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8. 已知三组数据：① 2，3，4；② 5，12，13；③ 1，$\sqrt{3}$，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有（
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
C
）.A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
8. C
解析
【分析】
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题思路如下：要判断三条线段能否构成直角三角形，核心是验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。对每组数据先确定最长边，再分别计算两边平方和与最长边的平方，对比是否相等即可得出结论。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一分析三组数据：
① 数据2，3，4中，最长边为4
计算较短边平方和：$2^2+3^2=4+9=13$
最长边平方：$4^2=16$
∵$13≠16$，
∴①不能构成直角三角形；
② 数据5，12，13中，最长边为13
计算较短边平方和：$5^2+12^2=25+144=169$
最长边平方：$13^2=169$
∵$169=169$，
∴②能构成直角三角形；
③ 数据$1$，$\sqrt{3}$，$2$中，最长边为2
计算较短边平方和：$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4$
最长边平方：$2^2=4$
∵$4=4$，
∴③能构成直角三角形。
综上，能构成直角三角形的是②③，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理、平方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握勾股定理逆定理的判断逻辑，注意验证时要以最长边为斜边候选计算平方，避免因边的顺序搞错导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查勾股定理逆定理的应用，解题思路如下：要判断三条线段能否构成直角三角形，核心是验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。对每组数据先确定最长边，再分别计算两边平方和与最长边的平方，对比是否相等即可得出结论。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，逐一分析三组数据：
① 数据2，3，4中，最长边为4
计算较短边平方和：$2^2+3^2=4+9=13$
最长边平方：$4^2=16$
∵$13≠16$，
∴①不能构成直角三角形；
② 数据5，12，13中，最长边为13
计算较短边平方和：$5^2+12^2=25+144=169$
最长边平方：$13^2=169$
∵$169=169$，
∴②能构成直角三角形；
③ 数据$1$，$\sqrt{3}$，$2$中，最长边为2
计算较短边平方和：$1^2+(\sqrt{3})^2=1+3=4$
最长边平方：$2^2=4$
∵$4=4$，
∴③能构成直角三角形。
综上，能构成直角三角形的是②③，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理、平方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握勾股定理逆定理的判断逻辑，注意验证时要以最长边为斜边候选计算平方，避免因边的顺序搞错导致计算错误。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在四边形 ABCD 中, $AD // BC$, $DC ⊥ BC$, 将四边形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,点 A 恰好落在边 DC 上的点 $A'$ 处,若 $∠ A'BC = 20°$, 则 $∠ A'BD$ 的度数为(
A.$15°$
B.$25°$
C.$35°$
D.$45°$
B
).A.$15°$
B.$25°$
C.$35°$
D.$45°$
答案
9. B
解析
【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等，可得∠ABD=∠A'BD，∠A=∠BA'D。再结合已知的垂直和平行关系，先在Rt△A'BC中求出∠BA'C的度数，进而得到∠BA'D即∠A的度数。再利用平行线同旁内角互补求出∠ABC的度数，最后根据∠ABC由∠A'BC和两个相等的角（∠ABD、∠A'BD）组成，列等式即可求出∠A'BD的度数。
【解析】
解：
∵DC⊥BC，
∴∠C=90°，
在Rt△A'BC中，∠A'BC=20°，
∴∠BA'C=90°-∠A'BC=90°-20°=70°，
∴∠BA'D=180°-∠BA'C=180°-70°=110°。
由折叠的性质可得：∠A=∠BA'D=110°，∠ABD=∠A'BD。
∵AD//BC，
∴∠A + ∠ABC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ABC=180°-∠A=180°-110°=70°。
又
∵∠ABC=∠ABD + ∠A'BD + ∠A'BC = 2∠A'BD + 20°，
∴2∠A'BD + 20° = 70°，
解得∠A'BD=25°。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，重点考察折叠变换的隐含等角条件，结合平行线、直角三角形的角度关系求解，解题的关键是梳理清楚各角度之间的数量关系，是几何部分的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等，可得∠ABD=∠A'BD，∠A=∠BA'D。再结合已知的垂直和平行关系，先在Rt△A'BC中求出∠BA'C的度数，进而得到∠BA'D即∠A的度数。再利用平行线同旁内角互补求出∠ABC的度数，最后根据∠ABC由∠A'BC和两个相等的角（∠ABD、∠A'BD）组成，列等式即可求出∠A'BD的度数。
【解析】
解：
∵DC⊥BC，
∴∠C=90°，
在Rt△A'BC中，∠A'BC=20°，
∴∠BA'C=90°-∠A'BC=90°-20°=70°，
∴∠BA'D=180°-∠BA'C=180°-70°=110°。
由折叠的性质可得：∠A=∠BA'D=110°，∠ABD=∠A'BD。
∵AD//BC，
∴∠A + ∠ABC = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ABC=180°-∠A=180°-110°=70°。
又
∵∠ABC=∠ABD + ∠A'BD + ∠A'BC = 2∠A'BD + 20°，
∴2∠A'BD + 20° = 70°，
解得∠A'BD=25°。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，重点考察折叠变换的隐含等角条件，结合平行线、直角三角形的角度关系求解，解题的关键是梳理清楚各角度之间的数量关系，是几何部分的常见考法。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,P是BC上的动点,E,F分别是AD,DP的中点.当点P在BC上从点C向点B移动时,下列结论成立的是(
A.线段EF的长先减小后增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长逐渐增大
B
).A.线段EF的长先减小后增大
B.线段EF的长逐渐减小
C.线段EF的长不变
D.线段EF的长逐渐增大
答案
10. B
