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一、填一填。
1. 在12,0.6,20,6这些数中,(
1. 在12,0.6,20,6这些数中,(
6
)是(12
)的因数,(12
)是(6
)的倍数。答案
1. 6 12 12 6
解析 在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么被除数就是除数和商的倍数，除数和商就是被除数的因数。注意：前提是在“整数除法”中。
解析 在整数除法中，如果商是整数且没有余数，那么被除数就是除数和商的倍数，除数和商就是被除数的因数。注意：前提是在“整数除法”中。
解析
【分析】
首先要明确因数和倍数的定义：因数与倍数是在整数除法的前提下，当商是整数且没有余数时，除数和商是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数。接下来先排除题目中的小数0.6，因为因数和倍数的研究范围是整数（不包括0）。然后在剩下的整数12、20、6中，判断哪两个数满足整数除法且无余数，通过计算12÷6=2，商是整数且没有余数，由此确定它们之间的因数和倍数关系。
【解析】
根据因数和倍数的定义，因数与倍数的研究对象是整数（不包含0），先排除题目中的小数0.6。
对剩余整数12、20、6进行整数除法验证：
12÷6=2，商为整数且没有余数，符合因数和倍数的判定条件。
因此6是12的因数，12是6的倍数。
【答案】
6 12 12 6
【知识点】
因数与倍数的定义
【点评】
本题核心考查因数和倍数的概念，重点提醒学生要注意因数和倍数的研究范围是整数除法场景，需先排除小数这类不符合条件的数，再通过整数除法运算来确定因数与倍数的关系，帮助学生巩固基础概念的应用。
【难度系数】
0.8
首先要明确因数和倍数的定义：因数与倍数是在整数除法的前提下，当商是整数且没有余数时，除数和商是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数。接下来先排除题目中的小数0.6，因为因数和倍数的研究范围是整数（不包括0）。然后在剩下的整数12、20、6中，判断哪两个数满足整数除法且无余数，通过计算12÷6=2，商是整数且没有余数，由此确定它们之间的因数和倍数关系。
【解析】
根据因数和倍数的定义，因数与倍数的研究对象是整数（不包含0），先排除题目中的小数0.6。
对剩余整数12、20、6进行整数除法验证：
12÷6=2，商为整数且没有余数，符合因数和倍数的判定条件。
因此6是12的因数，12是6的倍数。
【答案】
6 12 12 6
【知识点】
因数与倍数的定义
【点评】
本题核心考查因数和倍数的概念，重点提醒学生要注意因数和倍数的研究范围是整数除法场景，需先排除小数这类不符合条件的数，再通过整数除法运算来确定因数与倍数的关系，帮助学生巩固基础概念的应用。
【难度系数】
0.8
2. 既是8的倍数,又是64的因数的数有(
8，16，32，64
)。答案
2. 8，16，32，64
解析 分析过程如下图。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过两步思路来推导：首先明确题目要求的数需要同时满足两个条件——是8的倍数、是64的因数。第一步先找出64的所有因数，第二步从这些因数中筛选出能被8整除的数（即8的倍数）。也可以先列出不超过64的8的倍数，再判断这些数是否为64的因数，两种方法都能得到结果，其中先找64的因数再筛选的方法更直接，因为64的因数数量较少，容易列举。
【解析】
1. 找出64的所有因数：
因为 $64 = 1×64 = 2×32 = 4×16 = 8×8$，所以64的因数有1、2、4、8、16、32、64。
2. 从64的因数中筛选8的倍数：
分别判断这些因数能否被8整除：
$8÷8=1$，$16÷8=2$，$32÷8=4$，$64÷8=8$，均能整除，符合条件的数为8、16、32、64。
【答案】
8，16，32，64
【知识点】
因数与倍数、找一个数的因数、找一个数的倍数
【点评】
本题考查因数与倍数的综合应用，要求学生熟练掌握找一个数的因数和倍数的方法，通过分步筛选的方式得到结果，有助于巩固因数与倍数的基础概念，提升学生对这类数论基础题的解题能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以通过两步思路来推导：首先明确题目要求的数需要同时满足两个条件——是8的倍数、是64的因数。第一步先找出64的所有因数，第二步从这些因数中筛选出能被8整除的数（即8的倍数）。也可以先列出不超过64的8的倍数，再判断这些数是否为64的因数，两种方法都能得到结果，其中先找64的因数再筛选的方法更直接，因为64的因数数量较少，容易列举。
【解析】
1. 找出64的所有因数：
因为 $64 = 1×64 = 2×32 = 4×16 = 8×8$，所以64的因数有1、2、4、8、16、32、64。
2. 从64的因数中筛选8的倍数：
分别判断这些因数能否被8整除：
$8÷8=1$，$16÷8=2$，$32÷8=4$，$64÷8=8$，均能整除，符合条件的数为8、16、32、64。
【答案】
8，16，32，64
【知识点】
因数与倍数、找一个数的因数、找一个数的倍数
【点评】
本题考查因数与倍数的综合应用，要求学生熟练掌握找一个数的因数和倍数的方法，通过分步筛选的方式得到结果，有助于巩固因数与倍数的基础概念，提升学生对这类数论基础题的解题能力。
