1. 若关于$x$的方程$\dfrac{m - 1}{x - 1} - \dfrac{x}{x - 1} = 0$有增根，则$m=$______.

1. 2

【分析】
本题考查分式方程增根的应用，解题思路如下：首先明确增根的性质：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时会使原分式方程的分母为0。第一步先确定原方程的增根：令原方程分母$x-1=0$，得增根为$x=1$；第二步将原分式方程去分母转化为整式方程；第三步将增根代入整式方程，即可求出$m$的值。
【解析】
1. 确定增根：原方程的分母为$x-1$，分式方程有增根时分母为0，即$x-1=0$，解得增根为$x=1$。
2. 去分母化为整式方程：方程两边同时乘以$(x-1)$（$x≠1$时变形成立），得：
$m-1 - x = 0$
3. 代入增根求$m$：因为$x=1$是去分母后整式方程的根，将$x=1$代入上式：
$m-1 - 1 = 0$
解得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程；代入求值
【点评】
本题是分式方程增根问题的基础题型，解题核心是牢记增根的两个特征，熟练掌握分式方程去分母的操作，就能快速完成求解。
【难度系数】
0.75

2. 若$x^2 - x - 1 = 0$，则$-x^3 + 2x^2 + 2012$的值为________.

2. 2013

【分析】
本题已知关于x的二次方程，要求含x的三次代数式的值，直接求解x再代入计算非常繁琐，适合用降次整体代入的方法解题。首先从已知方程整理得到$x^2=x+1$，再将所求代数式中的三次项$x^3$转化为$x· x^2$，逐步用$x+1$替换$x^2$，将三次式降为低次式，化简后即可求出结果。
【解析】
已知$x^2 - x - 1 = 0$，移项可得：
$x^2 = x + 1$ ①
对所求代数式变形，将$x^3$拆分为$x· x^2$，代入①式降次：
$\begin{aligned}-x^3 + 2x^2 + 2012&=-x· x^2 + 2x^2 + 2012\\&=-x(x+1) + 2(x+1) + 2012\\&=-x^2 -x + 2x + 2 + 2012\\&=-x^2 + x + 2014\end{aligned}$
再次将①式代入上式，替换$x^2$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-(x+1) + x + 2014\\&=-x -1 + x + 2014\\&=2013\end{aligned}$
【答案】
2013
【知识点】
代数式求值、整体代入法、整式化简
【点评】
本题是整式运算中的常考题型，解题关键是无需计算x的具体取值，通过降次思路利用已知条件将高次项转化为低次项，整体代入化简即可得到结果，能有效考查学生对代数式变形技巧的掌握程度。
【难度系数】
0.7

3. 解方程$\dfrac{x}{x^2 - 1} + \dfrac{x^2 - 1}{3x} = \dfrac{4}{3}$时，设$y = \dfrac{x}{x^2 - 1}$，则原方程化成关于$y$的整式方程是________.

3. $3y^2 - 4y + 1 = 0$

【分析】
这道题考查用换元法化简分式方程，解题思路如下：1. 先观察原方程中两个分式的结构，发现$\dfrac{x}{x^2 - 1}$和$\dfrac{x^2 - 1}{x}$互为倒数，题目已经给出换元$y = \dfrac{x}{x^2 - 1}$，那么$\dfrac{x^2 - 1}{x} = \dfrac{1}{y}$；2. 将换元后的式子代入原方程，把原方程转化为只含$y$的分式方程；3. 给分式方程两边同时乘最简公分母消去分母，整理即可得到关于$y$的整式方程。
【解析】
解：已知设$y = \dfrac{x}{x^2 - 1}$，则$\dfrac{x^2 - 1}{x} = \dfrac{1}{y}$，因此$\dfrac{x^2 - 1}{3x} = \dfrac{1}{3y}$。
将上述关系代入原方程，可得：
$y + \dfrac{1}{3y} = \dfrac{4}{3}$
由于原方程是分式方程，分母不为0，因此$y ≠ 0$，给方程两边同时乘最简公分母$3y$去分母，得：
$3y · y + 3y · \dfrac{1}{3y} = \dfrac{4}{3} · 3y$
化简得：$3y^2 + 1 = 4y$
移项整理为标准整式方程形式：$3y^2 - 4y + 1 = 0$
【答案】
$3y^2 - 4y + 1 = 0$
【知识点】
换元法解分式方程；分式方程去分母
【点评】
本题重点考查换元法的应用，核心是观察到方程中两个分式互为倒数的结构特征，通过换元可以简化计算，避免直接去分母产生高次方程，是分式方程化简的常用技巧。
【难度系数】
0.7

4. 方程$\dfrac{6}{x^2 - 1} - 1 = \dfrac{3}{x - 1}$的根为$\underline{\hspace{5cm}}$.

