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1. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2\sqrt{3}x + k = 0 $ 有两个相等的实数根，则 $ k $ 的值为 ______。
答案
1. 3
解析
【分析】
当题目给出一元二次方程根的情况时，首先考虑用一元二次方程根的判别式求解。我们知道，一元二次方程有两个相等的实数根等价于判别式Δ=0，接下来只需要确定方程中a、b、c的取值，代入判别式公式列方程，再求解即可得到k的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$x^2 - 2\sqrt{3}x + k = 0$中，$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=k$，结合题意$\Delta=0$可得：
$(-2\sqrt{3})^2 - 4×1× k = 0$
计算得：$12 - 4k = 0$
移项求解：$4k=12$，解得$k=3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需准确识别方程各项系数，计算带根号的平方运算时注意不要出错。
【难度系数】
0.9
当题目给出一元二次方程根的情况时，首先考虑用一元二次方程根的判别式求解。我们知道，一元二次方程有两个相等的实数根等价于判别式Δ=0，接下来只需要确定方程中a、b、c的取值，代入判别式公式列方程，再求解即可得到k的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$：
当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。
在方程$x^2 - 2\sqrt{3}x + k = 0$中，$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=k$，结合题意$\Delta=0$可得：
$(-2\sqrt{3})^2 - 4×1× k = 0$
计算得：$12 - 4k = 0$
移项求解：$4k=12$，解得$k=3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需准确识别方程各项系数，计算带根号的平方运算时注意不要出错。
【难度系数】
0.9
2. 若关于 $ x $ 的方程 $ ax^2 + 2(a + 2)x + a = 0 $ 有实数根，则实数 $ a $ 的取值范围是 ______。
答案
2. $a ≥ -1$
解析
【分析】
首先，题目没有明确说明方程是一元二次方程，因此需要分两种情况讨论：①当二次项系数a=0时，方程为一元一次方程，直接判断是否有实数根；②当a≠0时，方程为一元二次方程，根据方程有实数根可知判别式Δ≥0，代入系数计算求解a的范围，最后合并两种情况的结果即可得到a的总取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a = 0$时，原方程化简为$4x = 0$，解得$x = 0$，有实数根，符合题意；
2. 当$a ≠ 0$时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。
其中二次项系数为$a$，一次项系数$b = 2(a+2)$，常数项$c = a$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=[2(a+2)]^2 - 4 · a · a\\&=4(a^2 + 4a + 4) - 4a^2\\&=16a + 16\end{aligned}$
令$16a + 16 ≥ 0$，解得$a ≥ -1$，结合$a ≠ 0$的前提，此情况下$a$的取值范围是$a ≥ -1$且$a ≠ 0$。
综合两种情况，实数$a$的取值范围是$a ≥ -1$。
【答案】
$a ≥ -1$
【知识点】
1. 方程分类讨论
2. 根的判别式
3. 一元一次方程的解
【点评】
本题易错点是默认方程为一元二次方程，忽略$a=0$时方程为一元一次方程也可能有实根的情况，导致所求取值范围偏小。解题时遇到含参数的最高次项系数为参数的方程，要先分类讨论方程类型，再分别求解。
【难度系数】
0.7
首先，题目没有明确说明方程是一元二次方程，因此需要分两种情况讨论：①当二次项系数a=0时，方程为一元一次方程，直接判断是否有实数根；②当a≠0时，方程为一元二次方程，根据方程有实数根可知判别式Δ≥0，代入系数计算求解a的范围，最后合并两种情况的结果即可得到a的总取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a = 0$时，原方程化简为$4x = 0$，解得$x = 0$，有实数根，符合题意；
2. 当$a ≠ 0$时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$。
其中二次项系数为$a$，一次项系数$b = 2(a+2)$，常数项$c = a$，代入得：
$\begin{aligned}\Delta&=[2(a+2)]^2 - 4 · a · a\\&=4(a^2 + 4a + 4) - 4a^2\\&=16a + 16\end{aligned}$
令$16a + 16 ≥ 0$，解得$a ≥ -1$，结合$a ≠ 0$的前提，此情况下$a$的取值范围是$a ≥ -1$且$a ≠ 0$。
综合两种情况，实数$a$的取值范围是$a ≥ -1$。
【答案】
$a ≥ -1$
【知识点】
1. 方程分类讨论
2. 根的判别式
3. 一元一次方程的解
【点评】
本题易错点是默认方程为一元二次方程，忽略$a=0$时方程为一元一次方程也可能有实根的情况，导致所求取值范围偏小。解题时遇到含参数的最高次项系数为参数的方程，要先分类讨论方程类型，再分别求解。
【难度系数】
0.7
3. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^2 - x + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根，则 $ k $ 的取值范围是
