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三、解答题
1. 平面内的两条直线$ l_1 $与$ l_2 $相交于点$ O $，对于该平面内有任意一点$ M $，$ M $点到直线$ l_1, l_2 $的距离分别为$ a, b $，则称有序非负实数对$ (a, b) $是点$ M $的“距离坐标”。根据上述定义，“距离坐标”为$ (2, 3) $的点有几个？
1. 平面内的两条直线$ l_1 $与$ l_2 $相交于点$ O $，对于该平面内有任意一点$ M $，$ M $点到直线$ l_1, l_2 $的距离分别为$ a, b $，则称有序非负实数对$ (a, b) $是点$ M $的“距离坐标”。根据上述定义，“距离坐标”为$ (2, 3) $的点有几个？
答案
1. 4个
解析
【分析】
首先要准确理解新定义“距离坐标”的含义：点到两条相交直线$l_1$、$l_2$的距离分别对应坐标的两个数值。我们可以通过转化思路解题：第一步，先找所有到$l_1$距离为2的点，这类点都在两条平行于$l_1$、且到$l_1$距离为2的直线上；第二步，找所有到$l_2$距离为3的点，这类点都在两条平行于$l_2$、且到$l_2$距离为3的直线上；最后两组平行线的交点就是同时满足两个距离要求的点，数交点个数即可得到结果。
【解析】
1. 两条相交直线$l_1$、$l_2$把平面分成4个区域，到直线$l_1$距离等于2的点，分布在与$l_1$平行、且分别在$l_1$两侧的两条直线上，记为$m_1$、$m_2$。
2. 同理，到直线$l_2$距离等于3的点，分布在与$l_2$平行、且分别在$l_2$两侧的两条直线上，记为$n_1$、$n_2$。
3. 因为$l_1$和$l_2$相交，所以$m_1$、$m_2$和$n_1$、$n_2$互不平行，每条$m$类直线和每条$n$类直线都有1个交点，总共有$2×2=4$个交点。
4. 这4个交点到$l_1$的距离都是2，到$l_2$的距离都是3，完全符合“距离坐标”为$(2,3)$的要求。
【答案】
4个
【知识点】
点到直线的距离，平行线的性质，新定义理解
【点评】
本题属于新定义题型，解题核心是将陌生的新定义问题转化为已学的平行线、点到直线距离相关问题，需要注意不要遗漏直线两侧的符合要求的点，避免漏算个数。
【难度系数】
0.65
首先要准确理解新定义“距离坐标”的含义：点到两条相交直线$l_1$、$l_2$的距离分别对应坐标的两个数值。我们可以通过转化思路解题：第一步，先找所有到$l_1$距离为2的点，这类点都在两条平行于$l_1$、且到$l_1$距离为2的直线上；第二步，找所有到$l_2$距离为3的点，这类点都在两条平行于$l_2$、且到$l_2$距离为3的直线上；最后两组平行线的交点就是同时满足两个距离要求的点，数交点个数即可得到结果。
【解析】
1. 两条相交直线$l_1$、$l_2$把平面分成4个区域，到直线$l_1$距离等于2的点，分布在与$l_1$平行、且分别在$l_1$两侧的两条直线上，记为$m_1$、$m_2$。
2. 同理，到直线$l_2$距离等于3的点，分布在与$l_2$平行、且分别在$l_2$两侧的两条直线上，记为$n_1$、$n_2$。
3. 因为$l_1$和$l_2$相交，所以$m_1$、$m_2$和$n_1$、$n_2$互不平行，每条$m$类直线和每条$n$类直线都有1个交点，总共有$2×2=4$个交点。
4. 这4个交点到$l_1$的距离都是2，到$l_2$的距离都是3，完全符合“距离坐标”为$(2,3)$的要求。
【答案】
4个
【知识点】
点到直线的距离，平行线的性质，新定义理解
【点评】
本题属于新定义题型，解题核心是将陌生的新定义问题转化为已学的平行线、点到直线距离相关问题，需要注意不要遗漏直线两侧的符合要求的点，避免漏算个数。
【难度系数】
0.65
2. 如图,在长方形台球桌面上,如果$∠1=∠2,∠1=30°$,那么$∠3$等于多少度?$∠1$与$∠3$有什么关系?
