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10. 关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - mx + \frac{m^2 - 1}{4} = 0 $ 的较大实数根与较小实数根之差是(
A.0
B.1
C.$ m $
D.$ m + 1 $
B
).A.0
B.1
C.$ m $
D.$ m + 1 $
答案
10. B
解析
【分析】
要计算方程两个实数根的差，我们可以先求出方程的两个根，再用较大根减去较小根即可。观察方程左边的结构，可以先通过配方法将其转化为平方差的形式，用因式分解法快速求解两根，这种方法计算量小，不容易出错，也可以用求根公式直接计算两根，两种方法都能得到最终结果。
【解析】
解法：因式分解法
首先对原方程变形：
$x^2 - mx + \frac{m^2}{4} - \frac{1}{4} = 0$
即 $(x - \frac{m}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = 0$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$，因式分解得：
$(x - \frac{m}{2} - \frac{1}{2})(x - \frac{m}{2} + \frac{1}{2}) = 0$
解得两个实数根：
$x_1 = \frac{m+1}{2}$，$x_2 = \frac{m-1}{2}$
显然$x_1 ＞ x_2$，则较大根与较小根的差为：
$x_1 - x_2 = \frac{m+1}{2} - \frac{m-1}{2} = \frac{(m+1)-(m-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法、平方差公式、代数式化简
【点评】
本题考查一元二次方程的求解及代数式运算，解题时灵活运用因式分解可简化计算过程，计算两根差值时含参数$m$的项会相互抵消，最终得到固定结果，解题需注意化简过程的准确性。
【难度系数】
0.8
要计算方程两个实数根的差，我们可以先求出方程的两个根，再用较大根减去较小根即可。观察方程左边的结构，可以先通过配方法将其转化为平方差的形式，用因式分解法快速求解两根，这种方法计算量小，不容易出错，也可以用求根公式直接计算两根，两种方法都能得到最终结果。
【解析】
解法：因式分解法
首先对原方程变形：
$x^2 - mx + \frac{m^2}{4} - \frac{1}{4} = 0$
即 $(x - \frac{m}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 = 0$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$，因式分解得：
$(x - \frac{m}{2} - \frac{1}{2})(x - \frac{m}{2} + \frac{1}{2}) = 0$
解得两个实数根：
$x_1 = \frac{m+1}{2}$，$x_2 = \frac{m-1}{2}$
显然$x_1 ＞ x_2$，则较大根与较小根的差为：
$x_1 - x_2 = \frac{m+1}{2} - \frac{m-1}{2} = \frac{(m+1)-(m-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法、平方差公式、代数式化简
【点评】
本题考查一元二次方程的求解及代数式运算，解题时灵活运用因式分解可简化计算过程，计算两根差值时含参数$m$的项会相互抵消，最终得到固定结果，解题需注意化简过程的准确性。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11. 一个长方形和正方形的面积相等，该长方形周长与正方形的周长之和为 54 cm，该长方形两邻边的差为 9 cm，则这个长方形的面积为多少？
11. 一个长方形和正方形的面积相等，该长方形周长与正方形的周长之和为 54 cm，该长方形两邻边的差为 9 cm，则这个长方形的面积为多少？
答案
11. $36\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
我们可以先设长方形较短的边长为未知数，结合两邻边差为9cm表示出长方形的长，再根据两者周长之和为54cm的条件，推导出正方形边长关于该未知数的表达式，最后利用长方形和正方形面积相等的等量关系列方程求解，最终计算出长方形的面积即可。
【解析】
解：设长方形的宽为$x\ \mathrm{cm}$，则长方形的长为$(x+9)\ \mathrm{cm}$。
1. 计算长方形周长：
$C_{\mathrm{长}}=2×(x + x+9)=4x+18$
2. 推导正方形边长：
已知$C_{\mathrm{长}}+C_{\mathrm{正}}=54\ \mathrm{cm}$，因此正方形周长$C_{\mathrm{正}}=54-(4x+18)=36-4x$，
正方形边长$a=\frac{C_{\mathrm{正}}}{4}=\frac{36-4x}{4}=9-x$。
3. 利用面积相等列方程求解：