【难度系数】
0.7
3. 从2,6,14,25,28中找一个与众不同的数,可以是(
2
),理由是(只有2是质数
)。答案
3. 示例：2 只有2是质数
解析 本题是个开放题，有多种答案，例如：
选择2，因为只有2是质数。
选择6，因为只有6是3的倍数。
选择25，因为只有25是奇数(或5的倍数)。
解析 本题是个开放题，有多种答案，例如：
选择2，因为只有2是质数。
选择6，因为只有6是3的倍数。
选择25，因为只有25是奇数(或5的倍数)。
解析
【分析】
首先我们需要观察这五个数2、6、14、25、28的各类特征，比如质数与合数的区别、奇数与偶数的差异、是否为某个数的倍数等。然后逐个分析每个数的独特属性，找到其中只有它具备的特征，就能确定这个与众不同的数。比如从质数角度看，只有2是质数；从奇偶性看，只有25是奇数；从3的倍数角度看，只有6是3的倍数，这些角度都可以作为解题的切入点。
【解析】
这是一道开放题，存在多种合理答案：
1. 选择2：因为在这五个数中，只有2是质数，其余的6、14、25、28均为合数；
2. 选择6：因为只有6是3的倍数，2、14、25、28都不能被3整除；
3. 选择25：因为只有25是奇数（或只有25是5的倍数），其余的2、6、14、28都是偶数，且只有25能被5整除。
【答案】
示例：2，只有2是质数（或6，只有6是3的倍数；或25，只有25是奇数/5的倍数）
【知识点】
质数与合数、奇数与偶数、倍数特征
【点评】
本题为开放性题目，主要考查学生对整数各类特征的理解与辨析，需要学生熟练掌握质数、合数、奇数、偶数以及倍数的相关概念，从不同角度分析数的独特属性，培养学生的发散思维。
【难度系数】
0.8
首先我们需要观察这五个数2、6、14、25、28的各类特征，比如质数与合数的区别、奇数与偶数的差异、是否为某个数的倍数等。然后逐个分析每个数的独特属性，找到其中只有它具备的特征，就能确定这个与众不同的数。比如从质数角度看，只有2是质数；从奇偶性看，只有25是奇数；从3的倍数角度看，只有6是3的倍数，这些角度都可以作为解题的切入点。
【解析】
这是一道开放题，存在多种合理答案：
1. 选择2：因为在这五个数中，只有2是质数，其余的6、14、25、28均为合数；
2. 选择6：因为只有6是3的倍数，2、14、25、28都不能被3整除；
3. 选择25：因为只有25是奇数（或只有25是5的倍数），其余的2、6、14、28都是偶数，且只有25能被5整除。
【答案】
示例：2，只有2是质数（或6，只有6是3的倍数；或25，只有25是奇数/5的倍数）
【知识点】
质数与合数、奇数与偶数、倍数特征
【点评】
本题为开放性题目，主要考查学生对整数各类特征的理解与辨析，需要学生熟练掌握质数、合数、奇数、偶数以及倍数的相关概念，从不同角度分析数的独特属性，培养学生的发散思维。
【难度系数】
0.8
4. “学习强国”是党中央推出的全国学习平台,王华“学习强国”的积分达到了$1□7□$分。
这个四位数既是3的倍数,又是5的倍数,王华的积分最多有(
这个四位数既是3的倍数,又是5的倍数,王华的积分最多有(
1875
)分。答案
4. 1875
解析 第一步 根据5的倍数特征可知，个位上可填0或5。
第二步 根据3的倍数特征，在$1□70$和$1□75$的百位上依次填9，8，7，…，0，找到使各位上的数的和是3的倍数的最大数字，分别为7和8。
第三步 比较可得$1875＞1770$。
解析 第一步 根据5的倍数特征可知，个位上可填0或5。
第二步 根据3的倍数特征，在$1□70$和$1□75$的百位上依次填9，8，7，…，0，找到使各位上的数的和是3的倍数的最大数字，分别为7和8。
第三步 比较可得$1875＞1770$。
解析
【分析】
要找到满足条件的最大四位数，需结合3和5的倍数特征分步思考：
1. 先根据5的倍数特征确定个位的可能取值，因为5的倍数个位只能是0或5，所以这个四位数的个位有两种情况；
2. 再针对每种个位情况，利用3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数），从最大的数字开始尝试填入百位，找到符合条件的最大百位数字；
3. 最后比较两种情况下得到的数，取较大的那个即为答案。
【解析】
第一步：根据5的倍数特征，这个四位数的个位只能填0或5，得到两种形式：$1□70$和$1□75$。
第二步：分析$1□70$：已知数字和为$1+7+0=8$，要使各位数字和是3的倍数，从最大的数字9开始试，$8+9=17$不是3的倍数，$8+8=16$不是3的倍数，$8+7=15$是3的倍数，因此$1□70$中百位最大填7，得到1770。
分析$1□75$：已知数字和为$1+7+5=13$，从最大的数字9开始试，$13+9=22$不是3的倍数，$13+8=21$是3的倍数，因此$1□75$中百位最大填8，得到1875。
第三步：比较1875和1770的大小，$1875＞1770$，确定最大的数为1875。
【答案】
1875
【知识点】
3的倍数特征、5的倍数特征
【点评】
本题综合考查了3和5的倍数特征，需要通过分情况讨论的方式逐步推导，既要求掌握倍数特征的基础知识，又需要具备逻辑分析和比较判断的能力，避免因遗漏情况导致结果错误。
【难度系数】
0.6
要找到满足条件的最大四位数，需结合3和5的倍数特征分步思考：
1. 先根据5的倍数特征确定个位的可能取值，因为5的倍数个位只能是0或5，所以这个四位数的个位有两种情况；
