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1. 若$\sqrt{a}=m$，$\sqrt{b}=n$，则$\sqrt{100ab}=$
10mn
.(用含$m,n$的代数式表示)答案
1. $10mn$
解析
【分析】
拿到题目先观察所求式子$\sqrt{100ab}$的结构，根据所学的积的算术平方根性质，可以把所求式子拆分为$\sqrt{100}$、$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$三个二次根式的乘积，其中$\sqrt{100}$可直接计算出结果，$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$题目已经用$m$、$n$给出，直接代入就能得到最终结果。
【解析】
根据积的算术平方根的性质：$\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}$（$x≥0,y≥0$），可得：
$\sqrt{100ab}=\sqrt{100}·\sqrt{a}·\sqrt{b}$
已知$\sqrt{a}=m$，$\sqrt{b}=n$，且$\sqrt{100}=10$，代入上式计算：
$\sqrt{100ab}=10× m× n=10mn$
【答案】
$10mn$
【知识点】
积的算术平方根性质；二次根式化简；代数式代入求值
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，解题核心是熟练掌握积的算术平方根的拆分规则，将所求式子转化为已知条件的形式后代入计算即可，运算时注意不要漏算常数项$\sqrt{100}$的化简结果。
【难度系数】
0.9
拿到题目先观察所求式子$\sqrt{100ab}$的结构，根据所学的积的算术平方根性质，可以把所求式子拆分为$\sqrt{100}$、$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$三个二次根式的乘积，其中$\sqrt{100}$可直接计算出结果，$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$题目已经用$m$、$n$给出，直接代入就能得到最终结果。
【解析】
根据积的算术平方根的性质：$\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}$（$x≥0,y≥0$），可得：
$\sqrt{100ab}=\sqrt{100}·\sqrt{a}·\sqrt{b}$
已知$\sqrt{a}=m$，$\sqrt{b}=n$，且$\sqrt{100}=10$，代入上式计算：
$\sqrt{100ab}=10× m× n=10mn$
【答案】
$10mn$
【知识点】
积的算术平方根性质；二次根式化简；代数式代入求值
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，解题核心是熟练掌握积的算术平方根的拆分规则，将所求式子转化为已知条件的形式后代入计算即可，运算时注意不要漏算常数项$\sqrt{100}$的化简结果。
【难度系数】
0.9
2. 如图, 四边形 ABCD 是边长为 6 cm 的菱形, 对角线 AC 与 BD 相交于点 O, $∠ BAD = 60°$, 则 AC 的长为$\underline{\hspace{2cm}}$.
答案
2. $6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆菱形的基本性质，菱形四边相等、对角线互相垂直且平分；结合已知条件∠BAD=60°，可判定△ABD为等边三角形，先求出短对角线BD的长度，再得到BD一半BO的长度；最后在直角三角形AOB中利用勾股定理求出AO的长度，AC是AO的2倍，即可得到AC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为6cm的菱形
∴AB=AD=6cm，AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO
又
∵∠BAD=60°，AB=AD
∴△ABD是等边三角形
∴BD=AB=6cm
∴BO=$\frac{1}{2}$BD=3cm
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2 - BO^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
∴AC=2AO=$2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是灵活运用菱形的性质，结合60°特殊角构造等边三角形，再通过勾股定理求解线段长度，是菱形性质应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆菱形的基本性质，菱形四边相等、对角线互相垂直且平分；结合已知条件∠BAD=60°，可判定△ABD为等边三角形，先求出短对角线BD的长度，再得到BD一半BO的长度；最后在直角三角形AOB中利用勾股定理求出AO的长度，AC是AO的2倍，即可得到AC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是边长为6cm的菱形
∴AB=AD=6cm，AC⊥BD，AC=2AO，BD=2BO
又
∵∠BAD=60°，AB=AD
∴△ABD是等边三角形
∴BD=AB=6cm
∴BO=$\frac{1}{2}$BD=3cm
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2 - BO^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
∴AC=2AO=$2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是灵活运用菱形的性质，结合60°特殊角构造等边三角形，再通过勾股定理求解线段长度，是菱形性质应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
3. 若一组数据 $ x_1, x_2, \dots, x_n $ 的方差为 3，则另一组数据 $ x_1 - 2, x_2 - 2, \dots, x_n - 2 $ 的方差是 ______.
