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一、选择题
1. 如图,将一副直角三角尺按图中所示位置摆放,保持两条斜边互相平行,则∠1的度数为 (
A.$30°$
B.$25°$
C.$20°$
D.$15°$
1. 如图,将一副直角三角尺按图中所示位置摆放,保持两条斜边互相平行,则∠1的度数为 (
D
)A.$30°$
B.$25°$
C.$20°$
D.$15°$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先回忆一副直角三角尺的固有角度：其中一个三角尺的锐角为45°，另一个三角尺的锐角分别为30°和60°。已知两条斜边互相平行，我们可以利用平行线的内错角相等的性质，建立两个三角尺锐角和∠1之间的数量关系，进而计算出∠1的度数。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，上方三角尺的锐角为45°，下方含∠1的三角尺的较小锐角为30°。
∵两条斜边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，可得：
$45°=30°+∠1$
∴$∠1=45°-30°=15°$
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；三角尺角度特征；角度计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角尺固定角度的记忆和平行线性质的应用，解题的关键是通过平行线的性质找到不同三角尺角度之间的数量关系，熟练掌握相关知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一副直角三角尺的固有角度：其中一个三角尺的锐角为45°，另一个三角尺的锐角分别为30°和60°。已知两条斜边互相平行，我们可以利用平行线的内错角相等的性质，建立两个三角尺锐角和∠1之间的数量关系，进而计算出∠1的度数。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，上方三角尺的锐角为45°，下方含∠1的三角尺的较小锐角为30°。
∵两条斜边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，可得：
$45°=30°+∠1$
∴$∠1=45°-30°=15°$
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质；三角尺角度特征；角度计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角尺固定角度的记忆和平行线性质的应用，解题的关键是通过平行线的性质找到不同三角尺角度之间的数量关系，熟练掌握相关知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. [2024·包头]如下左图,直线$AB// CD$,点 E 在直线 AB 上,射线 EF 交直线 CD于点 G,则图中与$∠AEF$互补的角有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. C
解析
【分析】
要找出与∠AEF互补的角，首先明确互补角的定义：和为180°的两个角互为补角。解题思路分三步：第一步先找与∠AEF组成平角的邻补角；第二步利用平行线的性质，找和∠AEF互补的同旁内角；第三步结合对顶角相等的性质，找与已得互补角相等的角，即可统计出总个数。
【解析】
1. 由平角的定义可得：$∠ AEF + ∠ BEF = 180°$，因此$∠ BEF$是与$∠ AEF$互补的第一个角；
2. 已知$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ AEF + ∠ DGE = 180°$，因此$∠ DGE$是与$∠ AEF$互补的第二个角；
3. 根据对顶角相等，$∠ CGF = ∠ DGE$，因此$∠ AEF + ∠ CGF = 180°$，$∠ CGF$是与$∠ AEF$互补的第三个角。
综上，共有3个与$∠ AEF$互补的角，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义，平行线的性质，对顶角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题时需要结合多个性质逐一排查，注意不要遗漏对顶角相等得到的互补角，也避免重复计数。
【难度系数】
0.7
要找出与∠AEF互补的角，首先明确互补角的定义：和为180°的两个角互为补角。解题思路分三步：第一步先找与∠AEF组成平角的邻补角；第二步利用平行线的性质，找和∠AEF互补的同旁内角；第三步结合对顶角相等的性质，找与已得互补角相等的角，即可统计出总个数。
【解析】
1. 由平角的定义可得：$∠ AEF + ∠ BEF = 180°$，因此$∠ BEF$是与$∠ AEF$互补的第一个角；
2. 已知$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ AEF + ∠ DGE = 180°$，因此$∠ DGE$是与$∠ AEF$互补的第二个角；
3. 根据对顶角相等，$∠ CGF = ∠ DGE$，因此$∠ AEF + ∠ CGF = 180°$，$∠ CGF$是与$∠ AEF$互补的第三个角。
综上，共有3个与$∠ AEF$互补的角，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义，平行线的性质，对顶角的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题时需要结合多个性质逐一排查，注意不要遗漏对顶角相等得到的互补角，也避免重复计数。
【难度系数】
0.7
3. [2023·郑州二模]如上右图,直线$a// b$,将一含$30°$角的直角三角尺ABC按如图方式放置,其中一条直角边的两顶点B和A分别落在直线a,b上,若$∠ 1=25°$,则$∠ 2$的度数为 （
A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
C
）A.$45°$
B.$50°$
C.$55°$
D.$60°$
答案
3. C
解析
【分析】