答案
2. $∠3=60°$. $∠1+∠3=90°$,即$∠1$与$∠3$互余.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，长方形台球桌的上边缘与图中的竖直垂线互相垂直，可得∠2与∠3的和为90°；结合题目给出的∠1=∠2、∠1=30°的条件，先求出∠2的度数，再代入计算∠3的度数，最后计算∠1和∠3的角度和判断二者关系即可。
【解析】
解：
∵长方形相邻两边互相垂直，
∴桌面的上边缘与图中竖直垂线的夹角为直角，即$∠2+∠3=90°$。
已知$∠1=∠2$，$∠1=30°$，
∴$∠2=∠1=30°$，
代入得$∠3=90°-∠2=90°-30°=60°$。
又
∵$∠1+∠3=30°+60°=90°$，
∴$∠1$和$∠3$互余。
【答案】
$∠3=60°$，$∠1$与$∠3$互余（或$∠1+∠3=90°$）
【知识点】
长方形的性质，直角的定义，余角的定义
【点评】
本题结合生活中的台球击球场景考查角度计算，解题关键是找到图形中隐含的直角关系，属于基础的角度应用题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，长方形台球桌的上边缘与图中的竖直垂线互相垂直，可得∠2与∠3的和为90°；结合题目给出的∠1=∠2、∠1=30°的条件，先求出∠2的度数，再代入计算∠3的度数，最后计算∠1和∠3的角度和判断二者关系即可。
【解析】
解：
∵长方形相邻两边互相垂直，
∴桌面的上边缘与图中竖直垂线的夹角为直角，即$∠2+∠3=90°$。
已知$∠1=∠2$，$∠1=30°$，
∴$∠2=∠1=30°$，
代入得$∠3=90°-∠2=90°-30°=60°$。
又
∵$∠1+∠3=30°+60°=90°$，
∴$∠1$和$∠3$互余。
【答案】
$∠3=60°$，$∠1$与$∠3$互余（或$∠1+∠3=90°$）
【知识点】
长方形的性质，直角的定义，余角的定义
【点评】
本题结合生活中的台球击球场景考查角度计算，解题关键是找到图形中隐含的直角关系，属于基础的角度应用题型。
【难度系数】
0.8
四、动脑筋
[新定义题]在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,若$x_2 - x_1 = y_2 - y_1 ≠ 0$,则称点$A$与点$B$互为“对角点”,例如:点$A(-1,3)$,点$B(2,6)$,因为$2 - (-1) = 6 - 3 ≠ 0$,所以点$A$与点$B$互为“对角点”.
(1)若点$A$的坐标是$(4,-2)$,则在点$B_1(2,0),B_2(-1,-7),B_3(0,-6)$中,点$A$的“对角点”为点$\underline{\hspace{5cm}}$.
(2)若点$A$的坐标是$(-2,4)$,其“对角点”$B$在坐标轴上,求点$B$的坐标.
(3)若点$A(3,-1)$与点$B(m,n)$互为“对角点”,且$m,n$互为相反数,求点$B$的坐标.
[新定义题]在平面直角坐标系$xOy$中,点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$,若$x_2 - x_1 = y_2 - y_1 ≠ 0$,则称点$A$与点$B$互为“对角点”,例如:点$A(-1,3)$,点$B(2,6)$,因为$2 - (-1) = 6 - 3 ≠ 0$,所以点$A$与点$B$互为“对角点”.
(1)若点$A$的坐标是$(4,-2)$,则在点$B_1(2,0),B_2(-1,-7),B_3(0,-6)$中,点$A$的“对角点”为点$\underline{\hspace{5cm}}$.
(2)若点$A$的坐标是$(-2,4)$,其“对角点”$B$在坐标轴上,求点$B$的坐标.
(3)若点$A(3,-1)$与点$B(m,n)$互为“对角点”,且$m,n$互为相反数,求点$B$的坐标.
答案
解:(1)$B_2(-1,-7),B_3(0,-6)$
(2)①当点$B$在$x$轴上时,设$B(t,0)$. 由题意得$t-(-2)=0-4$,解得$t=-6$. $\therefore B(-6,0)$.
②当点$B$在$y$轴上时,设$B(0,b)$. 由题意得$0-(-2)=b-4$,解得$b=6$. $\therefore B(0,6)$.
综上所述,点$B$的坐标为$(-6,0)$或$(0,6)$.
(3)由题意得$m-3=n-(-1)$, $\therefore m=n+4$.
$\because m,n$互为相反数,
$\therefore m=-n$,即$n+4=-n$,
解得$n=-2$. $\therefore m=2$.
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(2,-2)$.
(2)①当点$B$在$x$轴上时,设$B(t,0)$. 由题意得$t-(-2)=0-4$,解得$t=-6$. $\therefore B(-6,0)$.
②当点$B$在$y$轴上时,设$B(0,b)$. 由题意得$0-(-2)=b-4$,解得$b=6$. $\therefore B(0,6)$.
综上所述,点$B$的坐标为$(-6,0)$或$(0,6)$.
(3)由题意得$m-3=n-(-1)$, $\therefore m=n+4$.
$\because m,n$互为相反数,
$\therefore m=-n$,即$n+4=-n$,
解得$n=-2$. $\therefore m=2$.
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(2,-2)$.