______.
______.
答案
3. $k ＜ \dfrac{1}{4}$ 且 $k ≠ 0$
解析
【分析】
本题需要结合一元二次方程的定义和根的判别式两个知识点求解。首先题目明确说明是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0的条件，否则方程就不是一元二次方程；其次，方程有两个不相等的实数根，对应根的判别式Δ＞0，我们把方程的对应系数代入判别式列出不等式，解出k的范围后，取两个条件的公共部分就是最终的取值范围，注意不能遗漏k≠0的隐含要求。
【解析】
解：
∵ 方程$kx^2 - x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
在方程中$a = k$，$b = -1$，$c = 1$，代入判别式得：
$(-1)^2 - 4 × k × 1 ＞ 0$
$1 - 4k ＞ 0$
移项得：$-4k ＞ -1$
两边同时除以-4，不等号方向改变，解得：$k ＜ \frac{1}{4}$
综合两个条件可得k的取值范围。
【答案】
$k ＜ \dfrac{1}{4}$ 且 $k ≠ 0$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程相关的基础题型，核心考查对一元二次方程定义的理解和根的判别式的应用，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，解题时需先明确方程类型的限制条件，再结合根的情况列不等式求解。
【难度系数】
0.6
本题需要结合一元二次方程的定义和根的判别式两个知识点求解。首先题目明确说明是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0的条件，否则方程就不是一元二次方程；其次，方程有两个不相等的实数根，对应根的判别式Δ＞0，我们把方程的对应系数代入判别式列出不等式，解出k的范围后，取两个条件的公共部分就是最终的取值范围，注意不能遗漏k≠0的隐含要求。
【解析】
解：
∵ 方程$kx^2 - x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k ≠ 0$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$
在方程中$a = k$，$b = -1$，$c = 1$，代入判别式得：
$(-1)^2 - 4 × k × 1 ＞ 0$
$1 - 4k ＞ 0$
移项得：$-4k ＞ -1$
两边同时除以-4，不等号方向改变，解得：$k ＜ \frac{1}{4}$
综合两个条件可得k的取值范围。
【答案】
$k ＜ \dfrac{1}{4}$ 且 $k ≠ 0$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，不等式求解
【点评】
本题属于一元二次方程相关的基础题型，核心考查对一元二次方程定义的理解和根的判别式的应用，易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，解题时需先明确方程类型的限制条件，再结合根的情况列不等式求解。
【难度系数】
0.6
4. 若关于$ x $的方程$ x^2 + 2x + m = 0 $没有实数根，则$ m $的取值范围是
$m ＞ 1$
.答案
4. $m ＞ 1$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的情况与根的判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。本题中给出的方程是标准的一元二次方程，首先确定$a,b,c$的取值，再根据“没有实数根”的条件列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2x + m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=m$。
因为方程没有实数根，所以根的判别式满足$\Delta＜0$，即：
$\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4×1× m ＜ 0$
计算得：$4 - 4m ＜ 0$
移项得：$4 ＜ 4m$
两边同时除以4，得：$m ＞ 1$
【答案】
$m ＞ 1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是准确记忆不同根的情况对应的判别式的取值范围，解不等式时注意运算符号的正确性即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆一元二次方程根的情况与根的判别式的对应关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。本题中给出的方程是标准的一元二次方程，首先确定$a,b,c$的取值，再根据“没有实数根”的条件列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2x + m = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=m$。
因为方程没有实数根，所以根的判别式满足$\Delta＜0$，即：
$\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4×1× m ＜ 0$
计算得：$4 - 4m ＜ 0$
移项得：$4 ＜ 4m$
两边同时除以4，得：$m ＞ 1$
【答案】
$m ＞ 1$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是准确记忆不同根的情况对应的判别式的取值范围，解不等式时注意运算符号的正确性即可。
【难度系数】
0.8
5. 已知方程$2x^2 - 8x + 7 = 0$的两根恰好是一个直角三角形的两直角边长，则该三角形的斜边长为$\underline{\hspace{3em}}$.
