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10. 若关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 3x + p = 0(p ≠ 0) $有两个不相等的实数根，且两根分别为$ a, b $，且$ a^2 - ab + b^2 = 18 $，则$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$的值为（
A.3
B.$-3$
C.5
D.$-5$
D
）.A.3
B.$-3$
C.5
D.$-5$
答案
10. D
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：1. 先根据韦达定理得到两根之和$a+b$、两根之积$ab$与参数$p$的关系；2. 将已知条件$a^2 - ab + b^2=18$用完全平方公式变形为含$a+b$、$ab$的式子，代入后求出$p$的值，即可得到$ab$的数值；3. 将所求代数式$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$通分变形为含$a+b$、$ab$的式子，代入数值计算即可，注意计算后要验证方程是否满足有两个不相等实数根的条件。
【解析】
解：
∵$a$、$b$是一元二次方程$x^2 - 3x + p = 0$的两个不相等实数根
∴根据根与系数的关系可得：
$a+b=3$，$ab=p$
对$a^2 - ab + b^2$变形可得：
$a^2 - ab + b^2=(a+b)^2 - 3ab$
将$a+b=3$，$ab=p$，$a^2 - ab + b^2=18$代入得：
$3^2 - 3p = 18$
$9 - 3p = 18$
解得$p=-3$，即$ab=-3$
再对所求代数式变形：
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}$
将$a+b=3$，$ab=-3$代入得：
$\frac{3^2 - 2×(-3)}{-3} = \frac{9 + 6}{-3} = \frac{15}{-3} = -5$
验证：此时方程判别式$\Delta=(-3)^2 - 4×1×(-3)=9 + 12=21＞0$，符合方程有两个不相等实数根的条件。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式变形应用
【点评】
本题是一元二次方程求值类的典型题型，核心是利用韦达定理将代数式转化为两根之和、两根之积的形式，无需直接求解方程的根即可快速计算结果，解题时要注意结合题目给出的根的性质验证所得参数是否符合要求。
【难度系数】
0.6
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：1. 先根据韦达定理得到两根之和$a+b$、两根之积$ab$与参数$p$的关系；2. 将已知条件$a^2 - ab + b^2=18$用完全平方公式变形为含$a+b$、$ab$的式子，代入后求出$p$的值，即可得到$ab$的数值；3. 将所求代数式$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$通分变形为含$a+b$、$ab$的式子，代入数值计算即可，注意计算后要验证方程是否满足有两个不相等实数根的条件。
【解析】
解：
∵$a$、$b$是一元二次方程$x^2 - 3x + p = 0$的两个不相等实数根
∴根据根与系数的关系可得：
$a+b=3$，$ab=p$
对$a^2 - ab + b^2$变形可得：
$a^2 - ab + b^2=(a+b)^2 - 3ab$
将$a+b=3$，$ab=p$，$a^2 - ab + b^2=18$代入得：
$3^2 - 3p = 18$
$9 - 3p = 18$
解得$p=-3$，即$ab=-3$
再对所求代数式变形：
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}$
将$a+b=3$，$ab=-3$代入得：
$\frac{3^2 - 2×(-3)}{-3} = \frac{9 + 6}{-3} = \frac{15}{-3} = -5$
验证：此时方程判别式$\Delta=(-3)^2 - 4×1×(-3)=9 + 12=21＞0$，符合方程有两个不相等实数根的条件。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 完全平方公式变形应用
【点评】
本题是一元二次方程求值类的典型题型，核心是利用韦达定理将代数式转化为两根之和、两根之积的形式，无需直接求解方程的根即可快速计算结果，解题时要注意结合题目给出的根的性质验证所得参数是否符合要求。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元.为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场要平均每天赢利1 200 元，则每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫应降价 $ x $ 元，请根据题意列出方程.(无需解方程)
11. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元.为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场要平均每天赢利1 200 元，则每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫应降价 $ x $ 元，请根据题意列出方程.(无需解方程)
答案
11. $(40-x)(20+2x)=1200$
解析
【分析】
解决这道题首先要明确销售问题的核心等量关系：总盈利=每件商品的盈利×销售总数量。我们可以分两步推导所需的量：第一步，计算降价x元后每件衬衫的盈利，原本每件盈利40元，降价x元后单件盈利就减少x元；第二步，计算降价x元后的总销售量，原本每天卖20件，每降价1元多卖2件，降价x元就多卖2x件，最后把两个量相乘等于总盈利1200元即可列出方程。
【解析】
设每件衬衫应降价x元：
1. 降价后每件衬衫的盈利为：$(40 - x)$ 元
2. 降价后每天的总销售量为：原本的20件加上多售出的2x件，即$(20 + 2x)$ 件
3. 根据“总盈利=单件盈利×销售量”，且总盈利要求为1200元，代入可得方程：
$(40-x)(20+2x)=1200$
【答案】
$(40-x)(20+2x)=1200$
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用问题，解题的关键是找准核心等量关系，准确梳理降价对单件利润和销售量的影响，正确表示出对应未知量即可顺利列出方程，属于方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确销售问题的核心等量关系：总盈利=每件商品的盈利×销售总数量。我们可以分两步推导所需的量：第一步，计算降价x元后每件衬衫的盈利，原本每件盈利40元，降价x元后单件盈利就减少x元；第二步，计算降价x元后的总销售量，原本每天卖20件，每降价1元多卖2件，降价x元就多卖2x件，最后把两个量相乘等于总盈利1200元即可列出方程。
【解析】
设每件衬衫应降价x元：
1. 降价后每件衬衫的盈利为：$(40 - x)$ 元
2. 降价后每天的总销售量为：原本的20件加上多售出的2x件，即$(20 + 2x)$ 件
3. 根据“总盈利=单件盈利×销售量”，且总盈利要求为1200元，代入可得方程：
$(40-x)(20+2x)=1200$
【答案】
$(40-x)(20+2x)=1200$
【知识点】
销售利润计算，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的销售类实际应用问题，解题的关键是找准核心等量关系，准确梳理降价对单件利润和销售量的影响，正确表示出对应未知量即可顺利列出方程，属于方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
12. 某校学生参加募捐活动，甲班学生共捐款840元，乙班学生共捐款1000元，乙班学生的人均捐款金额比甲班学生的人均捐款金额多5元，且乙班比甲班少2人.分别求甲班和乙班的学生数.