2. 再针对每种个位情况，利用3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数），从最大的数字开始尝试填入百位，找到符合条件的最大百位数字；
3. 最后比较两种情况下得到的数，取较大的那个即为答案。
【解析】
第一步：根据5的倍数特征，这个四位数的个位只能填0或5，得到两种形式：$1□70$和$1□75$。
第二步：分析$1□70$：已知数字和为$1+7+0=8$，要使各位数字和是3的倍数，从最大的数字9开始试，$8+9=17$不是3的倍数，$8+8=16$不是3的倍数，$8+7=15$是3的倍数，因此$1□70$中百位最大填7，得到1770。
分析$1□75$：已知数字和为$1+7+5=13$，从最大的数字9开始试，$13+9=22$不是3的倍数，$13+8=21$是3的倍数，因此$1□75$中百位最大填8，得到1875。
第三步：比较1875和1770的大小，$1875＞1770$，确定最大的数为1875。
【答案】
1875
【知识点】
3的倍数特征、5的倍数特征
【点评】
本题综合考查了3和5的倍数特征，需要通过分情况讨论的方式逐步推导，既要求掌握倍数特征的基础知识，又需要具备逻辑分析和比较判断的能力，避免因遗漏情况导致结果错误。
【难度系数】
0.6
5. 一个运算程序的运算规则如右图所示。如果输入23,那么结果
是(
是(
531
);如果输入一个数,结果是66,那么这个数是(32
)。答案
5. 531 32
解析 23是一个质数，故结果为$23^{2}+2=531$。由于只知道结果是66，所以让$A^{2}+2$和$2A+2$这两个式子分别等于66，再分别推算出A，看A是否符合各自运算的条件即可。
当$A^{2}+2=66$时，$A=8$，不是质数，不符合。
当$2A+2=66$时，$A=32$，是合数，符合。
解析 23是一个质数，故结果为$23^{2}+2=531$。由于只知道结果是66，所以让$A^{2}+2$和$2A+2$这两个式子分别等于66，再分别推算出A，看A是否符合各自运算的条件即可。
当$A^{2}+2=66$时，$A=8$，不是质数，不符合。
当$2A+2=66$时，$A=32$，是合数，符合。
解析
【分析】
首先要明确这个运算程序的规则：输入的数A如果是质数，就用公式$A^2+2$计算结果；如果是合数，就用公式$2A+2$计算结果。
1. 当输入23时，先判断23的性质，23是质数，所以代入质数对应的公式计算结果。
2. 当结果是66时，需要分两种情况讨论：先假设A是质数，代入$A^2+2=66$求解A，再验证A是否为质数；再假设A是合数，代入$2A+2=66$求解A，验证A是否为合数，排除不符合条件的解，得到正确的输入数。
【解析】
1. 计算输入23的结果：
因为23是质数，根据运算规则代入公式$A^2+2$，可得：
$23^2+2=529+2=531$。
2. 求解结果为66时的输入数：
情况一：假设A是质数，令$A^2+2=66$，
移项得$A^2=66-2=64$，解得$A=8$（输入数为正整数，舍去负根），
但8是合数，不符合“A是质数”的前提，该解舍去。
情况二：假设A是合数，令$2A+2=66$，
移项得$2A=66-2=64$，解得$A=32$，
32是合数，符合“A是合数”的前提，该解有效。
【答案】
531；32
【知识点】
质数与合数判断，代数式求值，方程求解
【点评】
本题考查质数与合数的概念及代数式运算，解题的关键是反向求解时要分情况讨论，并且验证所得结果是否符合对应运算的前提条件，避免出现错误解，培养严谨的数学思维。
【难度系数】
0.6
首先要明确这个运算程序的规则：输入的数A如果是质数，就用公式$A^2+2$计算结果；如果是合数，就用公式$2A+2$计算结果。
1. 当输入23时，先判断23的性质，23是质数，所以代入质数对应的公式计算结果。
2. 当结果是66时，需要分两种情况讨论：先假设A是质数，代入$A^2+2=66$求解A，再验证A是否为质数；再假设A是合数，代入$2A+2=66$求解A，验证A是否为合数，排除不符合条件的解，得到正确的输入数。
【解析】
1. 计算输入23的结果：
因为23是质数，根据运算规则代入公式$A^2+2$，可得：
$23^2+2=529+2=531$。
2. 求解结果为66时的输入数：
情况一：假设A是质数，令$A^2+2=66$，
移项得$A^2=66-2=64$，解得$A=8$（输入数为正整数，舍去负根），
但8是合数，不符合“A是质数”的前提，该解舍去。
情况二：假设A是合数，令$2A+2=66$，
移项得$2A=66-2=64$，解得$A=32$，
32是合数，符合“A是合数”的前提，该解有效。
【答案】
531；32
【知识点】
质数与合数判断，代数式求值，方程求解
【点评】
本题考查质数与合数的概念及代数式运算，解题的关键是反向求解时要分情况讨论，并且验证所得结果是否符合对应运算的前提条件，避免出现错误解，培养严谨的数学思维。
【难度系数】
0.6
6. 花园小学举办体育节活动,每个班级都要进行长方形队列表演,要求队形更多变。你建议五(1)班在36人和40人中选择
(
(
36
)人参演,原因是36的因数比40的因数多，能变换更多队形(表述合理即可)
。答案
6. 36 36的因数比40的因数多，能变换更多队形(表述合理即可)
解析 注意：题干中要求队形更多变。
