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17. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$D$是$BC$的中点，$E$是$AD$的中点，过点$A$作$AF// BC$交$BE$的延长线于点$F$.
(1)求证:$△ AEF≌△ DEB$；
(2)证明四边形$ADCF$是菱形；
(3)若$AC=4$，$AB=5$，求菱形$ADCF$的面积.
(1)求证:$△ AEF≌△ DEB$；
(2)证明四边形$ADCF$是菱形；
(3)若$AC=4$，$AB=5$，求菱形$ADCF$的面积.
答案
17.(1)证明略
(2)证明:由(1)知,$△ AEF≌ △ DBE$,则$AF=DB$.
$\because DB=DC$,
$\therefore AF=CD$.
$\because AF// BC$,
$\therefore$ 四边形ADCF是平行四边形.
$\because ∠ BAC=90°$,D是BC的中点,
$\therefore AD=\dfrac{1}{2}BC=DC$.
$\therefore$ 四边形ADCF是菱形.
(3)连接DF.
$\because AF// BD,AF=BD$,
$\therefore$ 四边形ABDF是平行四边形,
$\therefore DF=AB=5$.
$\because$ 四边形ADCF是菱形,
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ADCF}=\dfrac{1}{2}AC· DF=\dfrac{1}{2}×4×5=10$.
解析
【分析】
(1)证明三角形全等需先找对应相等的边和角：由AF//BC可得一组内错角相等，E是AD中点可得一组边相等，再结合对顶角相等，即可用AAS判定两个三角形全等。
(2)证明菱形可先证四边形是平行四边形，再证邻边相等：由全等得AF=BD，结合D是BC中点可得AF=CD，配合AF//BC可证ADCF是平行四边形；再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到AD=DC，即可判定该平行四边形为菱形。
(3)菱形面积可通过对角线乘积的一半计算：先证ABDF是平行四边形得到菱形的一条对角线DF=AB，结合已知AC的长度，代入面积公式即可求解。
【解析】
(1)证明：$\because AF// BC$，$\therefore ∠ AFE=∠ DBE$，
$\because E$是$AD$的中点，$\therefore AE=DE$，
在$△ AEF$和$△ DEB$中：
$\begin{cases}∠ AFE=∠ DBE\\∠ AEF=∠ DEB\\AE=DE\end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ DEB(\mathrm{AAS})$。
(2)证明：由(1)的全等结论可得$AF=DB$，
$\because D$是$BC$的中点，$\therefore DB=DC$，$\therefore AF=CD$，
又$\because AF// BC$即$AF// CD$，
$\therefore$ 四边形$ADCF$是平行四边形，
$\because ∠ BAC=90°$，$D$是$BC$中点，
$\therefore AD=\dfrac{1}{2}BC=DC$，
$\therefore$ 平行四边形$ADCF$是菱形。
(3)解：连接$DF$，
$\because AF// BD$且$AF=BD$，
$\therefore$ 四边形$ABDF$是平行四边形，
$\therefore DF=AB=5$，
$\because$ 四边形$ADCF$是菱形，
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ADCF}=\dfrac{1}{2}× AC× DF=\dfrac{1}{2}×4×5=10$。
【答案】
(1)$△ AEF≌△ DEB$，证明成立；
(2)四边形$ADCF$是菱形，证明成立；
(3)菱形$ADCF$的面积为10。
【知识点】
全等三角形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，串联了三角形全等、特殊四边形的判定与性质等核心考点，解题时可利用前一问的结论推导后续问题，降低思考难度，同时要灵活选用菱形面积的计算方法提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1)证明三角形全等需先找对应相等的边和角：由AF//BC可得一组内错角相等，E是AD中点可得一组边相等，再结合对顶角相等，即可用AAS判定两个三角形全等。
(2)证明菱形可先证四边形是平行四边形，再证邻边相等：由全等得AF=BD，结合D是BC中点可得AF=CD，配合AF//BC可证ADCF是平行四边形；再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到AD=DC，即可判定该平行四边形为菱形。
(3)菱形面积可通过对角线乘积的一半计算：先证ABDF是平行四边形得到菱形的一条对角线DF=AB，结合已知AC的长度，代入面积公式即可求解。
【解析】
(1)证明：$\because AF// BC$，$\therefore ∠ AFE=∠ DBE$，
$\because E$是$AD$的中点，$\therefore AE=DE$，
在$△ AEF$和$△ DEB$中：
$\begin{cases}∠ AFE=∠ DBE\\∠ AEF=∠ DEB\\AE=DE\end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ DEB(\mathrm{AAS})$。
(2)证明：由(1)的全等结论可得$AF=DB$，
$\because D$是$BC$的中点，$\therefore DB=DC$，$\therefore AF=CD$，
又$\because AF// BC$即$AF// CD$，
$\therefore$ 四边形$ADCF$是平行四边形，
$\because ∠ BAC=90°$，$D$是$BC$中点，
$\therefore AD=\dfrac{1}{2}BC=DC$，
$\therefore$ 平行四边形$ADCF$是菱形。
(3)解：连接$DF$，
$\because AF// BD$且$AF=BD$，
$\therefore$ 四边形$ABDF$是平行四边形，
$\therefore DF=AB=5$，
$\because$ 四边形$ADCF$是菱形，
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ADCF}=\dfrac{1}{2}× AC× DF=\dfrac{1}{2}×4×5=10$。
【答案】
(1)$△ AEF≌△ DEB$，证明成立；
(2)四边形$ADCF$是菱形，证明成立；
(3)菱形$ADCF$的面积为10。
【知识点】
全等三角形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，串联了三角形全等、特殊四边形的判定与性质等核心考点，解题时可利用前一问的结论推导后续问题，降低思考难度，同时要灵活选用菱形面积的计算方法提升解题效率。
【难度系数】
0.7
18.如图,点 E 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点,点 F 在 BE 的延长线上,且 EF=BE,EF 与 CD 交于点 G.
