12. 若$α$，$β$是方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两个实数根，求代数式$α^3 + 3β^2 + 2β$的值.

12. 45

【分析】
要计算含方程两根的高次代数式的值，首先利用一元二次方程根的定义，将根代入原方程得到高次项的降次公式，把三次项、二次项都转化为一次式，再整理代数式，最后结合根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和代入计算即可。具体思考路径：①由根的性质得$α^2=3α+2$、$β^2=3β+2$；②将$α^3$拆分为$α·α^2$，两次降次转化为$α$的一次式；③将原式中的$β^2$替换为一次式，合并同类项后整理为含$α+β$的式子；④用韦达定理求$α+β$的值代入计算。
【解析】
∵$α$，$β$是方程$x^2 - 3x - 2 = 0$的两个实数根
∴根据一元二次方程根的定义可得：
$α^2 = 3α + 2$，$β^2 = 3β + 2$
根据根与系数的关系可得：$α+β=3$，$αβ=-2$
先对$α^3$降次：
$α^3 = α·α^2 = α(3α+2) = 3α^2 + 2α = 3(3α+2)+2α = 11α + 6$
将$α^3=11α+6$、$β^2=3β+2$代入所求代数式：
$\begin{aligned}α^3 + 3β^2 + 2β&=11α+6 + 3(3β+2)+2β\\&=11α+6 +9β+6 +2β\\&=11α+11β +12\\&=11(α+β)+12\end{aligned}$
把$α+β=3$代入得：$11×3 +12=33+12=45$
【答案】
45
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式降次求值
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，核心解题思路是利用根的定义降次，避免直接求解方程根代入的繁琐运算，解题时要注意降次的顺序和整式运算的准确性。
【难度系数】
0.6

13. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2a^2 + (2x^2 + x)a + 3x^2 + 1 = 0 $，试证明不论 $ a $ 取何实数该方程都是一元二次方程.

13. 提示：因为二次项系数$a^2+2a+3=(a+1)^2+2\ge2$，所以原方程一定是一元二次方程

【分析】
要证明关于x的方程是一元二次方程，需依据一元二次方程的定义：只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0。首先要把原方程整理为关于x的降幂排列的标准整式形式，再通过配方计算二次项系数的取值范围，证明其恒不为0，即可完成证明。
【解析】
证明：先对原方程进行整理，合并x的同次幂项：
展开原方程得：$a^2x^2 + 2ax^2 + ax + 3x^2 + 1 = 0$
提取$x^2$的公因式，合并同类项得：$(a^2 + 2a + 3)x^2 + ax + 1 = 0$
对二次项系数$a^2+2a+3$配方：
$a^2+2a+3 = (a^2+2a+1) + 2 = (a+1)^2 + 2$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(a+1)^2 ≥ 0$
∴ $(a+1)^2 + 2 ≥ 0 + 2 = 2 ＞ 0$
即无论a取任何实数，二次项系数$a^2+2a+3$恒大于0，始终不等于0。
又因为该方程只含有一个未知数x，且x的最高次数为2，满足一元二次方程的定义，因此不论a取何实数，该方程都是一元二次方程。
【答案】
因为二次项系数$a^2+2a+3=(a+1)^2+2\ge2＞0$，所以不论a取何实数，原方程都是一元二次方程。
【知识点】
一元二次方程的定义、配方法、非负数的性质
【点评】
本题重点考查一元二次方程的判定，解题的关键是先将方程整理为关于未知数的标准形式，通过验证二次项系数恒不为0完成证明，易错点是未优先整理方程，误将a当作未知数判断方程类型。
【难度系数】
0.6