$36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6$，能变换5种队形。
$40=1×40=2×20=4×10=5×8$，只能变换4种队形。
解析 注意：题干中要求队形更多变。
$36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6$，能变换5种队形。
$40=1×40=2×20=4×10=5×8$，只能变换4种队形。
解析
【分析】
要解决这个问题，关键是理解长方形队列的队形变化与总人数的因数密切相关。长方形队列的长和宽的乘积等于总人数，所以总人数的因数对越多，能变换的队形就越多。因此我们需要分别找出36和40的所有因数对，对比它们的数量，选择因数对更多的那个数参演。
【解析】
1. 找出36的因数对：
$36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6$，能组成5种不同的长方形队形。
2. 找出40的因数对：
$40=1×40=2×20=4×10=5×8$，能组成4种不同的长方形队形。
对比可知，36的因数对数量更多，能变换的队形更多，所以选择36人参演。
【答案】
36；36的因数比40的因数多，能变换更多队形
【知识点】
因数的实际应用、找一个数的因数
【点评】
本题考查因数在实际生活中的应用，需要将长方形队列的排列问题转化为找因数的数学问题，通过对比因数对的数量解决实际需求，有助于提升学生运用数学知识解决生活问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，关键是理解长方形队列的队形变化与总人数的因数密切相关。长方形队列的长和宽的乘积等于总人数，所以总人数的因数对越多，能变换的队形就越多。因此我们需要分别找出36和40的所有因数对，对比它们的数量，选择因数对更多的那个数参演。
【解析】
1. 找出36的因数对：
$36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6$，能组成5种不同的长方形队形。
2. 找出40的因数对：
$40=1×40=2×20=4×10=5×8$，能组成4种不同的长方形队形。
对比可知，36的因数对数量更多，能变换的队形更多，所以选择36人参演。
【答案】
36；36的因数比40的因数多，能变换更多队形
【知识点】
因数的实际应用、找一个数的因数
【点评】
本题考查因数在实际生活中的应用，需要将长方形队列的排列问题转化为找因数的数学问题，通过对比因数对的数量解决实际需求，有助于提升学生运用数学知识解决生活问题的能力。
【难度系数】
0.7
二、选一选。
1. 若甲$=a×b×c$,则下面说法错误的是(
A.a、b、c都是甲的因数
B.$a×b$是甲的因数
C.甲一定是合数
D.甲一定是偶数
1. 若甲$=a×b×c$,则下面说法错误的是(
D
)。(a、b、c均是大于1的自然数)A.a、b、c都是甲的因数
B.$a×b$是甲的因数
C.甲一定是合数
D.甲一定是偶数
答案
1. D
解析 A、B、C选项都是正确的，分析过程如下。
D选项错误，当a、b、c都是奇数时，奇数×奇数×奇数=奇数。
解析 A、B、C选项都是正确的，分析过程如下。
D选项错误，当a、b、c都是奇数时，奇数×奇数×奇数=奇数。
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要结合因数、合数、偶数的定义，逐个分析每个选项：
1. 根据因数的定义，判断甲与a、b、c以及a×b的整除关系，进而确定A、B选项的正误；
2. 依据合数的定义，看甲是否存在除1和自身外的其他因数，判断C选项；
3. 根据偶数的定义，考虑a、b、c均为奇数的特殊情况，判断D选项是否成立。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：因为甲=a×b×c，所以甲能被a、b、c分别整除，根据因数的定义，a、b、c都是甲的因数，该说法正确；
选项B：甲÷(a×b)=c，c是自然数，说明甲能被a×b整除，所以a×b是甲的因数，该说法正确；
选项C：甲除了1和它本身外，还有a、b、c这些大于1的因数，符合合数的定义，所以甲一定是合数，该说法正确；
选项D：当a、b、c都是奇数时（如3、5、7），甲=3×5×7=105，105是奇数不是偶数，说明甲不一定是偶数，该说法错误。
【答案】
D
【知识点】
因数的定义、合数的定义、偶数的判断
【点评】
本题考查对因数、合数、偶数核心概念的理解，解题时需注意特殊情况，避免因忽略奇数相乘的情况而误判。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要结合因数、合数、偶数的定义，逐个分析每个选项：
1. 根据因数的定义，判断甲与a、b、c以及a×b的整除关系，进而确定A、B选项的正误；
2. 依据合数的定义，看甲是否存在除1和自身外的其他因数，判断C选项；
3. 根据偶数的定义，考虑a、b、c均为奇数的特殊情况，判断D选项是否成立。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：因为甲=a×b×c，所以甲能被a、b、c分别整除，根据因数的定义，a、b、c都是甲的因数，该说法正确；
选项B：甲÷(a×b)=c，c是自然数，说明甲能被a×b整除，所以a×b是甲的因数，该说法正确；
