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12. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (m + 3)x + 4m - 4 = 0 $。
（1）求证：无论 $ m $ 取何实数，此方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 $ ABC $ 的一边长为 5，此方程的两个根恰好是 $ △ ABC $ 的另两边长，求 $ △ ABC $ 的周长。
（1）求证：无论 $ m $ 取何实数，此方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 $ ABC $ 的一边长为 5，此方程的两个根恰好是 $ △ ABC $ 的另两边长，求 $ △ ABC $ 的周长。
答案
12. (1) $\because \Delta = [-(m+3)]^2 -4(4m-4)=(m-5)^2 \ge 0$，
$\therefore$ 无论 $m$ 取何实数，此方程总有实数根
(2) 13 或 14
$\therefore$ 无论 $m$ 取何实数，此方程总有实数根
(2) 13 或 14
解析
【分析】
（1）要证明一元二次方程无论$m$取何值总有实数根，只需证明方程的判别式$\Delta$恒大于等于0即可，先根据判别式公式写出$\Delta$的表达式，再化简判断其取值范围。
（2）等腰三角形一边长为5，需分两种情况讨论：①5为腰长，此时$x=5$是方程的根，代入求出$m$的值，再解方程得到另一边长，验证是否满足三角形三边关系后计算周长；②5为底边长，此时方程的两个根相等（即两腰长度相等），令$\Delta=0$求出$m$的值，解方程得到腰长，验证三边关系后计算周长。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 - (m + 3)x + 4m - 4 = 0$，其判别式：
$\Delta = [-(m+3)]^2 -4×1×(4m-4)$
$=m^2+6m+9-16m+16$
$=m^2-10m+25$
$=(m-5)^2$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(m-5)^2\ge0$
∴ 无论$m$取何实数，此方程总有实数根。
（2）分两种情况讨论：
① 当边长为5的边是等腰$△ ABC$的腰时，$x=5$是方程的一个根，将$x=5$代入方程得：
$5^2 -5(m+3)+4m-4=0$
$25-5m-15+4m-4=0$
解得$m=6$
将$m=6$代入原方程得：$x^2-9x+20=0$
因式分解得$(x-4)(x-5)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=5$
此时三角形三边长为5、5、4，满足三角形三边关系，周长为$5+5+4=14$。
② 当边长为5的边是等腰$△ ABC$的底边时，方程的两个根为两腰长，即两根相等，因此$\Delta=0$：
$(m-5)^2=0$，解得$m=5$
将$m=5$代入原方程得：$x^2-8x+16=0$
即$(x-4)^2=0$，解得$x_1=x_2=4$
此时三角形三边长为5、4、4，满足三角形三边关系，周长为$5+4+4=13$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）13或14
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题时要注意结合等腰三角形的性质分类讨论，得到边长后需用三角形三边关系验证是否能构成三角形，避免出现增解。
【难度系数】
0.65
（1）要证明一元二次方程无论$m$取何值总有实数根，只需证明方程的判别式$\Delta$恒大于等于0即可，先根据判别式公式写出$\Delta$的表达式，再化简判断其取值范围。
（2）等腰三角形一边长为5，需分两种情况讨论：①5为腰长，此时$x=5$是方程的根，代入求出$m$的值，再解方程得到另一边长，验证是否满足三角形三边关系后计算周长；②5为底边长，此时方程的两个根相等（即两腰长度相等），令$\Delta=0$求出$m$的值，解方程得到腰长，验证三边关系后计算周长。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2 - (m + 3)x + 4m - 4 = 0$，其判别式：
$\Delta = [-(m+3)]^2 -4×1×(4m-4)$
$=m^2+6m+9-16m+16$
$=m^2-10m+25$
$=(m-5)^2$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$(m-5)^2\ge0$
∴ 无论$m$取何实数，此方程总有实数根。
（2）分两种情况讨论：
① 当边长为5的边是等腰$△ ABC$的腰时，$x=5$是方程的一个根，将$x=5$代入方程得：
$5^2 -5(m+3)+4m-4=0$
$25-5m-15+4m-4=0$
解得$m=6$
将$m=6$代入原方程得：$x^2-9x+20=0$
因式分解得$(x-4)(x-5)=0$，解得$x_1=4$，$x_2=5$
此时三角形三边长为5、5、4，满足三角形三边关系，周长为$5+5+4=14$。
② 当边长为5的边是等腰$△ ABC$的底边时，方程的两个根为两腰长，即两根相等，因此$\Delta=0$：
$(m-5)^2=0$，解得$m=5$
将$m=5$代入原方程得：$x^2-8x+16=0$
即$(x-4)^2=0$，解得$x_1=x_2=4$
此时三角形三边长为5、4、4，满足三角形三边关系，周长为$5+4+4=13$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）13或14
【知识点】
一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合题，解题时要注意结合等腰三角形的性质分类讨论，得到边长后需用三角形三边关系验证是否能构成三角形，避免出现增解。
【难度系数】
0.65
13. 老师记录了全班40名学生1 min跳绳的次数(单位：次)如下：
132,136,144,162,144,115,132,136,123,144,
136,132,132,159,136,144,129,136,139,153,
123,133,144,137,152,138,136,129,129,134,
138,149,125,128,128,133,138,134,146,148.
