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13. 某长方形数学课本封面相邻两边长分别为 $ a \ \mathrm{cm} $，$ b \ \mathrm{cm} $，且$\frac{a}{b}=\frac{b}{a+b}$。若该课本封面的周长为 $ 90 \ \mathrm{cm} $，则该课本的宽为多少？（结果精确到 $ 0.01 \ \mathrm{cm} $，参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.414$，$\sqrt{3} \approx 1.732$，$\sqrt{5} \approx 2.236$）
答案
13. 约为 17.19 cm
解析
【分析】
首先根据长方形周长公式可先求出相邻两边之和a+b的值；再利用比例的基本性质对给出的比例式进行变形，将a+b的值和a=45-b代入变形后的式子，即可得到关于b的一元二次方程；求解方程得到长边b的长度后，用两边之和减去长边长度就得到短边即宽的长度，最后代入参考数据计算近似值即可。
【解析】
1. 由长方形周长公式可得：$2(a+b)=90$，化简得$a+b=45\ \mathrm{cm}$，因此$a=45-b$。
2. 对比例式$\frac{a}{b}=\frac{b}{a+b}$交叉相乘，得：$b^2=a(a+b)$。
3. 将$a+b=45$、$a=45-b$代入上式，得：
$b^2=45(45-b)$
整理为一元二次方程标准形式：$b^2+45b-2025=0$
4. 用求根公式解方程，判别式$\Delta=45^2+4×2025=10125=45^2×5$，边长为正，因此取正根：
$b=\frac{-45+45\sqrt{5}}{2}=\frac{45(\sqrt{5}-1)}{2}$
5. 代入$\sqrt{5}\approx2.236$计算得：
$b\approx\frac{45×(2.236-1)}{2}=27.81\ \mathrm{cm}$
则宽为较短边$a=45-b\approx45-27.81=17.19\ \mathrm{cm}$
【答案】
约为17.19 cm
【知识点】
长方形周长计算，比例的基本性质，一元二次方程求解
【点评】
本题综合考查了几何周长计算和代数方程求解的知识，解题关键是通过周长得到两边和的定值，再代入比例式转化为一元二次方程求解，解题时要注意舍去不符合实际意义的负根，近似计算时要准确代入参考数据。
【难度系数】
0.6
首先根据长方形周长公式可先求出相邻两边之和a+b的值；再利用比例的基本性质对给出的比例式进行变形，将a+b的值和a=45-b代入变形后的式子，即可得到关于b的一元二次方程；求解方程得到长边b的长度后，用两边之和减去长边长度就得到短边即宽的长度，最后代入参考数据计算近似值即可。
【解析】
1. 由长方形周长公式可得：$2(a+b)=90$，化简得$a+b=45\ \mathrm{cm}$，因此$a=45-b$。
2. 对比例式$\frac{a}{b}=\frac{b}{a+b}$交叉相乘，得：$b^2=a(a+b)$。
3. 将$a+b=45$、$a=45-b$代入上式，得：
$b^2=45(45-b)$
整理为一元二次方程标准形式：$b^2+45b-2025=0$
4. 用求根公式解方程，判别式$\Delta=45^2+4×2025=10125=45^2×5$，边长为正，因此取正根：
$b=\frac{-45+45\sqrt{5}}{2}=\frac{45(\sqrt{5}-1)}{2}$
5. 代入$\sqrt{5}\approx2.236$计算得：
$b\approx\frac{45×(2.236-1)}{2}=27.81\ \mathrm{cm}$
则宽为较短边$a=45-b\approx45-27.81=17.19\ \mathrm{cm}$
【答案】