选项C：甲除了1和它本身外，还有a、b、c这些大于1的因数，符合合数的定义，所以甲一定是合数，该说法正确；
选项D：当a、b、c都是奇数时（如3、5、7），甲=3×5×7=105，105是奇数不是偶数，说明甲不一定是偶数，该说法错误。
【答案】
D
【知识点】
因数的定义、合数的定义、偶数的判断
【点评】
本题考查对因数、合数、偶数核心概念的理解，解题时需注意特殊情况，避免因忽略奇数相乘的情况而误判。
【难度系数】
0.7
2. 下面说法正确的有(
①一个自然数,不是奇数就是偶数。
②9的倍数一定是3的倍数。
③一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。
④两个质数的和一定是偶数。
A.1
B.2
C.3
D.4
C
)个。①一个自然数,不是奇数就是偶数。
②9的倍数一定是3的倍数。
③一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。
④两个质数的和一定是偶数。
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2. C
解析 ①正确，根据能不能被2整除，可将自然数分为奇数和偶数。
②正确，9的因数中有3，所以9的倍数一定是3的倍数。
③正确，当一个数除以1时，得到的商就是它的最大因数，即它本身；当一个数乘1时，得到的积就是它的最小倍数，即它本身。
④错误，除2外，所有质数都是奇数，当2与其他任何一个质数相加时，结果都是奇数。
解析 ①正确，根据能不能被2整除，可将自然数分为奇数和偶数。
②正确，9的因数中有3，所以9的倍数一定是3的倍数。
③正确，当一个数除以1时，得到的商就是它的最大因数，即它本身；当一个数乘1时，得到的积就是它的最小倍数，即它本身。
④错误，除2外，所有质数都是奇数，当2与其他任何一个质数相加时，结果都是奇数。
解析
【分析】
要判断正确说法的个数，需逐个分析每个表述，结合相关数学概念进行验证：
1. 对于①，回忆自然数按能否被2整除的分类规则，可直接判断其正误；
2. 对于②，根据倍数的传递性，若a是b的倍数，那么a的倍数一定是b的倍数，据此判断；
3. 对于③，依据一个数的最大因数和最小倍数的定义，明确其取值均为自身；
4. 对于④，需注意质数中存在唯一的偶数2，通过举反例可验证该表述错误。最后统计正确表述的数量，对应选项即可。
【解析】
①正确，根据能否被2整除，自然数可分为奇数和偶数两类，因此一个自然数不是奇数就是偶数；
②正确，因为9是3的倍数（$9=3×3$），所以9的倍数都可以表示为$9×k=3×(3k)$（$k$为整数），一定能被3整除，即9的倍数一定是3的倍数；
③正确，一个数的最大因数是能整除它的最大数，即为它本身；一个数的最小倍数是它的1倍，结果也为它本身，所以一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；
④错误，质数中2是唯一的偶数，当2与其他奇质数相加时（如$2+3=5$），结果为奇数，并非所有两个质数的和都是偶数。
综上，正确的说法有3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
奇数偶数的定义、倍数与因数的关系、质数的性质
【点评】
本题考查数论中的基础概念，涵盖自然数分类、倍数因数特性及质数性质，重点考查学生对基础知识的理解与运用，需注意质数中2这一特殊偶数，避免因概念疏漏导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要判断正确说法的个数，需逐个分析每个表述，结合相关数学概念进行验证：
1. 对于①，回忆自然数按能否被2整除的分类规则，可直接判断其正误；
2. 对于②，根据倍数的传递性，若a是b的倍数，那么a的倍数一定是b的倍数，据此判断；
3. 对于③，依据一个数的最大因数和最小倍数的定义，明确其取值均为自身；
4. 对于④，需注意质数中存在唯一的偶数2，通过举反例可验证该表述错误。最后统计正确表述的数量，对应选项即可。
【解析】
①正确，根据能否被2整除，自然数可分为奇数和偶数两类，因此一个自然数不是奇数就是偶数；
②正确，因为9是3的倍数（$9=3×3$），所以9的倍数都可以表示为$9×k=3×(3k)$（$k$为整数），一定能被3整除，即9的倍数一定是3的倍数；
③正确，一个数的最大因数是能整除它的最大数，即为它本身；一个数的最小倍数是它的1倍，结果也为它本身，所以一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；
④错误，质数中2是唯一的偶数，当2与其他奇质数相加时（如$2+3=5$），结果为奇数，并非所有两个质数的和都是偶数。
综上，正确的说法有3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
奇数偶数的定义、倍数与因数的关系、质数的性质
【点评】
本题考查数论中的基础概念，涵盖自然数分类、倍数因数特性及质数性质，重点考查学生对基础知识的理解与运用，需注意质数中2这一特殊偶数，避免因概念疏漏导致判断错误。
【难度系数】
0.7
3. 下面a、b、c、d四个数中,(
A.$a=3×100+4×10+1$
B.$b=2×1000+2×100+3×10+6$
C.$c=5×99+6×9+(5+6)$
D.$d=2×999+4×99+8×9+(2+4+8+7)$
D
)是3的倍数。A.$a=3×100+4×10+1$