（1）全班学生1 min跳绳次数的平均数和中位数哪个大？
（2）求全班学生1 min跳绳次数的最小值、四分位数和最大值；
（3）绘制全班学生1 min跳绳次数的箱线图.
132,136,144,162,144,115,132,136,123,144,
136,132,132,159,136,144,129,136,139,153,
123,133,144,137,152,138,136,129,129,134,
138,149,125,128,128,133,138,134,146,148.
（1）全班学生1 min跳绳次数的平均数和中位数哪个大？
（2）求全班学生1 min跳绳次数的最小值、四分位数和最大值；
（3）绘制全班学生1 min跳绳次数的箱线图.
答案
13. (1) 通过计算可得全班学生1 min跳绳次数的平均数为137.15次，中位数为136次.所以全班学生1 min跳绳次数的平均数较大
(2) 全班学生1 min跳绳次数的最小值为115次，四分位数分别为132次、136次、144次，最大值为162次
(3) 箱线图如图所示
解析
【分析】
（1）要比较平均数和中位数的大小，需先分别计算两个统计量：平均数为所有数据总和除以数据总个数40；计算中位数需要先将40个数据从小到大排列，40为偶数，中位数取排序后第20、21个数据的平均值，再比较二者大小即可。
（2）求最小值、最大值直接从排序后的数据取首尾即可；四分位数计算：40个数据，下四分位数取排序后第10、11个数据的平均值，中位数为第20、21个数据的平均值，上四分位数取第30、31个数据的平均值。
（3）箱线图以最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这五个数值为基准，按规范绘制即可。
【解析】
（1）计算平均数：将40个跳绳次数相加得总和为5486，平均数 = 5486÷40 = 137.15次。
将40个数据从小到大排列为：115,123,123,125,128,128,129,129,129,132,132,132,132,133,133,134,134,136,136,136,136,136,136,137,138,138,138,139,144,144,144,144,144,146,148,149,152,153,159,162。
共40个数据，中位数为第20、21个数据的平均值，两个数据均为136，因此中位数=(136+136)÷2=136次。
比较得137.15＞136，故平均数更大。
（2）从排序后的数据可得：最小值为115次，最大值为162次；
下四分位数：第10、11个数据均为132，故下四分位数=(132+132)÷2=132次；
中位数为136次；
上四分位数：第30、31个数据均为144，故上四分位数=(144+144)÷2=144次。
（3）根据上述5个统计量绘制箱线图，结果和题图一致。
【答案】
(1) 通过计算可得全班学生1 min跳绳次数的平均数为137.15次，中位数为136次.所以全班学生1 min跳绳次数的平均数较大
(2) 全班学生1 min跳绳次数的最小值为115次，四分位数分别为132次、136次、144次，最大值为162次
(3) 箱线图如图所示
【知识点】
平均数计算，四分位数计算，箱线图绘制
【点评】
本题考查统计中常见统计量的计算与统计图表的绘制，要求熟练掌握数据排序方法，以及平均数、中位数、四分位数的计算规则，计算时需细心避免排序或求和错误。
【难度系数】
0.7
（1）要比较平均数和中位数的大小，需先分别计算两个统计量：平均数为所有数据总和除以数据总个数40；计算中位数需要先将40个数据从小到大排列，40为偶数，中位数取排序后第20、21个数据的平均值，再比较二者大小即可。
（2）求最小值、最大值直接从排序后的数据取首尾即可；四分位数计算：40个数据，下四分位数取排序后第10、11个数据的平均值，中位数为第20、21个数据的平均值，上四分位数取第30、31个数据的平均值。
（3）箱线图以最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值这五个数值为基准，按规范绘制即可。
【解析】
（1）计算平均数：将40个跳绳次数相加得总和为5486，平均数 = 5486÷40 = 137.15次。
将40个数据从小到大排列为：115,123,123,125,128,128,129,129,129,132,132,132,132,133,133,134,134,136,136,136,136,136,136,137,138,138,138,139,144,144,144,144,144,146,148,149,152,153,159,162。