因为长方形和正方形面积相等，因此$S_{\mathrm{长}}=S_{\mathrm{正}}$，即：
$x(x+9)=(9-x)^2$
展开得：$x^2+9x=81-18x+x^2$
消去$x^2$后移项合并：$27x=81$，解得$x=3$。
4. 计算长方形面积：
长方形的长为$3+9=12\ \mathrm{cm}$，面积$S=3×12=36\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$36\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
长方形正方形周长面积计算、完全平方公式、一元一次方程应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题的核心是理清长方形、正方形的周长、面积之间的数量关系，通过设未知数建立方程求解，思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
我们可以先设长方形较短的边长为未知数，结合两邻边差为9cm表示出长方形的长，再根据两者周长之和为54cm的条件，推导出正方形边长关于该未知数的表达式，最后利用长方形和正方形面积相等的等量关系列方程求解，最终计算出长方形的面积即可。
【解析】
解：设长方形的宽为$x\ \mathrm{cm}$，则长方形的长为$(x+9)\ \mathrm{cm}$。
1. 计算长方形周长：
$C_{\mathrm{长}}=2×(x + x+9)=4x+18$
2. 推导正方形边长：
已知$C_{\mathrm{长}}+C_{\mathrm{正}}=54\ \mathrm{cm}$，因此正方形周长$C_{\mathrm{正}}=54-(4x+18)=36-4x$，
正方形边长$a=\frac{C_{\mathrm{正}}}{4}=\frac{36-4x}{4}=9-x$。
3. 利用面积相等列方程求解：
因为长方形和正方形面积相等，因此$S_{\mathrm{长}}=S_{\mathrm{正}}$，即：
$x(x+9)=(9-x)^2$
展开得：$x^2+9x=81-18x+x^2$
消去$x^2$后移项合并：$27x=81$，解得$x=3$。
4. 计算长方形面积：
长方形的长为$3+9=12\ \mathrm{cm}$，面积$S=3×12=36\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$36\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
长方形正方形周长面积计算、完全平方公式、一元一次方程应用
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题的核心是理清长方形、正方形的周长、面积之间的数量关系，通过设未知数建立方程求解，思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
12. 关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$有实数根，若$b = 0$，则该方程的两根$x_1, x_2$之间有什么关系？
答案
12. 互为相反数
解析
【分析】
解题时可从两个思路切入：①先将b=0代入原一元二次方程，将方程简化后直接求根，观察两个根的特征判断关系；②利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接计算两根之和，结合b=0的条件推导关系。两种方法都能快速得到结论，优先选择根与系数的关系更简便。
【解析】
解：方法一：直接解方程推导
把b=0代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得：
$ax^2 + c = 0$
移项得：$ax^2 = -c$
∵方程有实数根，
∴$x^2=-\frac{c}{a}≥0$
开平方得：$x=±\sqrt{-\frac{c}{a}}$
即两根为$x_1=\sqrt{-\frac{c}{a}}$，$x_2=-\sqrt{-\frac{c}{a}}$
∴$x_1 + x_2 = 0$，即两根互为相反数。
方法二：利用根与系数的关系推导
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
已知$b=0$，代入得：$x_1+x_2=-\frac{0}{a}=0$
和为0的两个数互为相反数，因此该方程的两根互为相反数。
【答案】
互为相反数
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、相反数的定义、一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查一元二次方程的相关性质，两种解题方法都围绕b=0的核心条件展开，熟练掌握根与系数的关系可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.85
解题时可从两个思路切入：①先将b=0代入原一元二次方程，将方程简化后直接求根，观察两个根的特征判断关系；②利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接计算两根之和，结合b=0的条件推导关系。两种方法都能快速得到结论，优先选择根与系数的关系更简便。