答案
3. 3
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的定义与意义：方差是反映一组数据波动大小的统计量。我们可以先设原数据的平均数，再推导新数据的平均数，最后代入方差公式对比新旧方差的关系，也可以直接利用方差的性质：当一组数据每个数都加上或减去同一个常数时，数据的波动幅度不变，方差不变。
【解析】
设原数据$x_1, x_2, \dots, x_n$的平均数为$\overline{x}$，根据方差公式，原方差为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2] = 3$
新数据$x_1-2, x_2-2, \dots, x_n-2$的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{1}{n}[(x_1-2)+(x_2-2)+\dots+(x_n-2)] = \frac{1}{n}[(x_1+x_2+\dots+x_n)-2n] = \overline{x} - 2$
代入新数据的方差公式：
$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1-2-\overline{x}')^2 + (x_2-2-\overline{x}')^2 + \dots + (x_n-2-\overline{x}')^2]$
将$\overline{x}'=\overline{x}-2$代入化简，每一项的括号内可得：$x_i-2-(\overline{x}-2)=x_i-\overline{x}$
因此$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2] = s^2 = 3$
【答案】
3
【知识点】
方差的计算；方差的性质
【点评】
本题是方差性质的基础应用，核心是理解方差描述数据波动程度的本质，当数据整体加减同一个常数时，仅改变数据的平均水平，不改变数据的离散程度，因此方差不变，熟练掌握该性质可快速得出答案，避免繁琐计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆方差的定义与意义：方差是反映一组数据波动大小的统计量。我们可以先设原数据的平均数，再推导新数据的平均数，最后代入方差公式对比新旧方差的关系，也可以直接利用方差的性质：当一组数据每个数都加上或减去同一个常数时，数据的波动幅度不变，方差不变。
【解析】
设原数据$x_1, x_2, \dots, x_n$的平均数为$\overline{x}$，根据方差公式，原方差为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2] = 3$
新数据$x_1-2, x_2-2, \dots, x_n-2$的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{1}{n}[(x_1-2)+(x_2-2)+\dots+(x_n-2)] = \frac{1}{n}[(x_1+x_2+\dots+x_n)-2n] = \overline{x} - 2$
代入新数据的方差公式：
$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1-2-\overline{x}')^2 + (x_2-2-\overline{x}')^2 + \dots + (x_n-2-\overline{x}')^2]$
将$\overline{x}'=\overline{x}-2$代入化简，每一项的括号内可得：$x_i-2-(\overline{x}-2)=x_i-\overline{x}$
因此$s'^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2 + (x_2-\overline{x})^2 + \dots + (x_n-\overline{x})^2] = s^2 = 3$
【答案】
3
【知识点】
方差的计算；方差的性质
【点评】
本题是方差性质的基础应用，核心是理解方差描述数据波动程度的本质，当数据整体加减同一个常数时，仅改变数据的平均水平，不改变数据的离散程度，因此方差不变，熟练掌握该性质可快速得出答案，避免繁琐计算。
【难度系数】
0.8
4. 如图,两个全等的菱形边长均为1 m,一个微型机器人由点A开始按A→B→C→D→E→F→C→G→A的顺序沿菱形的边循环运动,行走2 020 m停下,则这个微型机器人停在点
E
处.答案
4. $E$
解析
【分析】
首先我们需要先确定机器人的运动周期：先数出机器人沿给定路线走完一个完整循环（回到起点A）所走的路程，再将总路程除以周期长度，根据余数判断最终停留的位置。具体步骤为：1. 计数循环路径的边数，结合单边长1m计算周期长度；2. 用总路程除以周期得到商和余数；3. 按照路径顺序数出余数对应长度的终点即可。
【解析】
首先计算完整运动循环的路程：
机器人沿A→B→C→D→E→F→C→G→A运动一圈，共经过8条菱形的边，已知每条边长1m，因此一个循环的路程为 $8×1=8\ \mathrm{m}$，即运动周期为8m，每走8m就回到起点A。
接下来计算2020m对应的循环情况：
$2020÷8=252······4$，即机器人走了252个完整循环后，还额外走了4m。
按运动顺序计数：走1m到B，走2m到C，走3m到D，走4m到E，因此停下时在E点。
【答案】
$E$
【知识点】
周期问题；菱形的性质
【点评】
本题结合图形运动考查周期规律的实际应用，解题的核心是准确计数循环路径的总长度确定周期，再通过带余除法的余数定位终点，做题时要注意避免数错循环路径的边数。
【难度系数】
0.8
首先我们需要先确定机器人的运动周期：先数出机器人沿给定路线走完一个完整循环（回到起点A）所走的路程，再将总路程除以周期长度，根据余数判断最终停留的位置。具体步骤为：1. 计数循环路径的边数，结合单边长1m计算周期长度；2. 用总路程除以周期得到商和余数；3. 按照路径顺序数出余数对应长度的终点即可。
【解析】
首先计算完整运动循环的路程：
机器人沿A→B→C→D→E→F→C→G→A运动一圈，共经过8条菱形的边，已知每条边长1m，因此一个循环的路程为 $8×1=8\ \mathrm{m}$，即运动周期为8m，每走8m就回到起点A。
接下来计算2020m对应的循环情况：
$2020÷8=252······4$，即机器人走了252个完整循环后，还额外走了4m。
按运动顺序计数：走1m到B，走2m到C，走3m到D，走4m到E，因此停下时在E点。
【答案】
$E$
【知识点】
周期问题；菱形的性质
【点评】
本题结合图形运动考查周期规律的实际应用，解题的核心是准确计数循环路径的总长度确定周期，再通过带余除法的余数定位终点，做题时要注意避免数错循环路径的边数。
【难度系数】
0.8
5. 矩形内有一点 P 到矩形各边的距离分别为 1 cm，3 cm，5 cm，7 cm，则该矩形的最大面积为 ______ cm².