约为17.19 cm
【知识点】
长方形周长计算，比例的基本性质，一元二次方程求解
【点评】
本题综合考查了几何周长计算和代数方程求解的知识，解题关键是通过周长得到两边和的定值，再代入比例式转化为一元二次方程求解，解题时要注意舍去不符合实际意义的负根，近似计算时要准确代入参考数据。
【难度系数】
0.6
14. 甲车自 A 地、乙车自 B 地同时相向而行，相遇时乙车比甲车少行驶 108 km.相遇后甲车经过 9 h 到达 B 地，乙车经过 16 h 到达 A 地.甲、乙两车的速度分别是多少？
答案
14. 甲、乙两车的速度分别是 36 km/h，27 km/h
解析
【分析】
这是行程中的相向相遇问题，解题核心是抓住3个关键等量关系：①相遇时两车行驶时间相同，路程差为108km；②相遇后甲车行驶的路程等于相遇前乙车行驶的路程；③相遇后乙车行驶的路程等于相遇前甲车行驶的路程。我们先设甲、乙两车速度和相遇时间为未知数，根据等量关系列方程，先推导两车速度比，再结合路程差即可求解，注意速度为正数，舍去负解。
【解析】
设甲车速度为$x$ km/h，乙车速度为$y$ km/h，两车相遇时已行驶$t$ h，根据题意列方程：
1. 相遇时路程差：$xt - yt = 108$ ①
2. 相遇后甲走的路程=相遇前乙走的路程：$9x = yt$ ②
3. 相遇后乙走的路程=相遇前甲走的路程：$16y = xt$ ③
将②、③代入①，得：$16y - 9x = 108$ ④
用②÷③，约去非零的$t$可得：$\frac{9x}{16y}=\frac{y}{x}$，交叉相乘得$9x^2=16y^2$
因速度均为正数，开方得$3x=4y$，即$y=\frac{3}{4}x$ ⑤
把⑤代入④：
$16×\frac{3}{4}x -9x=108$
$12x -9x=108$
$3x=108$，解得$x=36$
把$x=36$代入⑤，得$y=\frac{3}{4}×36=27$，经检验符合题意。
【答案】
甲、乙两车的速度分别是 36 km/h，27 km/h
【知识点】
行程相遇问题；二元一次方程组应用；路程公式
【点评】
本题是行程类典型应用题，解题关键是理清相遇前后两车的路程对应关系，通过比例推导先得到速度比可以大幅简化计算，降低多未知数带来的运算难度。
【难度系数】
0.6
这是行程中的相向相遇问题，解题核心是抓住3个关键等量关系：①相遇时两车行驶时间相同，路程差为108km；②相遇后甲车行驶的路程等于相遇前乙车行驶的路程；③相遇后乙车行驶的路程等于相遇前甲车行驶的路程。我们先设甲、乙两车速度和相遇时间为未知数，根据等量关系列方程，先推导两车速度比，再结合路程差即可求解，注意速度为正数，舍去负解。
【解析】
设甲车速度为$x$ km/h，乙车速度为$y$ km/h，两车相遇时已行驶$t$ h，根据题意列方程：
1. 相遇时路程差：$xt - yt = 108$ ①
2. 相遇后甲走的路程=相遇前乙走的路程：$9x = yt$ ②
3. 相遇后乙走的路程=相遇前甲走的路程：$16y = xt$ ③
将②、③代入①，得：$16y - 9x = 108$ ④
用②÷③，约去非零的$t$可得：$\frac{9x}{16y}=\frac{y}{x}$，交叉相乘得$9x^2=16y^2$
因速度均为正数，开方得$3x=4y$，即$y=\frac{3}{4}x$ ⑤
把⑤代入④：
$16×\frac{3}{4}x -9x=108$
$12x -9x=108$
$3x=108$，解得$x=36$
把$x=36$代入⑤，得$y=\frac{3}{4}×36=27$，经检验符合题意。
【答案】
甲、乙两车的速度分别是 36 km/h，27 km/h
【知识点】
行程相遇问题；二元一次方程组应用；路程公式
【点评】
本题是行程类典型应用题，解题关键是理清相遇前后两车的路程对应关系，通过比例推导先得到速度比可以大幅简化计算，降低多未知数带来的运算难度。
【难度系数】
0.6