答案
5. 3
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：方程的两根是直角三角形的两条直角边，目标是求斜边长。第一步回忆勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和；第二步回忆完全平方公式的变形，两数的平方和可以转化为两数和的平方减去两数积的2倍；第三步结合一元二次方程根与系数的关系，不需要求出两根的具体值，直接计算两根之和与两根之积，代入变形后的公式即可求出斜边的平方，再开方得到斜边长。
【解析】
设方程$2x^2 - 8x + 7 = 0$的两根为$a$、$b$，即直角三角形的两直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a + b = -\frac{-8}{2} = 4$，$ab = \frac{7}{2}$
根据勾股定理得：
$c^2 = a^2 + b^2$
由完全平方公式变形得$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，代入数值计算：
$c^2 = 4^2 - 2×\frac{7}{2} = 16 - 7 = 9$
因为边长为正数，所以$c = \sqrt{9} = 3$
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 勾股定理 3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，既可以通过直接求解方程得到两根再计算斜边，也可以通过根与系数的关系简化计算，考查学生对基础公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：方程的两根是直角三角形的两条直角边，目标是求斜边长。第一步回忆勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和；第二步回忆完全平方公式的变形，两数的平方和可以转化为两数和的平方减去两数积的2倍；第三步结合一元二次方程根与系数的关系，不需要求出两根的具体值，直接计算两根之和与两根之积，代入变形后的公式即可求出斜边的平方，再开方得到斜边长。
【解析】
设方程$2x^2 - 8x + 7 = 0$的两根为$a$、$b$，即直角三角形的两直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a + b = -\frac{-8}{2} = 4$，$ab = \frac{7}{2}$
根据勾股定理得：
$c^2 = a^2 + b^2$
由完全平方公式变形得$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，代入数值计算：
$c^2 = 4^2 - 2×\frac{7}{2} = 16 - 7 = 9$
因为边长为正数，所以$c = \sqrt{9} = 3$
【答案】
3
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 勾股定理 3. 完全平方公式变形
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，既可以通过直接求解方程得到两根再计算斜边，也可以通过根与系数的关系简化计算，考查学生对基础公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 下列一元二次方程中,以2，-3为根的是(
A.$x^2 + x + 6 = 0$
B.$x^2 + x - 6 = 0$
C.$x^2 - x + 6 = 0$
D.$x^2 - x - 6 = 0$
B
).A.$x^2 + x + 6 = 0$
B.$x^2 + x - 6 = 0$
C.$x^2 - x + 6 = 0$
D.$x^2 - x - 6 = 0$
答案
6. B
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系，已知两根可直接求出对应方程的一次项系数和常数项，快速锁定答案；思路2：利用方程根的定义，将两根逐一代入选项验证，两边相等的即为正确方程。优先选择思路1，解题效率更高。
【解析】
方法一：利用根与系数的关系求解
设二次项系数为1的一元二次方程为$x^2+px+q=0$，其两根为$x_1=2$，$x_2=-3$。
根据根与系数的关系：两根之和$x_1+x_2=-p$，两根之积$x_1x_2=q$。
计算得：$x_1+x_2=2+(-3)=-1$，因此$-p=-1$，即$p=1$；
$x_1x_2=2×(-3)=-6$，因此$q=-6$。
代入得方程为$x^2+x-6=0$，对应选项B。
方法二：代入验证法
根据方程根的定义，若x是方程的根，代入方程后左右两边相等。
将$x=2$代入各选项：
A选项：$2^2+2+6=12≠0$，不符合；
B选项：$2^2+2-6=0$，符合；
C选项：$2^2-2+6=8≠0$，不符合；
D选项：$2^2-2-6=-4≠0$，不符合。
再将$x=-3$代入B选项验证：$(-3)^2+(-3)-6=9-3-6=0$，也符合，因此B为正确选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法都需要熟练掌握，使用根与系数的关系解题时要注意一次项系数的符号不要出错，代入验证法适合对根与系数关系不熟悉的同学使用，正确率更高。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系，已知两根可直接求出对应方程的一次项系数和常数项，快速锁定答案；思路2：利用方程根的定义，将两根逐一代入选项验证，两边相等的即为正确方程。优先选择思路1，解题效率更高。
【解析】
方法一：利用根与系数的关系求解
设二次项系数为1的一元二次方程为$x^2+px+q=0$，其两根为$x_1=2$，$x_2=-3$。
根据根与系数的关系：两根之和$x_1+x_2=-p$，两根之积$x_1x_2=q$。
计算得：$x_1+x_2=2+(-3)=-1$，因此$-p=-1$，即$p=1$；
$x_1x_2=2×(-3)=-6$，因此$q=-6$。
代入得方程为$x^2+x-6=0$，对应选项B。
方法二：代入验证法
根据方程根的定义，若x是方程的根，代入方程后左右两边相等。
将$x=2$代入各选项：
