登录
三、用心做一做,显显自己的能力!(解答应写出具体步骤)
13.阅读小明和小红的对话,解决下列问题.
(1)这个“多加的锐角”是
(2)小明求的是几边形的内角和? 这个多边形一共有多少条对角线?
(3)若这是一个正多边形,则这个正多边形的一个外角是多少度?
13.阅读小明和小红的对话,解决下列问题.
(1)这个“多加的锐角”是
30
°；(2)小明求的是几边形的内角和? 这个多边形一共有多少条对角线?
(3)若这是一个正多边形,则这个正多边形的一个外角是多少度?
答案
13.(1)30
(2)小明求的是十二边形的内角和,共有54条对角线.
(3)这个正多边形的每一个外角为$30°$.
(2)小明求的是十二边形的内角和,共有54条对角线.
(3)这个正多边形的每一个外角为$30°$.
解析
【分析】
解题的核心是利用多边形内角和必为180°的整数倍这一特性。首先计算1830°除以180°的余数，因多加的是小于90°的锐角，余数即为多加的角度；再用总度数减去多加的角度得到正确内角和，代入内角和公式求出边数，结合对角线公式算对角线总数；最后利用多边形外角和恒为360°的性质，计算正多边形单个外角的度数。
【解析】
(1) 计算$1830° ÷ 180° = 10······30°$，因为多边形内角和一定是180°的整数倍，且多加的角是小于90°的锐角，因此多加的锐角为30°。
(2) 该多边形实际内角和为$1830° - 30° = 1800°$。
设多边形边数为$n$，根据内角和公式$(n-2)×180°$，列方程：
$(n-2)×180° = 1800°$
解得$n=12$，即这是十二边形。
多边形对角线总条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$，代入$n=12$：
$\frac{12×(12-3)}{2}=54(\mathrm{条})$
(3) 任意多边形外角和为$360°$，正多边形各外角相等，因此正十二边形的一个外角度数为：
$360° ÷ 12 = 30°$
【答案】
(1) $\boxed{30}$
(2) 小明求的是十二边形的内角和，共有54条对角线。
(3) 这个正多边形的一个外角是$\boxed{30°}$。
【知识点】
多边形内角和公式；多边形对角线计算；多边形外角和性质
【点评】
本题围绕多边形的基础性质设题，解题突破口是明确内角和是180°的整数倍，后续计算只需代入对应公式即可，考查对基础公式的熟练应用能力。
【难度系数】
0.7
解题的核心是利用多边形内角和必为180°的整数倍这一特性。首先计算1830°除以180°的余数，因多加的是小于90°的锐角，余数即为多加的角度；再用总度数减去多加的角度得到正确内角和，代入内角和公式求出边数，结合对角线公式算对角线总数；最后利用多边形外角和恒为360°的性质，计算正多边形单个外角的度数。
【解析】
(1) 计算$1830° ÷ 180° = 10······30°$，因为多边形内角和一定是180°的整数倍，且多加的角是小于90°的锐角，因此多加的锐角为30°。
(2) 该多边形实际内角和为$1830° - 30° = 1800°$。
设多边形边数为$n$，根据内角和公式$(n-2)×180°$，列方程：
$(n-2)×180° = 1800°$
解得$n=12$，即这是十二边形。
多边形对角线总条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$，代入$n=12$：
$\frac{12×(12-3)}{2}=54(\mathrm{条})$
(3) 任意多边形外角和为$360°$，正多边形各外角相等，因此正十二边形的一个外角度数为：
$360° ÷ 12 = 30°$
【答案】
(1) $\boxed{30}$
(2) 小明求的是十二边形的内角和，共有54条对角线。
(3) 这个正多边形的一个外角是$\boxed{30°}$。
【知识点】
多边形内角和公式；多边形对角线计算；多边形外角和性质
【点评】
本题围绕多边形的基础性质设题，解题突破口是明确内角和是180°的整数倍，后续计算只需代入对应公式即可，考查对基础公式的熟练应用能力。
【难度系数】
0.7
14.如图,四边形ABCD的内角∠BCD的平分线与外角∠ABE的平分线相交于点F.
(1)若$BF// CD$,$∠ABC=80°$,求$∠BCD$的度数;
(2)已知四边形ABCD中,$∠A=110°$,$∠D=120°$,求$∠F$的度数.
(1)若$BF// CD$,$∠ABC=80°$,求$∠BCD$的度数;
(2)已知四边形ABCD中,$∠A=110°$,$∠D=120°$,求$∠F$的度数.