【解析】
解：方法一：直接解方程推导
把b=0代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，可得：
$ax^2 + c = 0$
移项得：$ax^2 = -c$
∵方程有实数根，
∴$x^2=-\frac{c}{a}≥0$
开平方得：$x=±\sqrt{-\frac{c}{a}}$
即两根为$x_1=\sqrt{-\frac{c}{a}}$，$x_2=-\sqrt{-\frac{c}{a}}$
∴$x_1 + x_2 = 0$，即两根互为相反数。
方法二：利用根与系数的关系推导
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
已知$b=0$，代入得：$x_1+x_2=-\frac{0}{a}=0$
和为0的两个数互为相反数，因此该方程的两根互为相反数。
【答案】
互为相反数
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、相反数的定义、一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础类题目，重点考查一元二次方程的相关性质，两种解题方法都围绕b=0的核心条件展开，熟练掌握根与系数的关系可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.85
13. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + (2k + 1)x + k^2 - 2 = 0 $ 有实数根 $ x_1, x_2 $，且 $ x_1^2 + x_2^2 = 11 $。求 $ k $ 的值。
答案
13. 1
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心条件：一是方程有两个实数根，说明判别式Δ≥0，这是求解k的前提限制；二是已知两根的平方和，需要利用完全平方公式将其变形为两根之和与两根之积的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系，把两根和、两根积用含k的代数式表示，代入等量关系列方程求解，最后对求出的k值用判别式检验，舍去不符合条件的解即可。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程有两个实数根$x_1、x_2$
∴ 判别式$\Delta ≥ 0$
$\Delta=(2k+1)^2 - 4×1×(k^2 - 2)$
$=4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 + 8$
$=4k + 9 ≥ 0$
解得：$k ≥ -\frac{9}{4}$
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -(2k+1)$，$x_1x_2 = k^2 - 2$
∵ $x_1^2 + x_2^2 = 11$
又
∵ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入得：
$[-(2k+1)]^2 - 2(k^2 - 2) = 11$
展开整理：
$4k^2 + 4k + 1 - 2k^2 + 4 = 11$
$2k^2 + 4k - 6 = 0$
化简得：$k^2 + 2k - 3 = 0$
因式分解得：$(k + 3)(k - 1) = 0$
解得：$k_1 = -3$，$k_2 = 1$
∵ $k ≥ -\frac{9}{4}$，$-3 ＜ -\frac{9}{4}$，不符合条件，舍去
∴ $k = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的经典综合题型，解题的易错点是忽略方程有实根的前提条件，未对求出的k值进行判别式检验，导致出现增根，因此求解后一定要验证结果是否满足判别式的要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确两个核心条件：一是方程有两个实数根，说明判别式Δ≥0，这是求解k的前提限制；二是已知两根的平方和，需要利用完全平方公式将其变形为两根之和与两根之积的形式，再结合一元二次方程根与系数的关系，把两根和、两根积用含k的代数式表示，代入等量关系列方程求解，最后对求出的k值用判别式检验，舍去不符合条件的解即可。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程有两个实数根$x_1、x_2$
∴ 判别式$\Delta ≥ 0$
$\Delta=(2k+1)^2 - 4×1×(k^2 - 2)$
$=4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 + 8$
$=4k + 9 ≥ 0$
解得：$k ≥ -\frac{9}{4}$
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -(2k+1)$，$x_1x_2 = k^2 - 2$
∵ $x_1^2 + x_2^2 = 11$
又