答案
5. 64
解析
【分析】
首先回忆矩形的性质：矩形的对边平行且相等，因此矩形内任意一点到一组对边的距离之和恰好等于矩形的一条边长，到另一组对边的距离之和等于矩形的另一条边长。本题给出的4个距离就是点P到四条边的距离，我们需要把这4个数字分成两组，每组两个数的和分别对应矩形的长和宽，再求面积的最大值。由于4个距离的总和固定，即长+宽的和固定，根据“两个正数和固定时，两数的差越小，乘积越大”的规律，只要找到差最小的分组方式，就能算出最大面积。
【解析】
解：矩形内一点到两组对边的距离之和分别等于矩形的长和宽。
首先计算4个距离的总和：$1+3+5+7=16\ \mathrm{cm}$，即矩形的长与宽的和为$16\ \mathrm{cm}$。
要使矩形面积最大，需让长和宽的差最小，对四个数进行分组尝试：
分组得$1+7=8\ \mathrm{cm}$，$3+5=8\ \mathrm{cm}$，此时长和宽均为$8\ \mathrm{cm}$，差为0，乘积最大。
最大面积为：$8×8=64\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
64
【知识点】
1.矩形的性质
2.最值计算
【点评】
本题重点考查矩形性质的灵活应用，解题核心是明确点到对边的距离和等于矩形的边长，再结合和定积最大的规律即可求解，需要学生具备一定的逻辑分组能力。
【难度系数】
0.6
首先回忆矩形的性质：矩形的对边平行且相等，因此矩形内任意一点到一组对边的距离之和恰好等于矩形的一条边长，到另一组对边的距离之和等于矩形的另一条边长。本题给出的4个距离就是点P到四条边的距离，我们需要把这4个数字分成两组，每组两个数的和分别对应矩形的长和宽，再求面积的最大值。由于4个距离的总和固定，即长+宽的和固定，根据“两个正数和固定时，两数的差越小，乘积越大”的规律，只要找到差最小的分组方式，就能算出最大面积。
【解析】
解：矩形内一点到两组对边的距离之和分别等于矩形的长和宽。
首先计算4个距离的总和：$1+3+5+7=16\ \mathrm{cm}$，即矩形的长与宽的和为$16\ \mathrm{cm}$。
要使矩形面积最大，需让长和宽的差最小，对四个数进行分组尝试：
分组得$1+7=8\ \mathrm{cm}$，$3+5=8\ \mathrm{cm}$，此时长和宽均为$8\ \mathrm{cm}$，差为0，乘积最大。
最大面积为：$8×8=64\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
64
【知识点】
1.矩形的性质
2.最值计算
【点评】
本题重点考查矩形性质的灵活应用，解题核心是明确点到对边的距离和等于矩形的边长，再结合和定积最大的规律即可求解，需要学生具备一定的逻辑分组能力。
【难度系数】
0.6
6. 下列计算,正确的是(
A.$\sqrt{3}+\sqrt{3}=\sqrt{6}$
B.$\sqrt{12}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$
C.$\sqrt{8}÷\sqrt{4}=2$
D.$\sqrt{4\dfrac{1}{9}}=2\dfrac{1}{3}$
B
).A.$\sqrt{3}+\sqrt{3}=\sqrt{6}$
B.$\sqrt{12}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$
C.$\sqrt{8}÷\sqrt{4}=2$
D.$\sqrt{4\dfrac{1}{9}}=2\dfrac{1}{3}$
答案
6. B
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算相关知识，解题思路为逐一分析每个选项，根据二次根式的加减、除法、化简的运算法则分别计算各选项，再判断对错。首先回忆相关法则：二次根式加减时，需先将各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；二次根式除法可以转化为被开方数相除后再开方；带分数开方时要先将带分数化为假分数再计算。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：$\sqrt{3}+\sqrt{3}$属于同类二次根式相加，合并时系数相加，根式部分不变，结果为$2\sqrt{3}≠\sqrt{6}$，故A错误；
B选项：先化简$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，则$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$，故B正确；
C选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{8}÷\sqrt{4}=\sqrt{8÷4}=\sqrt{2}≠2$，故C错误；
D选项：先将带分数化为假分数，$4\dfrac{1}{9}=\dfrac{37}{9}$，则$\sqrt{4\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{37}{9}}=\dfrac{\sqrt{37}}{3}$，而$2\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}$，$\dfrac{\sqrt{37}}{3}≠\dfrac{7}{3}$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的加减运算、二次根式的除法运算、二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考查对二次根式各类运算法则的掌握程度，易错点是计算带分数开方时误将整数部分和分数部分分别开方，或是进行二次根式加减时未先化简就直接合并，计算时注意先化简再按法则运算即可。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的运算相关知识，解题思路为逐一分析每个选项，根据二次根式的加减、除法、化简的运算法则分别计算各选项，再判断对错。首先回忆相关法则：二次根式加减时，需先将各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；二次根式除法可以转化为被开方数相除后再开方；带分数开方时要先将带分数化为假分数再计算。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：$\sqrt{3}+\sqrt{3}$属于同类二次根式相加，合并时系数相加，根式部分不变，结果为$2\sqrt{3}≠\sqrt{6}$，故A错误；