答案
14.(1)$50°$ (2)$25°$
解析
【分析】
(1) 先利用邻补角的关系求出∠ABE的度数，再根据角平分线的定义算出∠FBE的度数，最后结合平行线同位角相等的性质即可求出∠BCD的度数。
(2) 先根据四边形内角和为360°，算出∠ABC与∠BCD的度数和，再利用角平分线的定义分别表示出∠FCB和∠FBE，结合三角形外角的性质推导∠F与∠ABC、∠BCD的数量关系，代入数值即可求出∠F的度数。
【解析】
(1)
∵ 点E、B、C在同一直线上，∠ABC=80°
∴ ∠ABE = 180° - ∠ABC = 180° - 80° = 100°
∵ BF平分∠ABE
∴ ∠FBE = $\frac{1}{2}$∠ABE = $\frac{1}{2}$×100° = 50°
又
∵ BF//CD
∴ ∠BCD = ∠FBE（两直线平行，同位角相等）
∴ ∠BCD = 50°
(2)
∵ 四边形内角和为360°
∴ ∠A + ∠D + ∠ABC + ∠BCD = 360°
将∠A=110°，∠D=120°代入得：
∠ABC + ∠BCD = 360° - 110° - 120° = 130°
∵ CF平分∠BCD
∴ ∠FCB = $\frac{1}{2}$∠BCD
∵ BF平分∠ABE，且∠ABE = 180° - ∠ABC
∴ ∠FBE = $\frac{1}{2}$∠ABE = $\frac{1}{2}$(180° - ∠ABC) = 90° - $\frac{1}{2}$∠ABC
∵ ∠FBE是△FBC的外角，外角等于不相邻两个内角和
∴ ∠FBE = ∠F + ∠FCB
变形得：∠F = ∠FBE - ∠FCB
将∠FBE和∠FCB的表达式代入：
∠F = 90° - $\frac{1}{2}$∠ABC - $\frac{1}{2}$∠BCD = 90° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠BCD)
将∠ABC + ∠BCD = 130°代入得：
∠F = 90° - $\frac{1}{2}$×130° = 25°
【答案】
(1) $\boxed{50°}$；(2) $\boxed{25°}$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；四边形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的综合题，解题的核心是熟练掌握角平分线、平行线、三角形外角、四边形内角和的相关性质，通过角的等量转化建立所求角与已知角的关系，是几何基础运算的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 先利用邻补角的关系求出∠ABE的度数，再根据角平分线的定义算出∠FBE的度数，最后结合平行线同位角相等的性质即可求出∠BCD的度数。
(2) 先根据四边形内角和为360°，算出∠ABC与∠BCD的度数和，再利用角平分线的定义分别表示出∠FCB和∠FBE，结合三角形外角的性质推导∠F与∠ABC、∠BCD的数量关系，代入数值即可求出∠F的度数。
【解析】
(1)
∵ 点E、B、C在同一直线上，∠ABC=80°
∴ ∠ABE = 180° - ∠ABC = 180° - 80° = 100°
∵ BF平分∠ABE
∴ ∠FBE = $\frac{1}{2}$∠ABE = $\frac{1}{2}$×100° = 50°
又
∵ BF//CD
∴ ∠BCD = ∠FBE（两直线平行，同位角相等）
∴ ∠BCD = 50°
(2)
∵ 四边形内角和为360°
∴ ∠A + ∠D + ∠ABC + ∠BCD = 360°
将∠A=110°，∠D=120°代入得：
∠ABC + ∠BCD = 360° - 110° - 120° = 130°
∵ CF平分∠BCD
∴ ∠FCB = $\frac{1}{2}$∠BCD
∵ BF平分∠ABE，且∠ABE = 180° - ∠ABC
∴ ∠FBE = $\frac{1}{2}$∠ABE = $\frac{1}{2}$(180° - ∠ABC) = 90° - $\frac{1}{2}$∠ABC
∵ ∠FBE是△FBC的外角，外角等于不相邻两个内角和
∴ ∠FBE = ∠F + ∠FCB
变形得：∠F = ∠FBE - ∠FCB
将∠FBE和∠FCB的表达式代入：
∠F = 90° - $\frac{1}{2}$∠ABC - $\frac{1}{2}$∠BCD = 90° - $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠BCD)
将∠ABC + ∠BCD = 130°代入得：
∠F = 90° - $\frac{1}{2}$×130° = 25°
【答案】
(1) $\boxed{50°}$；(2) $\boxed{25°}$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；四边形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算的综合题，解题的核心是熟练掌握角平分线、平行线、三角形外角、四边形内角和的相关性质，通过角的等量转化建立所求角与已知角的关系，是几何基础运算的典型题型。
【难度系数】
0.7