A选项：$2^2+2+6=12≠0$，不符合；
B选项：$2^2+2-6=0$，符合；
C选项：$2^2-2+6=8≠0$，不符合；
D选项：$2^2-2-6=-4≠0$，不符合。
再将$x=-3$代入B选项验证：$(-3)^2+(-3)-6=9-3-6=0$，也符合，因此B为正确选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法都需要熟练掌握，使用根与系数的关系解题时要注意一次项系数的符号不要出错，代入验证法适合对根与系数关系不熟悉的同学使用，正确率更高。
【难度系数】
0.8
7. 下列说法正确的是(
A.方程$ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0$是关于$x$，$y$的一元二次方程
B.方程$3x^2 + 5x - 4 = 0$没有实数根
C.当一元二次方程的一次项系数为0时，方程总有非零实数根
D.若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根
D
).A.方程$ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0$是关于$x$，$y$的一元二次方程
B.方程$3x^2 + 5x - 4 = 0$没有实数根
C.当一元二次方程的一次项系数为0时，方程总有非零实数根
D.若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根
答案
7. D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程相关的基础知识点，解题思路如下：首先回忆一元二次方程的定义、根的判别式、方程根的判定规则，再对四个选项逐一验证，错误选项可通过举反例快速排除，正确选项需结合定义确认。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：一元二次方程要求只含有1个未知数，且未知数最高次数为2，该方程含有x、y两个未知数，同时未说明a、b不为0，不符合一元二次方程的定义，故A错误。
B选项：对于方程$3x^2+5x-4=0$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac = 5^2 - 4×3×(-4) = 25+48=73＞0$，方程有两个不相等的实数根，故B错误。
C选项：当一元二次方程一次项系数为0时，比如方程$x^2+1=0$，其$\Delta=0-4×1×1=-4＜0$，没有实数根，故C错误。
D选项：常数项为0的一元二次方程可写为$ax^2+bx=0$（$a≠0$），将$x=0$代入方程左边，得$a×0^2 + b×0=0$，和右边相等，因此0必是方程的一个根，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；方程的根
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是对一元二次方程相关性质的准确掌握，解题时可通过举反例的方法快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程相关的基础知识点，解题思路如下：首先回忆一元二次方程的定义、根的判别式、方程根的判定规则，再对四个选项逐一验证，错误选项可通过举反例快速排除，正确选项需结合定义确认。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：一元二次方程要求只含有1个未知数，且未知数最高次数为2，该方程含有x、y两个未知数，同时未说明a、b不为0，不符合一元二次方程的定义，故A错误。
B选项：对于方程$3x^2+5x-4=0$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac = 5^2 - 4×3×(-4) = 25+48=73＞0$，方程有两个不相等的实数根，故B错误。
C选项：当一元二次方程一次项系数为0时，比如方程$x^2+1=0$，其$\Delta=0-4×1×1=-4＜0$，没有实数根，故C错误。
D选项：常数项为0的一元二次方程可写为$ax^2+bx=0$（$a≠0$），将$x=0$代入方程左边，得$a×0^2 + b×0=0$，和右边相等，因此0必是方程的一个根，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式；方程的根
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心是对一元二次方程相关性质的准确掌握，解题时可通过举反例的方法快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
8. 若$ c ＜ 0 $，则关于$ x $的一元二次方程$ 5x^2 + 3x + c = 0 $的根的情况是(
A.两个实数根一正一负，且正根大于负根的绝对值
B.两个实数根一正一负，且负根的绝对值大于正根
C.没有实数根
D.有两个负实数根
B
).A.两个实数根一正一负，且正根大于负根的绝对值
B.两个实数根一正一负，且负根的绝对值大于正根
C.没有实数根
D.有两个负实数根
答案
8. B
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，第一步先通过判别式Δ判断是否存在实数根；若有实根，再结合根与系数的关系，通过两根之积的符号判断根的正负，通过两根之和的符号判断两根绝对值的大小关系。首先代入系数计算判别式，结合c＜0的条件确定Δ的符号，再计算两根和与两根积的符号，逐步推导即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$5x^2 + 3x + c = 0$，其中$a=5$，$b=3$，常数项为$c$：
1. 计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×5× c = 9 - 20c$
已知$c＜0$，则$-20c＞0$，因此$\Delta = 9 + (\mathrm{正数}) ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，排除选项C。
