14. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 4x - 2k + 8 = 0 $ 有两个实数根，且分别为 $ x_1, x_2 $。
（1）求 $ k $ 的取值范围；
（2）若 $ x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3 = 24 $，求 $ k $ 的值。

14. (1) $k\ge2$ (2) 3

【分析】
（1）已知一元二次方程有两个实数根，可利用根的判别式$\Delta \ge 0$建立关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
（2）先将所求代数式因式分解，转化为含$x_1+x_2$、$x_1x_2$的形式，再根据根与系数的关系代入$x_1+x_2$、$x_1x_2$的表达式，得到关于$k$的方程，解方程后结合（1）中$k$的取值范围舍去不符合的解，即可得到$k$的值。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2 - 4x - 2k + 8 = 0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=-2k+8$。
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，代入得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(-2k+8) = 16 + 8k - 32 = 8k - 16 ≥ 0$
解不等式得$8k ≥ 16$，即$k ≥ 2$。
（2）先对$x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3$变形：
$x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3 = x_1x_2(x_1^2 + x_2^2) = x_1x_2[(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2]$
根据根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = -2k + 8$，代入等式$x_1^3 x_2 + x_1 x_2^3 = 24$得：
$(-2k + 8)[4^2 - 2×(-2k + 8)] = 24$
化简括号内的式子：$16 +4k -16 = 4k$，则等式变为：
$(-2k +8)×4k =24$
两边同时除以4得：$k(-2k +8) =6$
整理得：$k^2 -4k +3 =0$
因式分解得：$(k-1)(k-3)=0$，解得$k=1$或$k=3$
结合（1）中$k≥2$的取值范围，舍去$k=1$，故$k=3$。
【答案】
（1）$k\ge2$；（2）$3$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，因式分解
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的相关应用，解题时要注意：第一问直接利用判别式的性质列不等式即可；第二问需先对代数式合理变形，再结合根与系数的关系求解，最后务必结合参数的取值范围检验根是否符合要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.7

15. 为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域,而且这三块长方形区域的面积相等.设 BC 的长为 x m,长方形区域 ABCD 的面积为 y m².
(1) 求 AE 的长(用含 x 的代数式表示);
(2) 当 $ y = 108 $ 时,求 x 的值.

15. (1) $\dfrac{40-x}{2}$ m (2) 36或4

【分析】
(1) 首先根据三块长方形面积相等的条件，推导得到AE与EB的数量关系，再结合围网总长为80m的条件，通过列等式化简即可用含x的代数式表示AE的长度。
(2) 先根据长方形面积公式写出ABCD的面积y与x的关系式，再将y=108代入得到一元二次方程，解方程即可求出x的取值，注意验证解的实际意义。
【解析】
(1) 已知三块长方形区域面积相等，即$S_①=S_②=S_③$。
由$S_①=S_②$，两个长方形的长均为DF，可得$DH=HA=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}x$；
由$S_①=S_③$，得$DF· DH=FC· BC$，代入$DH=\frac{1}{2}x$、$BC=x$，化简得$DF=2FC$，又$DF=AE$，$FC=EB$，因此$AE=2EB$，即$EB=\frac{1}{2}AE$。
设$AE=a\ \mathrm{m}$，则$EB=\frac{1}{2}a\ \mathrm{m}$，围网总长包含2段垂直边（FG、BC，长度均为x）、3段水平边（DC、AB长度均为$AE+EB=\frac{3}{2}a$，HG长度为a），因此总长度满足：
$2x + 2×\frac{3}{2}a + a=80$
化简得$2x+4a=80$，解得$a=\frac{40-x}{2}$，即AE的长为$\frac{40-x}{2}\ \mathrm{m}$。
(2) 长方形ABCD的面积$y=AB· BC$，其中$AB=AE+EB=\frac{3}{2}a=\frac{3(40-x)}{4}$，$BC=x$，因此：
$y=\frac{3(40-x)}{4}· x=\frac{3x(40-x)}{4}$
当$y=108$时，代入得：
$\frac{3x(40-x)}{4}=108$
两边同乘4得$3x(40-x)=432$，两边同除以3得$x(40-x)=144$，整理为标准一元二次方程：
$x^2-40x+144=0$
因式分解得$(x-36)(x-4)=0$，解得$x_1=36$，$x_2=4$，两个解均符合实际意义。
【答案】
(1) $\dfrac{40-x}{2}\ \mathrm{m}$
(2) $36$或$4$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；长方形面积计算
【点评】
本题结合实际养殖场景出题，解题核心是先通过面积相等的条件推导各边的数量关系，再结合周长和面积公式列代数式、列方程求解，难度中等，需要注意解要符合实际场景的取值要求。
【难度系数】
0.65