共40个数据，中位数为第20、21个数据的平均值，两个数据均为136，因此中位数=(136+136)÷2=136次。
比较得137.15＞136，故平均数更大。
（2）从排序后的数据可得：最小值为115次，最大值为162次；
下四分位数：第10、11个数据均为132，故下四分位数=(132+132)÷2=132次；
中位数为136次；
上四分位数：第30、31个数据均为144，故上四分位数=(144+144)÷2=144次。
（3）根据上述5个统计量绘制箱线图，结果和题图一致。
【答案】
(1) 通过计算可得全班学生1 min跳绳次数的平均数为137.15次，中位数为136次.所以全班学生1 min跳绳次数的平均数较大
(2) 全班学生1 min跳绳次数的最小值为115次，四分位数分别为132次、136次、144次，最大值为162次
(3) 箱线图如图所示
【知识点】
平均数计算，四分位数计算，箱线图绘制
【点评】
本题考查统计中常见统计量的计算与统计图表的绘制，要求熟练掌握数据排序方法，以及平均数、中位数、四分位数的计算规则，计算时需细心避免排序或求和错误。
【难度系数】
0.7
14. 张老师根据本班第一次月考的五科成绩，绘制的箱线图如图所示，你从中获得哪些信息？（至少写两条）
答案
解：
从箱线图中可获得的信息有：
1. 英语成绩的中位数最高，数学成绩的中位数最低；
2. 数学成绩的最高分是100分，语文成绩的最高分约为91分。
从箱线图中可获得的信息有：
1. 英语成绩的中位数最高，数学成绩的中位数最低；
2. 数学成绩的最高分是100分，语文成绩的最高分约为91分。
解析
【分析】
解题时首先要回忆箱线图的结构含义：箱线图中，箱体内部的横线对应这组数据的中位数，反映该组数据的中等水平；箱体上下延伸的竖线的端点分别对应该组数据的最大值和最小值，能反映数据的波动范围。接下来我们可以从两个方向找信息：一是对比五科的中位数高低，判断各科中等成绩的情况；二是对比各科的最大值、最小值，判断各科最高分、最低分或者成绩波动的情况，从中挑选至少两条合理信息即可。
【解析】
首先明确箱线图各部分的统计意义：
1. 观察五科箱线图的中位数（箱体中间的横线）：英语的中位数位置最高，数学的中位数位置最低，说明英语成绩的中位数最高，数学成绩的中位数最低；
2. 观察各科箱线图的上端端点（代表该科成绩最大值）：数学成绩的上端端点对应纵坐标100分，语文成绩的上端端点对应纵坐标约91分，说明数学成绩的最高分是100分，语文成绩的最高分约为91分。
（也可得出其他合理信息，如数学成绩波动最大、语文最低分约为60分等）
【答案】
从箱线图中可获得的信息有：
1. 英语成绩的中位数最高，数学成绩的中位数最低；
2. 数学成绩的最高分是100分，语文成绩的最高分约为91分。
（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
箱线图的认识；统计信息提取
【点评】
本题考查统计图表的解读能力，要求掌握箱线图各结构对应的统计量含义，能从统计图中提取有效信息，是统计模块的常见基础题型，注重对图表分析能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先要回忆箱线图的结构含义：箱线图中，箱体内部的横线对应这组数据的中位数，反映该组数据的中等水平；箱体上下延伸的竖线的端点分别对应该组数据的最大值和最小值，能反映数据的波动范围。接下来我们可以从两个方向找信息：一是对比五科的中位数高低，判断各科中等成绩的情况；二是对比各科的最大值、最小值，判断各科最高分、最低分或者成绩波动的情况，从中挑选至少两条合理信息即可。
【解析】
首先明确箱线图各部分的统计意义：
1. 观察五科箱线图的中位数（箱体中间的横线）：英语的中位数位置最高，数学的中位数位置最低，说明英语成绩的中位数最高，数学成绩的中位数最低；
2. 观察各科箱线图的上端端点（代表该科成绩最大值）：数学成绩的上端端点对应纵坐标100分，语文成绩的上端端点对应纵坐标约91分，说明数学成绩的最高分是100分，语文成绩的最高分约为91分。
（也可得出其他合理信息，如数学成绩波动最大、语文最低分约为60分等）
【答案】
从箱线图中可获得的信息有：
1. 英语成绩的中位数最高，数学成绩的中位数最低；
2. 数学成绩的最高分是100分，语文成绩的最高分约为91分。
（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
箱线图的认识；统计信息提取
【点评】
本题考查统计图表的解读能力，要求掌握箱线图各结构对应的统计量含义，能从统计图中提取有效信息，是统计模块的常见基础题型，注重对图表分析能力的考查。
【难度系数】
0.7