2. 设方程两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系：
两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{c}{5}$，因为$c＜0$，所以$x_1x_2＜0$，说明两根异号，即一正一负，排除选项D。
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{5} ＜ 0$，异号两数相加结果为负，说明负数的绝对值大于正数的绝对值，即负根的绝对值大于正根，排除选项A。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式和根与系数关系的应用，解题时需按照“先判断是否有实根，再分析根的符号和大小”的逻辑逐步推导，要注意两根之和公式的符号不要记错。
【难度系数】
0.7
要判断一元二次方程根的情况，第一步先通过判别式Δ判断是否存在实数根；若有实根，再结合根与系数的关系，通过两根之积的符号判断根的正负，通过两根之和的符号判断两根绝对值的大小关系。首先代入系数计算判别式，结合c＜0的条件确定Δ的符号，再计算两根和与两根积的符号，逐步推导即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$5x^2 + 3x + c = 0$，其中$a=5$，$b=3$，常数项为$c$：
1. 计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4×5× c = 9 - 20c$
已知$c＜0$，则$-20c＞0$，因此$\Delta = 9 + (\mathrm{正数}) ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，排除选项C。
2. 设方程两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系：
两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{c}{5}$，因为$c＜0$，所以$x_1x_2＜0$，说明两根异号，即一正一负，排除选项D。
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{5} ＜ 0$，异号两数相加结果为负，说明负数的绝对值大于正数的绝对值，即负根的绝对值大于正根，排除选项A。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的判别式和根与系数关系的应用，解题时需按照“先判断是否有实根，再分析根的符号和大小”的逻辑逐步推导，要注意两根之和公式的符号不要记错。
【难度系数】
0.7
9. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + 2x + m = 0 $ 有两个同号的非零实数根，则 $ m $ 的取值范围是(
A.$ m ＜ 1 $
B.$ 0 ＜ m ≤ 1 $
C.$ 0 ≤ m ＜ 1 $
D.$ m ＞ 0 $
B
).A.$ m ＜ 1 $
B.$ 0 ＜ m ≤ 1 $
C.$ 0 ≤ m ＜ 1 $
D.$ m ＞ 0 $
答案
9. B
解析
【分析】
要确定m的取值范围，需结合题目给出的两个核心条件推导：①方程有两个实数根，说明判别式Δ≥0；②两个根同号且非零，根据根与系数的关系，两根之积为正数。分别根据两个条件列不等式，再取解集的公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2x + m = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=m$：
1. 由方程有两个实数根，可得判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1× m = 4 - 4m ≥ 0$
解不等式得：$m ≤ 1$
2. 由两根同号且非零，根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} ＞ 0$：
即$\frac{m}{1} ＞ 0$，解得$m ＞ 0$
综合两个条件，m需同时满足$m ≤ 1$和$m ＞ 0$，因此m的取值范围是$0 ＜ m ≤ 1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 不等式组求解
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的典型应用，解题时要注意全面考虑限制条件，不能忽略判别式的取值要求，同时要准确根据根的符号特征对应根与系数的关系，避免因漏看“同号非零”“两个实根”等条件导致错选。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值范围，需结合题目给出的两个核心条件推导：①方程有两个实数根，说明判别式Δ≥0；②两个根同号且非零，根据根与系数的关系，两根之积为正数。分别根据两个条件列不等式，再取解集的公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + 2x + m = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=m$：
1. 由方程有两个实数根，可得判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1× m = 4 - 4m ≥ 0$
解不等式得：$m ≤ 1$
2. 由两根同号且非零，根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} ＞ 0$：
即$\frac{m}{1} ＞ 0$，解得$m ＞ 0$
综合两个条件，m需同时满足$m ≤ 1$和$m ＞ 0$，因此m的取值范围是$0 ＜ m ≤ 1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 不等式组求解
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的典型应用，解题时要注意全面考虑限制条件，不能忽略判别式的取值要求，同时要准确根据根的符号特征对应根与系数的关系，避免因漏看“同号非零”“两个实根”等条件导致错选。
【难度系数】
0.7
