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15. 如图,在$□ ABCD$中,点$O$是对角线$AC,BD$的交点,$EF$过点$O$且垂直于$AD$.
(1)求证:$OE=OF$;
(2)若$S_{△ AOB}=3$,$AD=3$,则$AD$与$BC$之间的距离为________;
(3)若$□ ABCD$的周长是$24$,$OE=2$,则四边形$ABFE$的周长为________.
(1)求证:$OE=OF$;
(2)若$S_{△ AOB}=3$,$AD=3$,则$AD$与$BC$之间的距离为________;
(3)若$□ ABCD$的周长是$24$,$OE=2$,则四边形$ABFE$的周长为________.
答案
15.(1)证明略 (2)4 (3)16
解析
【分析】
(1) 要证$OE=OF$，可通过证明$△ AOE$和$△ COF$全等推导。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质得$OA=OC$，再由平行四边形对边平行得$AD// BC$，进而得到一组内错角相等，结合对顶角相等即可证明两个三角形全等，得到对应边相等。
(2) 求$AD$与$BC$之间的距离，本质是求平行四边形$AD$边上的高。根据平行四边形对角线的性质，对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形，由$S_{△ AOB}=3$可算出平行四边形总面积，再根据平行四边形面积公式$S=底×高$，代入$AD$的长度即可求出高，也就是两条平行线的距离。
(3) 求四边形$ABFE$的周长，首先由平行四边形周长为24可得邻边和$AB+AD=12$，结合(1)的全等结论得$AE=CF$、$OE=OF=2$，因此$EF=4$，将四边形$ABFE$的周长转化为$AB+BC+EF$，代入数值即可计算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OA=OC$，$AD// BC$，
∴$∠ EAO=∠ FCO$，
又
∵$∠ AOE=∠ COF$（对顶角相等），
∴$△ AOE≌△ COF$（ASA），
∴$OE=OF$。
(2) 解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$O$是对角线交点，
∴$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}=S_{△ COD}=S_{△ DOA}=3$，
∴$S_{□ ABCD}=4×3=12$。
设$AD$与$BC$之间的距离为$h$，即$AD$边上的高为$h$，
由平行四边形面积公式得$S_{□ ABCD}=AD· h$，
代入$AD=3$，得$3h=12$，解得$h=4$。
(3) 解：
∵$□ ABCD$的周长为24，
∴$2(AB+AD)=24$，即$AB+AD=12$。
由(1)中$△ AOE≌△ COF$得$AE=CF$，$OE=OF=2$，
∴$EF=OE+OF=4$。
四边形$ABFE$的周长$=AB+BF+EF+AE=AB+BF+CF+EF=AB+BC+EF$，
又
∵平行四边形对边相等，$BC=AD$，
∴周长$=AB+AD+EF=12+4=16$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{4}$；(3) $\boxed{16}$
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的距离
【点评】
本题是平行四边形的基础综合题，解题核心是熟练运用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，结合全等三角形的判定完成线段和面积的转化，难度较低，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$OE=OF$，可通过证明$△ AOE$和$△ COF$全等推导。首先利用平行四边形对角线互相平分的性质得$OA=OC$，再由平行四边形对边平行得$AD// BC$，进而得到一组内错角相等，结合对顶角相等即可证明两个三角形全等，得到对应边相等。
(2) 求$AD$与$BC$之间的距离，本质是求平行四边形$AD$边上的高。根据平行四边形对角线的性质，对角线将平行四边形分成4个面积相等的三角形，由$S_{△ AOB}=3$可算出平行四边形总面积，再根据平行四边形面积公式$S=底×高$，代入$AD$的长度即可求出高，也就是两条平行线的距离。
(3) 求四边形$ABFE$的周长，首先由平行四边形周长为24可得邻边和$AB+AD=12$，结合(1)的全等结论得$AE=CF$、$OE=OF=2$，因此$EF=4$，将四边形$ABFE$的周长转化为$AB+BC+EF$，代入数值即可计算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$OA=OC$，$AD// BC$，
∴$∠ EAO=∠ FCO$，
又
∵$∠ AOE=∠ COF$（对顶角相等），