B.$b=2×1000+2×100+3×10+6$
C.$c=5×99+6×9+(5+6)$
D.$d=2×999+4×99+8×9+(2+4+8+7)$
答案
3. D
解析 本题考查3的倍数特征。
根据数的组成，a、b分别为341和2236。$3 + 4 + 1 = 8$，$2 + 2 + 3 + 6 = 13$，8和13都不是3的倍数，所以a，b都不是3的倍数。
如图，c不是3的倍数，d是3的倍数。
解析
【分析】
要判断一个数是否是3的倍数，核心依据是3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。针对不同形式的数，我们可以采用不同的判断方法：
1. 对于直接用数位组成表示的数（如A、B选项），先转化为具体数字，再计算各位数字之和进行判断；
2. 对于包含9、99、999这类数的组成（如C、D选项），由于9、99、999本身是3的倍数，它们的倍数也必然是3的倍数，只需判断剩余部分的数字之和是否为3的倍数即可。接下来依次分析每个选项。
【解析】
1. 分析选项A：
$a=3×100+4×10+1=341$，各位数字之和为$3+4+1=8$，8不是3的倍数，因此a不是3的倍数。
2. 分析选项B：
$b=2×1000+2×100+3×10+6=2236$，各位数字之和为$2+2+3+6=13$，13不是3的倍数，因此b不是3的倍数。
3. 分析选项C：
因为99、9都是3的倍数，所以$5×99$、$6×9$都是3的倍数，只需看剩余部分$5+6=11$，11不是3的倍数，因此c不是3的倍数。
4. 分析选项D：
因为999、99、9都是3的倍数，所以$2×999$、$4×99$、$8×9$都是3的倍数，剩余部分$2+4+8+7=21$，21是3的倍数，因此d是3的倍数。
【答案】
D
【知识点】
3的倍数特征
【点评】
本题考查3的倍数特征的灵活运用，既可以通过计算具体数的各位数字之和判断，也能利用9、99、999等数的特性简化计算，帮助快速得出结论，提升解题效率。
【难度系数】
0.6
要判断一个数是否是3的倍数，核心依据是3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。针对不同形式的数，我们可以采用不同的判断方法：
1. 对于直接用数位组成表示的数（如A、B选项），先转化为具体数字，再计算各位数字之和进行判断；
2. 对于包含9、99、999这类数的组成（如C、D选项），由于9、99、999本身是3的倍数，它们的倍数也必然是3的倍数，只需判断剩余部分的数字之和是否为3的倍数即可。接下来依次分析每个选项。
【解析】
1. 分析选项A：
$a=3×100+4×10+1=341$，各位数字之和为$3+4+1=8$，8不是3的倍数，因此a不是3的倍数。
2. 分析选项B：
$b=2×1000+2×100+3×10+6=2236$，各位数字之和为$2+2+3+6=13$，13不是3的倍数，因此b不是3的倍数。
3. 分析选项C：
因为99、9都是3的倍数，所以$5×99$、$6×9$都是3的倍数，只需看剩余部分$5+6=11$，11不是3的倍数，因此c不是3的倍数。
4. 分析选项D：
因为999、99、9都是3的倍数，所以$2×999$、$4×99$、$8×9$都是3的倍数，剩余部分$2+4+8+7=21$，21是3的倍数，因此d是3的倍数。
【答案】
D
【知识点】
3的倍数特征
【点评】
本题考查3的倍数特征的灵活运用，既可以通过计算具体数的各位数字之和判断，也能利用9、99、999等数的特性简化计算，帮助快速得出结论，提升解题效率。
【难度系数】
0.6
4. 运动会上每个班的学生都要参加入场式和团体操表演。五(1)班入场队列如右图,表演团体操时出现了下面几个队列,(
A.
B.
C.
D.
D
)可能是五(1)班的。A.
B.
C.
D.
答案
4. D
解析 题图中，有1名学生单独站一列，其余学生2人站一列，说明五(1)班的总人数是奇数。选项中的学生人数分别为30，36，30，23，其中只有D选项的23是奇数。
解析 题图中，有1名学生单独站一列，其余学生2人站一列，说明五(1)班的总人数是奇数。选项中的学生人数分别为30，36，30，23，其中只有D选项的23是奇数。
解析
【分析】
首先观察五(1)班入场队列的特征：1名学生单独成列，其余学生每2人一列。由于每2人一列的总人数是2的倍数，属于偶数，偶数加1（单独的1人）结果为奇数，因此可判断五(1)班总人数是奇数。接下来只需判断各选项队列人数是否为奇数，找到符合条件的选项即可。
【解析】
从入场队列可知，五(1)班总人数为奇数（2人一列的人数是偶数，偶数加单独的1人，根据“偶数+奇数=奇数”，总人数为奇数）。选项中的队列人数分别为30、36、30、23，其中只有23是奇数，所以D选项的队列可能是五(1)班的。
【答案】
D
【知识点】
1. 奇偶性判断
2. 奇偶性应用
【点评】
本题结合实际队列场景考查数的奇偶性知识，需要先从入场队列特征推导总人数的奇偶属性，再结合选项筛选答案，侧重对知识实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
首先观察五(1)班入场队列的特征：1名学生单独成列，其余学生每2人一列。由于每2人一列的总人数是2的倍数，属于偶数，偶数加1（单独的1人）结果为奇数，因此可判断五(1)班总人数是奇数。接下来只需判断各选项队列人数是否为奇数，找到符合条件的选项即可。