答案
12. 甲班有42人，乙班有40人
解析
【分析】
这是一道典型的分式方程应用题，解题首先要明确三个核心量的关系：人均捐款=总捐款金额÷班级人数。首先梳理已知条件：甲班总捐款840元，乙班总捐款1000元，乙班人数比甲班少2人，乙班人均捐款比甲班多5元。我们可以先设甲班人数为未知数，用含未知数的式子表示乙班人数，再根据“乙班人均捐款 - 甲班人均捐款=5元”这个等量关系列方程，求解后要注意检验解是否符合实际意义、是否为分式方程的增根。
【解析】
解：设甲班有$ x $名学生，则乙班有$ (x-2) $名学生。
根据题意，乙班人均捐款比甲班多5元，可列方程：
$\frac{1000}{x-2} - \frac{840}{x} = 5$
方程两边同时乘以最简公分母$ x(x-2) $去分母，得：
$1000x - 840(x-2) = 5x(x-2)$
展开并整理：
$1000x - 840x + 1680 = 5x^2 - 10x$
$5x^2 - 170x - 1680 = 0$
两边同时除以5，化简为：
$x^2 - 34x - 336 = 0$
因式分解得：
$(x - 42)(x + 8) = 0$
解得：$ x_1=42 $，$ x_2=-8 $。
检验：① 人数不能为负数，故舍去$ x=-8 $；② 当$ x=42 $时，$ x(x-2)=42×40=1680≠0 $，所以$ x=42 $是原分式方程的解。
则乙班人数为：$ x-2=42-2=40 $（人）。
【答案】
甲班有42人，乙班有40人
【知识点】
列分式方程解应用题、一元二次方程求解、分式方程验根
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是准确抓住人均捐款的差值这一等量关系列方程，求解后要注意双重检验：既要检验解是否满足原方程，也要检验解是否符合实际情境的要求。
【难度系数】
0.7
这是一道典型的分式方程应用题，解题首先要明确三个核心量的关系：人均捐款=总捐款金额÷班级人数。首先梳理已知条件：甲班总捐款840元，乙班总捐款1000元，乙班人数比甲班少2人，乙班人均捐款比甲班多5元。我们可以先设甲班人数为未知数，用含未知数的式子表示乙班人数，再根据“乙班人均捐款 - 甲班人均捐款=5元”这个等量关系列方程，求解后要注意检验解是否符合实际意义、是否为分式方程的增根。
【解析】
解：设甲班有$ x $名学生，则乙班有$ (x-2) $名学生。
根据题意，乙班人均捐款比甲班多5元，可列方程：
$\frac{1000}{x-2} - \frac{840}{x} = 5$
方程两边同时乘以最简公分母$ x(x-2) $去分母，得：
$1000x - 840(x-2) = 5x(x-2)$
展开并整理：
$1000x - 840x + 1680 = 5x^2 - 10x$
$5x^2 - 170x - 1680 = 0$
两边同时除以5，化简为：
$x^2 - 34x - 336 = 0$
因式分解得：
$(x - 42)(x + 8) = 0$
解得：$ x_1=42 $，$ x_2=-8 $。
检验：① 人数不能为负数，故舍去$ x=-8 $；② 当$ x=42 $时，$ x(x-2)=42×40=1680≠0 $，所以$ x=42 $是原分式方程的解。
则乙班人数为：$ x-2=42-2=40 $（人）。
【答案】
甲班有42人，乙班有40人
【知识点】
列分式方程解应用题、一元二次方程求解、分式方程验根
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是准确抓住人均捐款的差值这一等量关系列方程，求解后要注意双重检验：既要检验解是否满足原方程，也要检验解是否符合实际情境的要求。
【难度系数】
0.7