B选项：先化简$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，则$\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$，故B正确；
C选项：根据二次根式除法法则，$\sqrt{8}÷\sqrt{4}=\sqrt{8÷4}=\sqrt{2}≠2$，故C错误；
D选项：先将带分数化为假分数，$4\dfrac{1}{9}=\dfrac{37}{9}$，则$\sqrt{4\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{37}{9}}=\dfrac{\sqrt{37}}{3}$，而$2\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}$，$\dfrac{\sqrt{37}}{3}≠\dfrac{7}{3}$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的加减运算、二次根式的除法运算、二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考查对二次根式各类运算法则的掌握程度，易错点是计算带分数开方时误将整数部分和分数部分分别开方，或是进行二次根式加减时未先化简就直接合并，计算时注意先化简再按法则运算即可。
【难度系数】
0.8
7. 某服装店从3月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）的优惠活动.已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需490元.设该店冬装原本打$ x $折，则由题意可列方程(
A.$ 490(1 - 2x) = 1000 $
B.$ 1000(1 - x^2) = 490 $
C.$ 1000(\dfrac{x}{10})^2 = 490 $
D.$ 1000(1 - \dfrac{10}{x})^2 = 490 $
C
).A.$ 490(1 - 2x) = 1000 $
B.$ 1000(1 - x^2) = 490 $
C.$ 1000(\dfrac{x}{10})^2 = 490 $
D.$ 1000(1 - \dfrac{10}{x})^2 = 490 $
答案
7. C
解析
【分析】
解题时首先明确核心概念：打$x$折的含义是按原价的$\frac{x}{10}$销售；其次理解“折上折”是连续两次相同折扣的优惠，即第一次打折后的价格作为第二次打折的基数，两次均按$x$折计算。最后结合原价、最终售价的已知条件，就能推导得到对应方程。
【解析】
1. 计算单次打$x$折后的价格：原价为1000元，打$x$折后售价为$1000×\frac{x}{10}$。
2. 计算“折上折”后的价格：两次折扣相同，第二次在第一次打折后的价格基础上再打$x$折，因此最终售价为$1000×\frac{x}{10}×\frac{x}{10}=1000(\frac{x}{10})^2$。
3. 结合优惠后实际售价为490元，可列方程：$1000(\frac{x}{10})^2=490$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 打折销售问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是生活场景类的方程应用题，解题关键是准确理解打折、折上折的含义，牢记打折的计算规则，避免出现“打$x$折即原价乘$x$”“两次折扣即直接减$2x$”这类概念误解。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确核心概念：打$x$折的含义是按原价的$\frac{x}{10}$销售；其次理解“折上折”是连续两次相同折扣的优惠，即第一次打折后的价格作为第二次打折的基数，两次均按$x$折计算。最后结合原价、最终售价的已知条件，就能推导得到对应方程。
【解析】
1. 计算单次打$x$折后的价格：原价为1000元，打$x$折后售价为$1000×\frac{x}{10}$。
2. 计算“折上折”后的价格：两次折扣相同，第二次在第一次打折后的价格基础上再打$x$折，因此最终售价为$1000×\frac{x}{10}×\frac{x}{10}=1000(\frac{x}{10})^2$。
3. 结合优惠后实际售价为490元，可列方程：$1000(\frac{x}{10})^2=490$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 打折销售问题
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是生活场景类的方程应用题，解题关键是准确理解打折、折上折的含义，牢记打折的计算规则，避免出现“打$x$折即原价乘$x$”“两次折扣即直接减$2x$”这类概念误解。
【难度系数】
0.8