解决本题首先要回忆平行线的性质和直角三角板的固定角度特征。第一步先明确含30°角的直角三角尺的固定内角，其中30°角是已知的固定值；第二步根据直线a平行于b的条件，利用平行线的内错角相等的性质，找到∠2与∠1、三角板30°角之间的和差关系；第三步代入已知角度计算即可得到∠2的度数。
【解析】
解：已知直角三角尺ABC为含30°角的直角三角尺，其中30°角为固定值。
∵直线$a// b$，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，
∴$∠ 2 = ∠ 1 + 30°$，
又
∵$∠ 1=25°$，
∴$∠ 2=25°+30°=55°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；直角三角板特征；角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的常规应用题型，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，准确识别图形中角的位置关系，结合三角板的固定角度进行简单的角的和差运算即可求解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要回忆平行线的性质和直角三角板的固定角度特征。第一步先明确含30°角的直角三角尺的固定内角，其中30°角是已知的固定值；第二步根据直线a平行于b的条件，利用平行线的内错角相等的性质，找到∠2与∠1、三角板30°角之间的和差关系；第三步代入已知角度计算即可得到∠2的度数。
【解析】
解：已知直角三角尺ABC为含30°角的直角三角尺，其中30°角为固定值。
∵直线$a// b$，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，
∴$∠ 2 = ∠ 1 + 30°$，
又
∵$∠ 1=25°$，
∴$∠ 2=25°+30°=55°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；直角三角板特征；角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的常规应用题型，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，准确识别图形中角的位置关系，结合三角板的固定角度进行简单的角的和差运算即可求解。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 如图，$AB// CD$，若$∠ E=34°$，$∠ D=20°$，则$∠ B$的度数为________。
1. 如图，$AB// CD$，若$∠ E=34°$，$∠ D=20°$，则$∠ B$的度数为________。
答案
1. $54°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察图形可知，∠BCD是△ECD的外角，我们可以先利用三角形外角的性质计算出∠BCD的度数；再结合AB//CD的条件，利用平行线的内错角相等的性质，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵∠BCD是△ECD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠BCD = ∠E + ∠D
已知∠E=34°，∠D=20°，代入得：
∠BCD = 34° + 20° = 54°
又
∵AB//CD，根据两直线平行，内错角相等
∴∠B = ∠BCD = 54°
【答案】
$54°$
【知识点】
1. 三角形外角的性质
2. 平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，重点考查基础几何性质的综合应用，只要能准确识别外角、平行线对应的内错角关系，结合简单的加法运算就能得出结果，属于几何的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察图形可知，∠BCD是△ECD的外角，我们可以先利用三角形外角的性质计算出∠BCD的度数；再结合AB//CD的条件，利用平行线的内错角相等的性质，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵∠BCD是△ECD的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠BCD = ∠E + ∠D
已知∠E=34°，∠D=20°，代入得：
∠BCD = 34° + 20° = 54°
又
∵AB//CD，根据两直线平行，内错角相等
∴∠B = ∠BCD = 54°
【答案】
$54°$
【知识点】
1. 三角形外角的性质
2. 平行线的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，重点考查基础几何性质的综合应用，只要能准确识别外角、平行线对应的内错角关系，结合简单的加法运算就能得出结果，属于几何的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
2. [2025·山东]在平面直角坐标系中,将点$P(3,4)$向下平移2个单位长度,得到的对应点$P'$的坐标是
(3,2)
.答案
2. $(3,2)$
解析
【分析】首先回忆平面直角坐标系中点的平移规律：上下平移时，点的横坐标不变，纵坐标遵循“上加下减”的原则（向上平移纵坐标加对应单位长度，向下平移纵坐标减对应单位长度）；左右平移时，点的纵坐标不变，横坐标遵循“左减右加”的原则。本题是将点向下平移，所以只需保持横坐标不变，用原纵坐标减去平移的单位长度即可得到对应点的坐标。
【解析】已知点$P$的坐标为$(3,4)$，将其向下平移2个单位长度时，横坐标保持不变，仍为3；纵坐标需要减去平移的单位长度2，即$4-2=2$。因此平移后得到的对应点$P'$的坐标为$(3,2)$。
【答案】$(3,2)$
【知识点】点的平移规律
【点评】本题属于基础题型，核心考察平面直角坐标系中点平移时的坐标变化规则，熟记平移时横、纵坐标的变化口诀即可快速求解。
【难度系数】0.9
【解析】已知点$P$的坐标为$(3,4)$，将其向下平移2个单位长度时，横坐标保持不变，仍为3；纵坐标需要减去平移的单位长度2，即$4-2=2$。因此平移后得到的对应点$P'$的坐标为$(3,2)$。
【答案】$(3,2)$
【知识点】点的平移规律
【点评】本题属于基础题型，核心考察平面直角坐标系中点平移时的坐标变化规则，熟记平移时横、纵坐标的变化口诀即可快速求解。
【难度系数】0.9