解析
【分析】
解题时首先观察到E、F分别是AD、DP的中点，优先联想到三角形中位线定理，可连接AP构造三角形，将EF的长度转化为AP长度的一半。接下来分析动点P移动时AP的长度变化：已知∠B是直角，△ABP为直角三角形，AB长度固定，当P从C向B移动时，BP的长度逐渐减小，由勾股定理可判断AP的长度逐渐减小，进而推出EF的长度变化规律。
【解析】
连接AP，
∵E是AD的中点，F是DP的中点，
∴EF是△ADP的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AP$。
在$Rt△ ABP$中，$∠ B=90°$，AB的长度为定值，
当点P从点C向点B移动时，BP的长度逐渐减小，
由勾股定理$AP=\sqrt{AB^2+BP^2}$可知，AP的长度逐渐减小，
因此$EF=\frac{1}{2}AP$也逐渐减小。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理，动点分析
【点评】
本题通过中位线实现线段长度的转化，将未知线段的变化规律转化为易判断的线段变化，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，结合直角三角形勾股定理分析动线段的变化趋势。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到E、F分别是AD、DP的中点，优先联想到三角形中位线定理，可连接AP构造三角形，将EF的长度转化为AP长度的一半。接下来分析动点P移动时AP的长度变化：已知∠B是直角，△ABP为直角三角形，AB长度固定，当P从C向B移动时，BP的长度逐渐减小，由勾股定理可判断AP的长度逐渐减小，进而推出EF的长度变化规律。
【解析】
连接AP，
∵E是AD的中点，F是DP的中点，
∴EF是△ADP的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AP$。
在$Rt△ ABP$中，$∠ B=90°$，AB的长度为定值，
当点P从点C向点B移动时，BP的长度逐渐减小，
由勾股定理$AP=\sqrt{AB^2+BP^2}$可知，AP的长度逐渐减小，
因此$EF=\frac{1}{2}AP$也逐渐减小。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理，动点分析
【点评】
本题通过中位线实现线段长度的转化，将未知线段的变化规律转化为易判断的线段变化，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质，结合直角三角形勾股定理分析动线段的变化趋势。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 计算：$(3\sqrt{12} - 2\sqrt{\dfrac{1}{3}} + \sqrt{48})÷ 2\sqrt{3}$.
11. 计算：$(3\sqrt{12} - 2\sqrt{\dfrac{1}{3}} + \sqrt{48})÷ 2\sqrt{3}$.
答案
11. $\dfrac{14}{3}$
解析
【分析】
本题是二次根式混合运算题，解题思路清晰：可以先将括号内所有二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式后，再除以除数$2\sqrt{3}$；也可以利用除法分配律，把括号内的每一项分别除以$2\sqrt{3}$，再把所得的商相加。两种方法都需要熟练运用二次根式的化简、除法法则，计算时注意符号和运算顺序即可。
【解析】
解：方法一：先化简合并再计算除法
1. 化简括号内各二次根式：
$3\sqrt{12}=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
$-2\sqrt{\dfrac{1}{3}}=-2×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
2. 合并括号内的同类二次根式：
$\begin{split}&3\sqrt{12} - 2\sqrt{\dfrac{1}{3}} + \sqrt{48}\\=&6\sqrt{3}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3}\\=&10\sqrt{3}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\\=&\dfrac{30\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3}\\=&\dfrac{28\sqrt{3}}{3}\end{split}$
3. 计算除法：
$\begin{split}&\dfrac{28\sqrt{3}}{3}÷2\sqrt{3}\\=&\dfrac{28\sqrt{3}}{3}×\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\\=&\dfrac{14}{3}\end{split}$
【答案】
$\dfrac{14}{3}$
【知识点】
二次根式化简，二次根式除法运算，同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，既可以按常规运算顺序先算括号内再算除法，也可以巧用分配律拆分运算简化计算，解题核心是熟练掌握二次根式的化简规则，确保系数和符号计算准确。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式混合运算题，解题思路清晰：可以先将括号内所有二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式后，再除以除数$2\sqrt{3}$；也可以利用除法分配律，把括号内的每一项分别除以$2\sqrt{3}$，再把所得的商相加。两种方法都需要熟练运用二次根式的化简、除法法则，计算时注意符号和运算顺序即可。
【解析】
解：方法一：先化简合并再计算除法
1. 化简括号内各二次根式：
$3\sqrt{12}=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
$-2\sqrt{\dfrac{1}{3}}=-2×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
2. 合并括号内的同类二次根式：
$\begin{split}&3\sqrt{12} - 2\sqrt{\dfrac{1}{3}} + \sqrt{48}\\=&6\sqrt{3}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3}\\=&10\sqrt{3}-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\\=&\dfrac{30\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3}\\=&\dfrac{28\sqrt{3}}{3}\end{split}$
3. 计算除法：
$\begin{split}&\dfrac{28\sqrt{3}}{3}÷2\sqrt{3}\\=&\dfrac{28\sqrt{3}}{3}×\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\\=&\dfrac{14}{3}\end{split}$
【答案】
$\dfrac{14}{3}$
【知识点】
二次根式化简，二次根式除法运算，同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的常规基础题，既可以按常规运算顺序先算括号内再算除法，也可以巧用分配律拆分运算简化计算，解题核心是熟练掌握二次根式的化简规则，确保系数和符号计算准确。
【难度系数】
0.7