(1)求证:DF//AC;
(2)连接 DE,CF.若 2AB=BF,若 G 恰好是 CD 的中点,则四边形 CFDE 是什么特殊四边形? 请证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,若四边形 CFDE 是正方形,且 AB=2,则 BC=
(1)求证:DF//AC;
(2)连接 DE,CF.若 2AB=BF,若 G 恰好是 CD 的中点,则四边形 CFDE 是什么特殊四边形? 请证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,若四边形 CFDE 是正方形,且 AB=2,则 BC=
$\sqrt{10}$
.答案
18.(1)证明:连接BD,交AC于点O,如图1所示.
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,
$\therefore BO=DO$.
$\because BE=EF$,
$\therefore OE$是$△ BDF$的中位线,
$\therefore OE// DF$,即$AC// DF$.
(2)四边形CFDE是矩形.
证明:如图2所示.
由(1)得,$DF// AC$,
$\therefore ∠ DFG=∠ CEG,∠ GDF=∠ GCE$.
$\because G$是CD的中点,
$\therefore DG=CG$.
在$△ DFG$和$△ CEG$中,
$\begin{cases}∠ DFG=∠ CEG,\\∠ GDF=∠ GCE,\\DG=CG,\end{cases}$
$\therefore △ DFG≌ △ CEG(\mathrm{AAS})$,
$\therefore FG=EG$,
$\therefore$ 四边形CFDE是平行四边形.
$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,
$\therefore AB=CD$.
$\because 2AB=BF$,
$\therefore 2CD=BF$.
又$\because EF=BE$,即$2EF=BF$,
$\therefore CD=EF$,
$\therefore$ 平行四边形CFDE是矩形.
(3)$\sqrt{10}$
解析
【分析】
(1) 要证明$DF// AC$，可结合平行四边形对角线互相平分的性质，连接$BD$交$AC$于点$O$，可得$O$是$BD$中点，再结合已知$BE=EF$，可知$OE$是$△ BDF$的中位线，利用中位线平行于第三边的性质即可得证。
(2) 判断四边形$CFDE$的形状时，首先利用(1)的平行结论和$G$是$CD$中点的条件，证明$△ DFG≌△ CEG$，得到对角线互相平分，先判定它是平行四边形；再结合$2AB=BF$的条件，推导得出平行四边形的对角线$CD=EF$，即可根据对角线相等的平行四边形是矩形完成判定。
(3) 已知四边形$CFDE$是正方形，$AB=2$，先由平行四边形性质得$CD=AB=2$，再根据正方形对角线互相垂直平分且相等的性质求出相关线段长度，最后结合勾股定理即可求出$BC$的长度。
【解析】
(1) 证明：连接$BD$，交$AC$于点$O$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore BO=DO$。
$\because BE=EF$，
$\therefore OE$是$△ BDF$的中位线，
$\therefore OE// DF$，即$DF// AC$。
(2) 四边形$CFDE$是矩形，证明如下：
由(1)得$DF// AC$，
$\therefore ∠ DFG=∠ CEG$，$∠ GDF=∠ GCE$。
$\because G$是$CD$的中点，
$\therefore DG=CG$。
在$△ DFG$和$△ CEG$中，
$\begin{cases}∠ DFG=∠ CEG\\∠ GDF=∠ GCE\\DG=CG\end{cases}$
$\therefore △ DFG≌△ CEG(\mathrm{AAS})$，
$\therefore FG=EG$，
$\therefore$ 四边形$CFDE$是平行四边形。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB=CD$。
$\because 2AB=BF$，
$\therefore 2CD=BF$。
又$\because EF=BE$，即$BF=2EF$，
$\therefore CD=EF$，
$\therefore$ 平行四边形$CFDE$是矩形。
(3) 解：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore CD=AB=2$，$AB// CD$。
$\because$ 四边形$CFDE$是正方形，
$\therefore CD⊥ EF$，$CD=EF=2$，$CG=DG=EG=FG=1$，$∠ DCE=45°$，
$\therefore CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$∠ BAC=∠ DCE=45°$。
$\because 2AB=BF$，$AB=2$，$\therefore BF=4$，$\therefore BE=EF=2$。
过点$B$作$BH⊥ AC$于点$H$，在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$AB=2$，$∠ BAC=45°$，
$\therefore AH=BH=AB·\sin45°=\sqrt{2}$。
$\because OE$是$△ BDF$的中位线，正方形边长$DF=CE=\sqrt{2}$，
$\therefore OE=\dfrac{1}{2}DF=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore OC=OE+EC=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$，$AC=2OC=3\sqrt{2}$，