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“对角点”的定义：若两点横坐标的差等于纵坐标的差，且差不为0，则两点互为对角点。各小问解题思路如下：
(1) 分别计算3个B点与点A(4,-2)的横坐标差、纵坐标差，判断两个差是否相等且不为0，符合的即为A的对角点；
(2) 点B在坐标轴上，需分两种情况讨论：①B在x轴上时纵坐标为0，②B在y轴上时横坐标为0，分别设出B的坐标，根据对角点定义列方程求解即可；
(3) 首先根据对角点定义列出m和n的等量关系，再结合m、n互为相反数（即m=-n），联立两个等式求解m、n的值，即可得到B的坐标。
【解析】
(1) 已知点A坐标为$(4,-2)$，分别计算：
对于$B_1(2,0)$：横坐标差为$2-4=-2$，纵坐标差为$0-(-2)=2$，两个差不相等，故不是A的对角点；
对于$B_2(-1,-7)$：横坐标差为$-1-4=-5$，纵坐标差为$-7-(-2)=-5$，两个差相等且不为0，故是A的对角点；
对于$B_3(0,-6)$：横坐标差为$0-4=-4$，纵坐标差为$-6-(-2)=-4$，两个差相等且不为0，故是A的对角点。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点B在x轴上时，设B的坐标为$(t,0)$，根据对角点定义得：
$t-(-2)=0-4$
解得$t=-6$，即$B(-6,0)$；
② 当点B在y轴上时，设B的坐标为$(0,b)$，根据对角点定义得：
$0-(-2)=b-4$
解得$b=6$，即$B(0,6)$。
(3) 因为点$A(3,-1)$与$B(m,n)$互为对角点，根据定义得：
$m-3=n-(-1)$
整理得$m = n + 4$；
又因为m、n互为相反数，所以$m=-n$，代入上式得：
$n + 4 = -n$
解得$n=-2$，所以$m=-n=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{B_2(-1,-7),B_3(0,-6)}$
(2) $\boldsymbol{(-6,0)}$或$\boldsymbol{(0,6)}$
(3) $\boldsymbol{(2,-2)}$
【知识点】
新定义问题，平面直角坐标系点的特征，一元一次方程的应用
【点评】
本题以新定义“对角点”为载体，考查对新概念的理解应用能力，解题时需紧扣定义，结合坐标轴上点的坐标特征分类讨论，联立等量关系列方程求解，能有效锻炼审题能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“对角点”的定义：若两点横坐标的差等于纵坐标的差，且差不为0，则两点互为对角点。各小问解题思路如下：
(1) 分别计算3个B点与点A(4,-2)的横坐标差、纵坐标差，判断两个差是否相等且不为0，符合的即为A的对角点；
(2) 点B在坐标轴上，需分两种情况讨论：①B在x轴上时纵坐标为0，②B在y轴上时横坐标为0，分别设出B的坐标，根据对角点定义列方程求解即可；
(3) 首先根据对角点定义列出m和n的等量关系，再结合m、n互为相反数（即m=-n），联立两个等式求解m、n的值，即可得到B的坐标。
【解析】
(1) 已知点A坐标为$(4,-2)$，分别计算：
对于$B_1(2,0)$：横坐标差为$2-4=-2$，纵坐标差为$0-(-2)=2$，两个差不相等，故不是A的对角点；
对于$B_2(-1,-7)$：横坐标差为$-1-4=-5$，纵坐标差为$-7-(-2)=-5$，两个差相等且不为0，故是A的对角点；
对于$B_3(0,-6)$：横坐标差为$0-4=-4$，纵坐标差为$-6-(-2)=-4$，两个差相等且不为0，故是A的对角点。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点B在x轴上时，设B的坐标为$(t,0)$，根据对角点定义得：
$t-(-2)=0-4$
解得$t=-6$，即$B(-6,0)$；
② 当点B在y轴上时，设B的坐标为$(0,b)$，根据对角点定义得：
$0-(-2)=b-4$
解得$b=6$，即$B(0,6)$。
(3) 因为点$A(3,-1)$与$B(m,n)$互为对角点，根据定义得：
$m-3=n-(-1)$
整理得$m = n + 4$；
又因为m、n互为相反数，所以$m=-n$，代入上式得：
$n + 4 = -n$
解得$n=-2$，所以$m=-n=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{B_2(-1,-7),B_3(0,-6)}$
(2) $\boldsymbol{(-6,0)}$或$\boldsymbol{(0,6)}$
(3) $\boldsymbol{(2,-2)}$
【知识点】
新定义问题，平面直角坐标系点的特征，一元一次方程的应用
【点评】
本题以新定义“对角点”为载体，考查对新概念的理解应用能力，解题时需紧扣定义，结合坐标轴上点的坐标特征分类讨论，联立等量关系列方程求解，能有效锻炼审题能力和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.7