∴$△ AOE≌△ COF$（ASA），
∴$OE=OF$。
(2) 解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，$O$是对角线交点，
∴$S_{△ AOB}=S_{△ BOC}=S_{△ COD}=S_{△ DOA}=3$，
∴$S_{□ ABCD}=4×3=12$。
设$AD$与$BC$之间的距离为$h$，即$AD$边上的高为$h$，
由平行四边形面积公式得$S_{□ ABCD}=AD· h$，
代入$AD=3$，得$3h=12$，解得$h=4$。
(3) 解：
∵$□ ABCD$的周长为24，
∴$2(AB+AD)=24$，即$AB+AD=12$。
由(1)中$△ AOE≌△ COF$得$AE=CF$，$OE=OF=2$，
∴$EF=OE+OF=4$。
四边形$ABFE$的周长$=AB+BF+EF+AE=AB+BF+CF+EF=AB+BC+EF$，
又
∵平行四边形对边相等，$BC=AD$，
∴周长$=AB+AD+EF=12+4=16$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boxed{4}$；(3) $\boxed{16}$
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的距离
【点评】
本题是平行四边形的基础综合题，解题核心是熟练运用平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，结合全等三角形的判定完成线段和面积的转化，难度较低，侧重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
16. 如图,在$□ ABCD$中,$AD=2AB$,$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$O$,交$DC$的延长线于点$E$.
(1)求证:$CE=CD$;
(2)已知________(从以下两个条件中选择一个作为已知,填写序号),请判断四边形$ABEC$的形状,并证明你的结论.
条件①:$∠ AOC=2∠ D$;条件②:$∠ EAB=2∠ CAD$.
(1)求证:$CE=CD$;
(2)已知________(从以下两个条件中选择一个作为已知,填写序号),请判断四边形$ABEC$的形状,并证明你的结论.
条件①:$∠ AOC=2∠ D$;条件②:$∠ EAB=2∠ CAD$.
答案
16.(1)证明:$\because$ 四边形ABCD为平行四边形,
$\therefore AB=CD,AB// CD$,
$\therefore ∠ BAE=∠ AED$.
$\because AE$是$∠ BAD$的平分线,
$\therefore ∠ BAE=∠ EAD$,
$\therefore ∠ EAD=∠ AED$,
$\therefore AD=DE$.
$\because AD=2AB,DE=DC+CE,AB=CD$,
$\therefore CE=CD$.
(2)若选择条件①,则四边形ABEC是矩形.
由(1)可知,$CE=CD,CD=AB$,
$\therefore CE=AB$.
又$\because AB// CD$,
$\therefore$ 四边形ABEC是平行四边形,
$\therefore OA=OE,OB=OC$.
$\because$ 四边形ABCD为平行四边形,
$\therefore ∠ ABC=∠ D$.
$\because ∠ AOC=∠ ABC+∠ BAE,∠ AOC=2∠ D=2∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ BAE$,
$\therefore OA=OB$.
$\therefore OA=OE=OB=OC$,
$\therefore AE=BC$.
$\therefore$ 平行四边形ABEC是矩形.
若选择条件②,则四边形ABEC是矩形.
由(1)可知,$CE=CD,CD=AB$,
$\therefore CE=AB$.
又$\because AB// CD$,
$\therefore$ 四边形ABEC是平行四边形,
$\therefore OA=OE,OB=OC$.
$\because ∠ BAE=∠ EAD,∠ BAE=2∠ CAD$,
$\therefore ∠ EAC=∠ CAD$.
$\because$ 四边形ABCD为平行四边形,
$\therefore AD// BC$.
$\therefore ∠ ACB=∠ CAD$,
$\therefore ∠ ACB=∠ EAC$,
$\therefore OA=OC$,
$\therefore OA=OE=OB=OC$,
$\therefore AE=BC$.
$\therefore$ 平行四边形ABEC是矩形.
$\therefore AB=CD,AB// CD$,
$\therefore ∠ BAE=∠ AED$.
$\because AE$是$∠ BAD$的平分线,
$\therefore ∠ BAE=∠ EAD$,
$\therefore ∠ EAD=∠ AED$,
$\therefore AD=DE$.