$\therefore HC=AC-AH=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ BHC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BH^2+HC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 四边形$CFDE$是矩形，证明见解析；
(3) $\sqrt{10}$
【知识点】
平行四边形的性质与判定，矩形的判定，正方形的性质
【点评】
本题层层递进考查特殊四边形的相关知识，既需要熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定定理和性质，也需要结合三角形中位线、全等三角形、勾股定理等知识综合推导，能够有效考查对几何基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$DF// AC$，可结合平行四边形对角线互相平分的性质，连接$BD$交$AC$于点$O$，可得$O$是$BD$中点，再结合已知$BE=EF$，可知$OE$是$△ BDF$的中位线，利用中位线平行于第三边的性质即可得证。
(2) 判断四边形$CFDE$的形状时，首先利用(1)的平行结论和$G$是$CD$中点的条件，证明$△ DFG≌△ CEG$，得到对角线互相平分，先判定它是平行四边形；再结合$2AB=BF$的条件，推导得出平行四边形的对角线$CD=EF$，即可根据对角线相等的平行四边形是矩形完成判定。
(3) 已知四边形$CFDE$是正方形，$AB=2$，先由平行四边形性质得$CD=AB=2$，再根据正方形对角线互相垂直平分且相等的性质求出相关线段长度，最后结合勾股定理即可求出$BC$的长度。
【解析】
(1) 证明：连接$BD$，交$AC$于点$O$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore BO=DO$。
$\because BE=EF$，
$\therefore OE$是$△ BDF$的中位线，
$\therefore OE// DF$，即$DF// AC$。
(2) 四边形$CFDE$是矩形，证明如下：
由(1)得$DF// AC$，
$\therefore ∠ DFG=∠ CEG$，$∠ GDF=∠ GCE$。
$\because G$是$CD$的中点，
$\therefore DG=CG$。
在$△ DFG$和$△ CEG$中，
$\begin{cases}∠ DFG=∠ CEG\\∠ GDF=∠ GCE\\DG=CG\end{cases}$
$\therefore △ DFG≌△ CEG(\mathrm{AAS})$，
$\therefore FG=EG$，
$\therefore$ 四边形$CFDE$是平行四边形。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AB=CD$。
$\because 2AB=BF$，
$\therefore 2CD=BF$。
又$\because EF=BE$，即$BF=2EF$，
$\therefore CD=EF$，
$\therefore$ 平行四边形$CFDE$是矩形。
(3) 解：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore CD=AB=2$，$AB// CD$。
$\because$ 四边形$CFDE$是正方形，
$\therefore CD⊥ EF$，$CD=EF=2$，$CG=DG=EG=FG=1$，$∠ DCE=45°$，
$\therefore CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$∠ BAC=∠ DCE=45°$。
$\because 2AB=BF$，$AB=2$，$\therefore BF=4$，$\therefore BE=EF=2$。
过点$B$作$BH⊥ AC$于点$H$，在$\mathrm{Rt}△ ABH$中，$AB=2$，$∠ BAC=45°$，
$\therefore AH=BH=AB·\sin45°=\sqrt{2}$。
$\because OE$是$△ BDF$的中位线，正方形边长$DF=CE=\sqrt{2}$，
$\therefore OE=\dfrac{1}{2}DF=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore OC=OE+EC=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$，$AC=2OC=3\sqrt{2}$，
$\therefore HC=AC-AH=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ BHC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{BH^2+HC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 四边形$CFDE$是矩形，证明见解析；
(3) $\sqrt{10}$
【知识点】
平行四边形的性质与判定，矩形的判定，正方形的性质
【点评】
本题层层递进考查特殊四边形的相关知识，既需要熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定定理和性质，也需要结合三角形中位线、全等三角形、勾股定理等知识综合推导，能够有效考查对几何基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.6