4. $x=-4$

【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题思路遵循解分式方程的通用步骤：①先确定分式有意义的条件，排除使分母为0的x的取值；②找到最简公分母，通过方程两边同乘最简公分母去掉分母，将分式方程转化为整式方程；③解整式方程得到候选根；④将候选根代入检验，舍去增根后得到原方程的根。本题中分母$x^2-1$可利用平方差公式分解为$(x+1)(x-1)$，因此最简公分母为$(x+1)(x-1)$。
【解析】
解：要使分式有意义，则$x^2-1≠0$且$x-1≠0$，即$x≠\pm1$。
方程两边同时乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：
$6 - (x^2 - 1) = 3(x + 1)$
展开并整理方程：
$6 - x^2 + 1 = 3x + 3$
$ -x^2 - 3x + 4 = 0$
变形得：$x^2 + 3x - 4 = 0$
因式分解得：$(x + 4)(x - 1) = 0$
解得：$x_1=-4$，$x_2=1$
检验：当$x=1$时，最简公分母$(x+1)(x-1)=0$，是增根，舍去；
当$x=-4$时，最简公分母不为0，代入原方程验证左边等于右边，符合题意。
【答案】
$x=-4$
【知识点】
解分式方程，增根检验，因式分解
【点评】
本题是分式方程求解的常规题型，核心考点是解分式方程的规范步骤，尤其需要注意的是，分式方程转化为整式方程的过程中可能产生增根，因此解完后必须进行检验，舍去使分母为0的增根。
【难度系数】
0.7

5. 某经济开发区今年1月工业产值达50亿元，第一季度工业产值达175亿元，2月和3月平均每月的增长率是多少？设2月和3月平均每月的增长率为$ x $，根据题意，可列方程________.

5. $50+50(1+x)+50(1+x)^2=175$

【分析】
这是一道平均增长率的实际应用问题，解题思路如下：首先明确第一季度的工业产值是1月、2月、3月产值的总和；其次分别用含增长率x的式子表示出2月、3月的工业产值；最后根据三个月产值之和等于175亿元列出方程即可。
【解析】
1. 1月工业产值已知为50亿元；
2. 因为2月相对1月的增长率为x，所以2月工业产值 = 1月产值×(1+增长率) = $50(1+x)$亿元；
3. 3月相对2月的增长率也为x，所以3月工业产值 = 2月产值×(1+增长率) = $50(1+x) × (1+x) = 50(1+x)^2$亿元；
4. 第一季度总产值为三个月产值之和，共175亿元，因此列方程为：
$50 + 50(1+x) + 50(1+x)^2 = 175$
【答案】
$50+50(1+x)+50(1+x)^2=175$
【知识点】
一元二次方程的应用；增长率问题
【点评】
本题是增长率类应用题的基础题型，解题核心是准确用含增长率的代数式表示出各阶段的对应量，需注意不要遗漏1月的产值，也不要误将3月产值写为$50(1+2x)$。
【难度系数】
0.7

6. 若两数和为－7，积为12，则这两个数是().

A.3和4
B.2和6
C.－3和－4
D.2和－9

6. C

【分析】
本题已知两数的和与积，求这两个数，可采用两种思路解题：一是验证排除法，作为选择题，可逐一核对各选项中两个数的和是否为-7、积是否为12，同时满足两个条件的即为正确答案；二是方程法，设其中一个数为x，根据两数和为-7表示出另一个数，再结合积为12列方程求解即可，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法一（验证排除法）：
依次核对各选项：
A选项：3+4=7≠-7，不符合和为-7的要求，排除；
B选项：2+6=8≠-7，不符合和为-7的要求，排除；
C选项：(-3)+(-4)=-7，(-3)×(-4)=12，同时满足和为-7、积为12的要求，符合题意；
D选项：2+(-9)=-7，但2×(-9)=-18≠12，不符合积为12的要求，排除。
方法二（方程法）：
设其中一个数为x，则另一个数为(-7-x)，根据两数积为12列方程：
$x(-7-x)=12$
整理得：$x^2+7x+12=0$
因式分解得：$(x+3)(x+4)=0$
解得$x_1=-3$，$x_2=-4$
当$x=-3$时，另一个数为$-7-(-3)=-4$；当$x=-4$时，另一个数为$-7-(-4)=-3$，即两数为-3和-4。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数加法运算、有理数乘法运算、一元二次方程的应用
【点评】
本题难度较低，两种解题方法都很容易掌握，选择代入排除法解答能有效提升解题速度，主要考查学生基础运算能力和简单的方程应用能力。
【难度系数】
0.9

7. 要使分式$\dfrac{x^2 - 5x + 4}{x - 4}$的值为0，则$x=$().

