第一家网店每支签字笔的售价为$z$元，则第二家网店每支售价为$(z+2)$元。
第二家使用优惠券后花费$a$元，商品原价总额为$(a+10)$元，根据两家购买数量相等列方程：
$\dfrac{a}{z}=\dfrac{a+10}{z+2}$
交叉相乘得$a(z+2)=z(a+10)$，展开化简得$2a=10z$，解得$z=\dfrac{a}{5}$。
检验：当$z=\dfrac{a}{5}$时，$z(z+2)≠0$，所以$z=\dfrac{a}{5}$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1)①第一家网店每支签字笔的售价为$x$元；$x+2$；$2$
②嘉嘉添加的条件不正确
(2)第一家网店每支签字笔的售价为$\dfrac{a}{5}$元
【知识点】
1.分式方程的实际应用
2.分式方程的求解
3.分式方程的验根
【点评】
本题结合购物消费场景考查分式方程的应用，解题时需根据设元角度的不同找准等量关系，易错点有两个：一是使用满减优惠时需正确计算商品原价总额，二是解完分式方程后既要检验根是否满足方程，还要检验是否符合实际意义。
【难度系数】
0.65
21. 阅读下列材料：
$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}),\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}),\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}),\dots,\frac{1}{97×99}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{97}-\frac{1}{99}).$
(1)$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\dots+\frac{1}{97×99}$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+\_\_\_\_\_\_)=\_\_\_\_\_\_;$
(2)计算：
$\frac{1}{x(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+6)}+\dots+\frac{1}{(x+2024)(x+2026)};$
(3)解方程：$\frac{1}{3x}+\frac{1}{x(x-3)}+\frac{1}{(x-3)(x-6)}=1.$
$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}),\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}),\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}),\dots,\frac{1}{97×99}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{97}-\frac{1}{99}).$
(1)$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\dots+\frac{1}{97×99}$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+\_\_\_\_\_\_)=\_\_\_\_\_\_;$
(2)计算：
$\frac{1}{x(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+6)}+\dots+\frac{1}{(x+2024)(x+2026)};$
(3)解方程：$\frac{1}{3x}+\frac{1}{x(x-3)}+\frac{1}{(x-3)(x-6)}=1.$
答案
21.解:(1)
∵$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}),\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}),\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}),\dots,\frac{1}{97×99}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{97}-\frac{1}{99})$,
∴$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\dots+\frac{1}{97×99}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{97}-\frac{1}{99})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{99})=\frac{1}{2}×\frac{98}{99}=\frac{49}{99}$.
故答案为$\frac{1}{97}-\frac{1}{99}$,$\frac{49}{99}$.
(2)原式$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+6}+\dots+\frac{1}{x+2\ 024}-\frac{1}{x+2\ 026})=\frac{1}{2}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2\ 026})=\frac{1}{2}×\frac{2\ 026}{x(x+2\ 026)}=\frac{1\ 013}{x(x+2\ 026)}$.
(3)$\frac{1}{3x}+\frac{1}{x(x-3)}+\frac{1}{(x-3)(x-6)}=1$,
$\frac{1}{3x}+\frac{1}{3}×(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x-6}-\frac{1}{x-3})=1$,
$\frac{1}{3x}-\frac{1}{3x}+\frac{1}{3(x-6)}=1$,
即$\frac{1}{3(x-6)}=1$,
解得$x=\frac{19}{3}$,
经检验,$x=\frac{19}{3}$是原方程的解,
∴原方程的解为$x=\frac{19}{3}$.
∵$\frac{1}{1×3}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}),\frac{1}{3×5}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}),\frac{1}{5×7}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}),\dots,\frac{1}{97×99}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{97}-\frac{1}{99})$,
∴$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\dots+\frac{1}{97×99}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{97}-\frac{1}{99})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{99})=\frac{1}{2}×\frac{98}{99}=\frac{49}{99}$.
故答案为$\frac{1}{97}-\frac{1}{99}$,$\frac{49}{99}$.
(2)原式$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+6}+\dots+\frac{1}{x+2\ 024}-\frac{1}{x+2\ 026})=\frac{1}{2}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2\ 026})=\frac{1}{2}×\frac{2\ 026}{x(x+2\ 026)}=\frac{1\ 013}{x(x+2\ 026)}$.
(3)$\frac{1}{3x}+\frac{1}{x(x-3)}+\frac{1}{(x-3)(x-6)}=1$,
$\frac{1}{3x}+\frac{1}{3}×(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x-6}-\frac{1}{x-3})=1$,
$\frac{1}{3x}-\frac{1}{3x}+\frac{1}{3(x-6)}=1$,
即$\frac{1}{3(x-6)}=1$,
解得$x=\frac{19}{3}$,
经检验,$x=\frac{19}{3}$是原方程的解,
∴原方程的解为$x=\frac{19}{3}$.