【解析】
从入场队列可知，五(1)班总人数为奇数（2人一列的人数是偶数，偶数加单独的1人，根据“偶数+奇数=奇数”，总人数为奇数）。选项中的队列人数分别为30、36、30、23，其中只有23是奇数，所以D选项的队列可能是五(1)班的。
【答案】
D
【知识点】
1. 奇偶性判断
2. 奇偶性应用
【点评】
本题结合实际队列场景考查数的奇偶性知识，需要先从入场队列特征推导总人数的奇偶属性，再结合选项筛选答案，侧重对知识实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
三、按要求完成练习。
1. 把下列各数填入相应的框里。
01 0.913 26
33 51 52 71 91
1. 把下列各数填入相应的框里。
01 0.913 26
33 51 52 71 91
答案
1. 奇数：1，13，33，51，71，91；偶数：0，26，52；质数：13，71；合数：26，33，51，52，91
解析 本题需要注意的是，奇数、偶数、质数、合数研究的都是自然数，不包括小数。
解析
【分析】
首先要明确奇数、偶数、质数、合数的定义，且这些概念仅针对自然数，所以先排除小数0.9。接下来逐个分析每个自然数：
1. 奇数是不能被2整除的自然数，偶数是能被2整除的自然数，据此判断每个数是否为2的倍数来分类奇数和偶数；
2. 质数是只有1和它本身两个因数的自然数，1既不是质数也不是合数，合数是除了1和它本身还有其他因数的自然数，0既不是质数也不是合数，据此分析每个数的因数个数来分类质数和合数。
【解析】
1. 先筛选出自然数：0、1、13、26、33、51、52、71、91，排除0.9，因为小数不属于自然数，不在研究范围内；
2. 奇数：不能被2整除的数，即1，13，33，51，71，91；
3. 偶数：能被2整除的数，即0，26，52；
4. 质数：只有1和自身两个因数的数，13的因数是1、13，71的因数是1、71，所以质数为13，71；
5. 合数：除了1和自身还有其他因数的数，26的因数有1、2、13、26，33的因数有1、3、11、33，51的因数有1、3、17、51，52的因数有1、2、4、13、26、52，91的因数有1、7、13、91，所以合数为26，33，51，52，91；
注意：1既不是质数也不是合数，0既不是质数也不是合数。
【答案】
奇数：1，13，33，51，71，91；偶数：0，26，52；质数：13，71；合数：26，33，51，52，91
【知识点】
奇数与偶数判定、质数与合数判定、自然数概念
【点评】
本题重点考查对奇数、偶数、质数、合数核心概念的理解，需注意这类概念的研究对象是自然数，要排除非自然数，如小数，同时牢记1和0既不是质数也不是合数，避免因概念混淆导致分类错误。
【难度系数】
0.6
首先要明确奇数、偶数、质数、合数的定义，且这些概念仅针对自然数，所以先排除小数0.9。接下来逐个分析每个自然数：
1. 奇数是不能被2整除的自然数，偶数是能被2整除的自然数，据此判断每个数是否为2的倍数来分类奇数和偶数；
2. 质数是只有1和它本身两个因数的自然数，1既不是质数也不是合数，合数是除了1和它本身还有其他因数的自然数，0既不是质数也不是合数，据此分析每个数的因数个数来分类质数和合数。
【解析】
1. 先筛选出自然数：0、1、13、26、33、51、52、71、91，排除0.9，因为小数不属于自然数，不在研究范围内；
2. 奇数：不能被2整除的数，即1，13，33，51，71，91；
3. 偶数：能被2整除的数，即0，26，52；
4. 质数：只有1和自身两个因数的数，13的因数是1、13，71的因数是1、71，所以质数为13，71；
5. 合数：除了1和自身还有其他因数的数，26的因数有1、2、13、26，33的因数有1、3、11、33，51的因数有1、3、17、51，52的因数有1、2、4、13、26、52，91的因数有1、7、13、91，所以合数为26，33，51，52，91；
注意：1既不是质数也不是合数，0既不是质数也不是合数。
【答案】
奇数：1，13，33，51，71，91；偶数：0，26，52；质数：13，71；合数：26，33，51，52，91
【知识点】
奇数与偶数判定、质数与合数判定、自然数概念
【点评】
本题重点考查对奇数、偶数、质数、合数核心概念的理解，需注意这类概念的研究对象是自然数，要排除非自然数，如小数，同时牢记1和0既不是质数也不是合数，避免因概念混淆导致分类错误。
【难度系数】
0.6
2. 五(1)班学习小组开展沉浸版“因数和倍数”探案游戏。
(1)在案发现场,“警察”发现以下两件物品,成功破译出密码(
(2)问讯“嫌疑人”时,小锦、小明两个“嫌疑人”为了证明自己没有作案的时间,都告知“警察”自己当时正在靶场打靶。小锦说:“我当时打中4枪,得了27分。”小明说:“我当时打中3枪,刚好是连续的3个区域,得了21分。”“警察”一听,立马逮捕了小锦。你知道为什么吗?你知道小明打中的是哪三个区域吗?
数字表示打中该区域所得的分数。
(1)在案发现场,“警察”发现以下两件物品,成功破译出密码(
2951
),找到线索。(2)问讯“嫌疑人”时,小锦、小明两个“嫌疑人”为了证明自己没有作案的时间,都告知“警察”自己当时正在靶场打靶。小锦说:“我当时打中4枪,得了27分。”小明说:“我当时打中3枪,刚好是连续的3个区域,得了21分。”“警察”一听,立马逮捕了小锦。你知道为什么吗?你知道小明打中的是哪三个区域吗?