A.1
B.4或1
C.4
D.$-4$或$-1$

7. A

【分析】
要解决分式值为0的问题，首先要明确分式值为0需同时满足两个条件：一是分子的值为0，二是分母的值不为0，二者缺一不可。解题时先求解分子等于0时x的所有取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩余的就是正确结果。
【解析】
第一步：令分子等于0，列方程求解x的可能取值
$x^2 - 5x + 4 = 0$
对左边因式分解得：$(x-1)(x-4)=0$
解得：$x=1$ 或 $x=4$
第二步：根据分母不为0的条件筛选解
分式的分母为$x-4$，若分母为0分式无意义，因此$x-4≠0$，即$x≠4$
第三步：舍去不符合要求的解$x=4$，最终得$x=1$
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
分式值为零的条件、因式分解解一元二次方程、分式有意义的条件
【点评】
本题属于分式相关的基础题，易错点是解题时只考虑分子为0的要求，忽略分母不能为0的限制，容易误选B选项，解题时需注意两个条件要同时验证。
【难度系数】
0.7

8. 若$(a^2 - a - 2)x^2 + ax + b = 0$是关于$x$的一元二次方程，则需满足的条件是（）.

A.$a ≠ -2$且$a = 1$
B.$a ≠ 2$
C.$a ≠ 2$且$a ≠ -1$
D.$a ≠ -1$

8. C

【分析】
要判定一个方程是关于x的一元二次方程，需满足三个条件：只含一个未知数x、x的最高次数为2、二次项系数不为0。本题给出的方程已经满足前两个条件，因此只需保证二次项系数不等于0即可，接下来通过求解二次项系数不等于0的不等式，就能得到a的取值范围。
【解析】
根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，可得：
$a^2 - a - 2 ≠ 0$
对左边的式子因式分解：
$a^2 - a - 2 = (a - 2)(a + 1)$
因此不等式转化为：
$(a - 2)(a + 1) ≠ 0$
要使乘积不为0，则两个因式都不能为0，即：
$a - 2 ≠ 0$ 且 $a + 1 ≠ 0$
解得 $a ≠ 2$ 且 $a ≠ -1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；因式分解；不等式求解
【点评】
本题是基础概念题，核心考点是一元二次方程的成立条件，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的要求，只要牢记定义、正确因式分解即可快速解题。
【难度系数】
0.8

9. 已知关于 $ x $ 的方程 $ kx^2 + (1 - k)x - 1 = 0 $，下列说法正确的是( ).

A.当 $ k = 0 $ 时，方程无解
B.当 $ k = 1 $ 时，方程只有一个实数根
C.当 $ k = -1 $ 时，方程有两个相等的实数根
D.当 $ k ≠ 0 $ 时，方程总有两个不相等的实数根

9. C

【分析】
本题考查含参数的方程根的情况判断，解题时需分类讨论：当k=0时，方程为一元一次方程，可直接求解判断根的情况；当k≠0时，方程为一元二次方程，可通过计算根的判别式Δ=b²-4ac的值判断根的个数，我们只需逐个验证每个选项的说法是否正确即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
1. 选项A：当k=0时，原方程化简为x-1=0，解得x=1，方程有解，故A错误；
2. 选项B：当k=1时，原方程化简为x²-1=0，因式分解得(x+1)(x-1)=0，解得x₁=1，x₂=-1，方程有两个不相等的实数根，故B错误；
3. 选项C：当k=-1时，原方程化简为-x²+2x-1=0，整理得x²-2x+1=0，根的判别式Δ=(-2)²-4×1×1=0，因此方程有两个相等的实数根，故C正确；
4. 选项D：当k≠0时，原方程为一元二次方程，根的判别式Δ=(1-k)²-4×k×(-1)=k²+2k+1=(k+1)²≥0，当k=-1时Δ=0，方程有两个相等的实数根，并非总有两个不相等的实数根，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的解；一元二次方程根的判别式；分类讨论思想
【点评】
解答本题的核心是不要默认方程为一元二次方程，要先根据参数k的取值分类讨论，分别判断一元一次方程、一元二次方程的根的情况，同时要熟练掌握根的判别式与根的个数的对应关系。
【难度系数】
0.7