解析
【分析】
本题考查裂项相消法的应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据材料给出的裂项规律，所有分式拆分后相加，中间互为相反数的项会相互抵消，最后只剩首项1和末项$-\frac{1}{99}$，代入计算即可得到结果。
2. 第(2)问：类比第(1)问的规律，分母是相差2的两个整式的乘积，因此每个分式都可以拆分为$\frac{1}{2}$乘两个分式的差，拆分后中间项抵消，再对剩余的首尾项通分化简即可。
3. 第(3)问：观察后两个分式的分母是相差3的两个整式的乘积，先将这两个分式裂项（注意提取系数$\frac{1}{3}$），拆分后抵消中间项，化简得到简易分式方程，求解后记得检验是否为增根。
【解析】
(1) 根据材料给出的裂项规律：
$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\dots+\frac{1}{97×99}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{97}-\frac{1}{99})$
中间项全部抵消后得：$\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{99})=\frac{1}{2}×\frac{98}{99}=\frac{49}{99}$。
(2) 按照裂项规律拆分每一项：
原式$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+6}+\dots+\frac{1}{x+2024}-\frac{1}{x+2026})$
中间项抵消后化简：
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2026})=\frac{1}{2}×\frac{2026}{x(x+2026)}=\frac{1013}{x(x+2026)}$
(3) 先对后两项裂项（分母差为3，提取系数$\frac{1}{3}$）：
$\frac{1}{3x}+\frac{1}{3}×(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x-6}-\frac{1}{x-3})=1$
合并抵消后得：
$\frac{1}{3x}-\frac{1}{3x}+\frac{1}{3(x-6)}=1$，即$\frac{1}{3(x-6)}=1$
解得$x=\frac{19}{3}$，经检验，$x=\frac{19}{3}$是原方程的解。
【答案】
(1) $\frac{1}{97}-\frac{1}{99}$，$\frac{49}{99}$
(2) $\frac{1013}{x(x+2026)}$
(3) $x=\frac{19}{3}$
【知识点】
裂项相消法，分式化简，分式方程解法
【点评】
本题是典型的规律迁移类题型，需要先从给出的示例中总结裂项的通用规律，再将规律灵活应用到含字母的分式运算和分式方程求解中，解题时要注意裂项的系数和分母的差值一致，解分式方程不要忘记验根。
【难度系数】
0.6
本题考查裂项相消法的应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据材料给出的裂项规律，所有分式拆分后相加，中间互为相反数的项会相互抵消，最后只剩首项1和末项$-\frac{1}{99}$，代入计算即可得到结果。
2. 第(2)问：类比第(1)问的规律，分母是相差2的两个整式的乘积，因此每个分式都可以拆分为$\frac{1}{2}$乘两个分式的差，拆分后中间项抵消，再对剩余的首尾项通分化简即可。
3. 第(3)问：观察后两个分式的分母是相差3的两个整式的乘积，先将这两个分式裂项（注意提取系数$\frac{1}{3}$），拆分后抵消中间项，化简得到简易分式方程，求解后记得检验是否为增根。
【解析】
(1) 根据材料给出的裂项规律：
$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+\dots+\frac{1}{97×99}=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots+\frac{1}{97}-\frac{1}{99})$
中间项全部抵消后得：$\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{99})=\frac{1}{2}×\frac{98}{99}=\frac{49}{99}$。
(2) 按照裂项规律拆分每一项：
原式$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4}+\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+6}+\dots+\frac{1}{x+2024}-\frac{1}{x+2026})$
中间项抵消后化简：
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2026})=\frac{1}{2}×\frac{2026}{x(x+2026)}=\frac{1013}{x(x+2026)}$
(3) 先对后两项裂项（分母差为3，提取系数$\frac{1}{3}$）：
$\frac{1}{3x}+\frac{1}{3}×(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x-6}-\frac{1}{x-3})=1$
合并抵消后得：
$\frac{1}{3x}-\frac{1}{3x}+\frac{1}{3(x-6)}=1$，即$\frac{1}{3(x-6)}=1$
解得$x=\frac{19}{3}$，经检验，$x=\frac{19}{3}$是原方程的解。
【答案】
(1) $\frac{1}{97}-\frac{1}{99}$，$\frac{49}{99}$
(2) $\frac{1013}{x(x+2026)}$
(3) $x=\frac{19}{3}$
【知识点】
裂项相消法，分式化简，分式方程解法
【点评】
本题是典型的规律迁移类题型，需要先从给出的示例中总结裂项的通用规律，再将规律灵活应用到含字母的分式运算和分式方程求解中，解题时要注意裂项的系数和分母的差值一致，解分式方程不要忘记验根。
【难度系数】
0.6