$\because AD=2AB,DE=DC+CE,AB=CD$,
$\therefore CE=CD$.
(2)若选择条件①,则四边形ABEC是矩形.
由(1)可知,$CE=CD,CD=AB$,
$\therefore CE=AB$.
又$\because AB// CD$,
$\therefore$ 四边形ABEC是平行四边形,
$\therefore OA=OE,OB=OC$.
$\because$ 四边形ABCD为平行四边形,
$\therefore ∠ ABC=∠ D$.
$\because ∠ AOC=∠ ABC+∠ BAE,∠ AOC=2∠ D=2∠ ABC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ BAE$,
$\therefore OA=OB$.
$\therefore OA=OE=OB=OC$,
$\therefore AE=BC$.
$\therefore$ 平行四边形ABEC是矩形.
若选择条件②,则四边形ABEC是矩形.
由(1)可知,$CE=CD,CD=AB$,
$\therefore CE=AB$.
又$\because AB// CD$,
$\therefore$ 四边形ABEC是平行四边形,
$\therefore OA=OE,OB=OC$.
$\because ∠ BAE=∠ EAD,∠ BAE=2∠ CAD$,
$\therefore ∠ EAC=∠ CAD$.
$\because$ 四边形ABCD为平行四边形,
$\therefore AD// BC$.
$\therefore ∠ ACB=∠ CAD$,
$\therefore ∠ ACB=∠ EAC$,
$\therefore OA=OC$,
$\therefore OA=OE=OB=OC$,
$\therefore AE=BC$.
$\therefore$ 平行四边形ABEC是矩形.
解析
【分析】
(1) 要证$CE=CD$，首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得$AB=CD$、$AB// CD$，推出内错角$∠ BAE=∠ AED$；再结合角平分线的性质得$∠ BAE=∠ EAD$，等量代换后得$∠ EAD=∠ AED$，推出$AD=DE$；最后结合$AD=2AB$、$DE=DC+CE$的关系，代入即可推导$CE=CD$。
(2) 无论选择哪个条件，第一步先证四边形$ABEC$是平行四边形：由(1)得$CE=AB$，结合$AB// CE$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可判定；再根据所选条件推导平行四边形对角线相等，即可判定为矩形：选①时利用三角形外角性质和角的倍数关系推$∠ ABC=∠ BAE$，得$OA=OB$，进而得$AE=BC$；选②时通过角的等量代换推$∠ EAC=∠ ACB$，得$OA=OC$，进而得$AE=BC$。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AB=CD,AB// CD$，
$\therefore ∠ BAE=∠ AED$。
$\because AE$是$∠ BAD$的平分线，
$\therefore ∠ BAE=∠ EAD$，
$\therefore ∠ EAD=∠ AED$，
$\therefore AD=DE$。
$\because AD=2AB,DE=DC+CE,AB=CD$，
$\therefore 2CD=CD+CE$，即$CE=CD$。
(2) 选择条件①，四边形$ABEC$是矩形，证明如下：
由(1)可知，$CE=CD,CD=AB$，
$\therefore CE=AB$。
又$\because AB// CD$，即$AB// CE$，
$\therefore$ 四边形$ABEC$是平行四边形，
$\therefore OA=OE,OB=OC$。
$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore ∠ ABC=∠ D$。
$\because ∠ AOC$是$△ ABO$的外角，$\therefore ∠ AOC=∠ ABC+∠ BAE$，
已知$∠ AOC=2∠ D=2∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABC+∠ BAE=2∠ ABC$，即$∠ ABC=∠ BAE$，
$\therefore OA=OB$。
$\therefore OA=OE=OB=OC$，即$AE=BC$。
$\therefore$ 对角线相等的平行四边形$ABEC$是矩形。
若选择条件②，四边形$ABEC$是矩形，证明如下：
由(1)可知，$CE=CD,CD=AB$，
$\therefore CE=AB$。
又$\because AB// CD$，即$AB// CE$，
$\therefore$ 四边形$ABEC$是平行四边形，
$\therefore OA=OE,OB=OC$。
$\because ∠ BAE=∠ EAD,∠ EAB=2∠ CAD$，
$\therefore ∠ EAD=2∠ CAD$，即$∠ EAC=∠ CAD$。