∵ $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入得：
$[-(2k+1)]^2 - 2(k^2 - 2) = 11$
展开整理：
$4k^2 + 4k + 1 - 2k^2 + 4 = 11$
$2k^2 + 4k - 6 = 0$
化简得：$k^2 + 2k - 3 = 0$
因式分解得：$(k + 3)(k - 1) = 0$
解得：$k_1 = -3$，$k_2 = 1$
∵ $k ≥ -\frac{9}{4}$，$-3 ＜ -\frac{9}{4}$，不符合条件，舍去
∴ $k = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是一元二次方程的经典综合题型，解题的易错点是忽略方程有实根的前提条件，未对求出的k值进行判别式检验，导致出现增根，因此求解后一定要验证结果是否满足判别式的要求。
【难度系数】
0.6
14. 某中学向全体师生征集空地绿化方案，小刚对其中一块正方形空地的设计如图所示，中央绿地为长方形，且面积为 $24 \ \mathrm{m}^2$。如果设正方形空地的边长为 $x \ \mathrm{m}$，那么中央绿地的长为 $\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}$、宽为 $\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}$。（用含 $x$ 的代数式表示）根据题意，列方程 ______，并求出正方形空地的边长。
答案
14. $x-2$ $x-4$ $(x-2)(x-4)=24$ 正方形空地的边长为 $8\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
解题时先结合图形分析中央绿地和正方形空地的边长关系：水平方向上，绿地左右两侧各留1m宽的空地，因此绿地的长等于正方形边长减去左右共2m的长度；竖直方向上，绿地上下两侧各留2m宽的空地，因此绿地的宽等于正方形边长减去上下共4m的长度。再根据“长方形面积=长×宽”，结合已知绿地面积为24m²列方程，最后求解方程并根据边长为正的实际意义取舍根即可得到正方形边长。
【解析】
1. 求中央绿地的长：正方形边长为$x\ \mathrm{m}$，绿地左右各留1m，因此长为 $x - 1×2 = (x-2)\ \mathrm{m}$；
2. 求中央绿地的宽：绿地上下各留2m，因此宽为 $x - 2×2 = (x-4)\ \mathrm{m}$；
3. 列方程：已知绿地面积为$24\ \mathrm{m}^2$，由长方形面积公式可得：
$(x-2)(x-4)=24$
4. 解方程：
展开左边得 $x^2 - 6x + 8 = 24$，
移项整理得 $x^2 -6x -16 = 0$，
因式分解得 $(x-8)(x+2)=0$，
解得 $x_1=8$，$x_2=-2$，
因为空地边长不能为负数，故舍去$x=-2$，即正方形空地边长为$8\ \mathrm{m}$。
【答案】
$x-2$；$x-4$；$(x-2)(x-4)=24$；正方形空地的边长为$\boxed{8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；长方形面积计算
【点评】
本题结合实际设计场景考查几何图形中的方程应用，解题的核心是准确从图中提取长度关系表示出绿地的长和宽，求解方程后需注意结合实际意义排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合图形分析中央绿地和正方形空地的边长关系：水平方向上，绿地左右两侧各留1m宽的空地，因此绿地的长等于正方形边长减去左右共2m的长度；竖直方向上，绿地上下两侧各留2m宽的空地，因此绿地的宽等于正方形边长减去上下共4m的长度。再根据“长方形面积=长×宽”，结合已知绿地面积为24m²列方程，最后求解方程并根据边长为正的实际意义取舍根即可得到正方形边长。
【解析】
1. 求中央绿地的长：正方形边长为$x\ \mathrm{m}$，绿地左右各留1m，因此长为 $x - 1×2 = (x-2)\ \mathrm{m}$；
2. 求中央绿地的宽：绿地上下各留2m，因此宽为 $x - 2×2 = (x-4)\ \mathrm{m}$；
3. 列方程：已知绿地面积为$24\ \mathrm{m}^2$，由长方形面积公式可得：
$(x-2)(x-4)=24$
4. 解方程：
展开左边得 $x^2 - 6x + 8 = 24$，
移项整理得 $x^2 -6x -16 = 0$，
因式分解得 $(x-8)(x+2)=0$，
解得 $x_1=8$，$x_2=-2$，
因为空地边长不能为负数，故舍去$x=-2$，即正方形空地边长为$8\ \mathrm{m}$。
【答案】
$x-2$；$x-4$；$(x-2)(x-4)=24$；正方形空地的边长为$\boxed{8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；长方形面积计算
【点评】
本题结合实际设计场景考查几何图形中的方程应用，解题的核心是准确从图中提取长度关系表示出绿地的长和宽，求解方程后需注意结合实际意义排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