数字表示打中该区域所得的分数。
答案
2. (1)2951
解析 本题考查学生对特殊数的了解。
既是偶数又是质数的数是2。
既是奇数又是合数的一位数是9。
最小的合数是4，比最小的合数大1的数是5。
既不是质数也不是合数的非零自然数是1。
(2)答：因为小锦打中4枪，4个奇数的和是偶数，而27是奇数，所以能确认小锦在撒谎。小明打中的是5分、7分和9分所在的区域。
解析 从题图可知，靶上的分数都是奇数。
小锦打中4枪，4个奇数的和是偶数，所以不可能得27分。
3个连续奇数的和是中间数的3倍，$21÷3 = 7$(分)，所以小明打中的是5分、7分和9分所在的区域。
解析 本题考查学生对特殊数的了解。
既是偶数又是质数的数是2。
既是奇数又是合数的一位数是9。
最小的合数是4，比最小的合数大1的数是5。
既不是质数也不是合数的非零自然数是1。
(2)答：因为小锦打中4枪，4个奇数的和是偶数，而27是奇数，所以能确认小锦在撒谎。小明打中的是5分、7分和9分所在的区域。
解析 从题图可知，靶上的分数都是奇数。
小锦打中4枪，4个奇数的和是偶数，所以不可能得27分。
3个连续奇数的和是中间数的3倍，$21÷3 = 7$(分)，所以小明打中的是5分、7分和9分所在的区域。
解析
【分析】
第(1)问：要破译密码，需根据各类特殊数的定义逐一确定每个数位上的数字。先回忆既是偶数又是质数的数、既是奇数又是合数的一位数、比最小合数大1的数、既不是质数也不是合数的非零自然数的特征，依次得出密码的每一位数字。
第(2)问：判断小锦是否撒谎，需利用奇数的运算性质：偶数个奇数相加的和是偶数，小锦打中4枪（偶数次），靶上分数都是奇数，4个奇数的和必为偶数，而27是奇数，所以小锦撒谎；对于小明的情况，三个连续奇数的和是中间数的3倍，用总分除以3可得到中间的奇数，进而确定另外两个连续奇数。
【解析】
(1) 根据特殊数的定义：
既是偶数又是质数的数是2；
既是奇数又是合数的一位数是9；
最小的合数是4，比最小的合数大1的数是$4+1=5$；
既不是质数也不是合数的非零自然数是1；
因此密码是2951。
(2) 从靶场分数可知，所有区域的分数都是奇数：
小锦打中4枪，4个奇数相加的和是偶数，而27是奇数，说明小锦的说法矛盾，他在撒谎；
小明打中3个连续的奇数区域，3个连续奇数的和是中间数的3倍，计算中间数：$21÷3=7$（分），所以另外两个连续奇数是$7-2=5$（分）和$7+2=9$（分），即小明打中的是5分、7分和9分所在的区域。
【答案】
(1) 2951
(2) 因为小锦打中4枪，4个奇数的和是偶数，而27是奇数，所以能确认小锦在撒谎。小明打中的是5分、7分和9分所在的区域。
【知识点】
质数与合数的认识、奇数与偶数的运算性质、连续奇数的特征
【点评】
本题将因数和倍数相关概念融入探案游戏场景，既考查了学生对质数、合数、奇数、偶数等基础概念的掌握，又要求学生能灵活运用奇数的运算性质解决实际问题，提升了知识的应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问：要破译密码，需根据各类特殊数的定义逐一确定每个数位上的数字。先回忆既是偶数又是质数的数、既是奇数又是合数的一位数、比最小合数大1的数、既不是质数也不是合数的非零自然数的特征，依次得出密码的每一位数字。
第(2)问：判断小锦是否撒谎，需利用奇数的运算性质：偶数个奇数相加的和是偶数，小锦打中4枪（偶数次），靶上分数都是奇数，4个奇数的和必为偶数，而27是奇数，所以小锦撒谎；对于小明的情况，三个连续奇数的和是中间数的3倍，用总分除以3可得到中间的奇数，进而确定另外两个连续奇数。
【解析】
(1) 根据特殊数的定义：
既是偶数又是质数的数是2；
既是奇数又是合数的一位数是9；
最小的合数是4，比最小的合数大1的数是$4+1=5$；
既不是质数也不是合数的非零自然数是1；
因此密码是2951。
(2) 从靶场分数可知，所有区域的分数都是奇数：
小锦打中4枪，4个奇数相加的和是偶数，而27是奇数，说明小锦的说法矛盾，他在撒谎；
小明打中3个连续的奇数区域，3个连续奇数的和是中间数的3倍，计算中间数：$21÷3=7$（分），所以另外两个连续奇数是$7-2=5$（分）和$7+2=9$（分），即小明打中的是5分、7分和9分所在的区域。
【答案】
(1) 2951
(2) 因为小锦打中4枪，4个奇数的和是偶数，而27是奇数，所以能确认小锦在撒谎。小明打中的是5分、7分和9分所在的区域。
【知识点】
质数与合数的认识、奇数与偶数的运算性质、连续奇数的特征
【点评】
本题将因数和倍数相关概念融入探案游戏场景，既考查了学生对质数、合数、奇数、偶数等基础概念的掌握，又要求学生能灵活运用奇数的运算性质解决实际问题，提升了知识的应用能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