$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ ACB=∠ CAD$，
$\therefore ∠ ACB=∠ EAC$，
$\therefore OA=OC$，
$\therefore OA=OE=OB=OC$，即$AE=BC$。
$\therefore$ 对角线相等的平行四边形$ABEC$是矩形。
【答案】
(1) $CE=CD$得证；
(2) 选择条件①或②，四边形$ABEC$均为矩形。
【知识点】
平行四边形的性质与判定，矩形的判定，等腰三角形的判定
【点评】
本题是四边形综合常规题，重点考查特殊四边形的判定及性质应用，解题时需要灵活结合角平分线、平行线的性质，将角的等量关系转化为边的等量关系，是巩固特殊四边形相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$CE=CD$，首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得$AB=CD$、$AB// CD$，推出内错角$∠ BAE=∠ AED$；再结合角平分线的性质得$∠ BAE=∠ EAD$，等量代换后得$∠ EAD=∠ AED$，推出$AD=DE$；最后结合$AD=2AB$、$DE=DC+CE$的关系，代入即可推导$CE=CD$。
(2) 无论选择哪个条件，第一步先证四边形$ABEC$是平行四边形：由(1)得$CE=AB$，结合$AB// CE$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可判定；再根据所选条件推导平行四边形对角线相等，即可判定为矩形：选①时利用三角形外角性质和角的倍数关系推$∠ ABC=∠ BAE$，得$OA=OB$，进而得$AE=BC$；选②时通过角的等量代换推$∠ EAC=∠ ACB$，得$OA=OC$，进而得$AE=BC$。
【解析】
(1) 证明：$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AB=CD,AB// CD$，
$\therefore ∠ BAE=∠ AED$。
$\because AE$是$∠ BAD$的平分线，
$\therefore ∠ BAE=∠ EAD$，
$\therefore ∠ EAD=∠ AED$，
$\therefore AD=DE$。
$\because AD=2AB,DE=DC+CE,AB=CD$，
$\therefore 2CD=CD+CE$，即$CE=CD$。
(2) 选择条件①，四边形$ABEC$是矩形，证明如下：
由(1)可知，$CE=CD,CD=AB$，
$\therefore CE=AB$。
又$\because AB// CD$，即$AB// CE$，
$\therefore$ 四边形$ABEC$是平行四边形，
$\therefore OA=OE,OB=OC$。
$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore ∠ ABC=∠ D$。
$\because ∠ AOC$是$△ ABO$的外角，$\therefore ∠ AOC=∠ ABC+∠ BAE$，
已知$∠ AOC=2∠ D=2∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABC+∠ BAE=2∠ ABC$，即$∠ ABC=∠ BAE$，
$\therefore OA=OB$。
$\therefore OA=OE=OB=OC$，即$AE=BC$。
$\therefore$ 对角线相等的平行四边形$ABEC$是矩形。
若选择条件②，四边形$ABEC$是矩形，证明如下：
由(1)可知，$CE=CD,CD=AB$，
$\therefore CE=AB$。
又$\because AB// CD$，即$AB// CE$，
$\therefore$ 四边形$ABEC$是平行四边形，
$\therefore OA=OE,OB=OC$。
$\because ∠ BAE=∠ EAD,∠ EAB=2∠ CAD$，
$\therefore ∠ EAD=2∠ CAD$，即$∠ EAC=∠ CAD$。
$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore ∠ ACB=∠ CAD$，
$\therefore ∠ ACB=∠ EAC$，
$\therefore OA=OC$，
$\therefore OA=OE=OB=OC$，即$AE=BC$。
$\therefore$ 对角线相等的平行四边形$ABEC$是矩形。
【答案】
(1) $CE=CD$得证；
(2) 选择条件①或②，四边形$ABEC$均为矩形。
【知识点】
平行四边形的性质与判定，矩形的判定，等腰三角形的判定
【点评】
本题是四边形综合常规题，重点考查特殊四边形的判定及性质应用，解题时需要灵活结合角平分线、平行线的性质，将角的等量关系转化为边的等量关系，是巩固特殊四边形相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7
