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11. 如图，现有正方形卡片$A$类，$B$类和长方形卡片$C$类各若干张，如果要拼一个长为$(3a + 2b)$、宽为$(a + 3b)$的大长方形，那么需要$C$类卡片的张数是
11
。答案
11. 11
解析
$(3a + 2b)(a + 3b) = 3a^2 + 9ab + 2ab + 6b^2 = 3a^2 + 11ab + 6b^2$，C类卡片面积为$ab$，故需要11张。
12. 为了提升居民的幸福指数，某居民小组规划将一个长为$(3a + b)\ \mathrm{m}$、宽为$(3a - b)\ \mathrm{m}$的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为$b\ \mathrm{m}$、宽为$(a - b)\ \mathrm{m}$的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材。
(1) 求安装健身器材的区域面积；
(2) 若$a = 15$，$b = 10$，求安装健身器材的区域面积。
(1) 求安装健身器材的区域面积；
(2) 若$a = 15$，$b = 10$，求安装健身器材的区域面积。
答案
12. 解：（1）$ (3a + b)(3a - b) - b(a - b) $
$ = 9a^{2} - b^{2} - ab + b^{2} $
$ = 9a^{2} - ab $。
所以，安装健身器材的区域面积为 $ (9a^{2} - ab) \mathrm{m}^{2} $。
（2）因为 $ a = 15 $，$ b = 10 $，
所以 $ 9a^{2} - ab = 9 × 15^{2} - 15 × 10 = 1875(\mathrm{m}^{2}) $。
所以，安装健身器材的区域面积为 $ 1875 \mathrm{m}^{2} $。
$ = 9a^{2} - b^{2} - ab + b^{2} $
$ = 9a^{2} - ab $。
所以，安装健身器材的区域面积为 $ (9a^{2} - ab) \mathrm{m}^{2} $。
（2）因为 $ a = 15 $，$ b = 10 $，
所以 $ 9a^{2} - ab = 9 × 15^{2} - 15 × 10 = 1875(\mathrm{m}^{2}) $。
所以，安装健身器材的区域面积为 $ 1875 \mathrm{m}^{2} $。
解析
【分析】
这道题是求剩余区域的面积，我们可以用「整体面积减去局部面积」的思路来解题：首先先算出整个大长方形健身场地的总面积，再减去用来建篮球场的小长方形的面积，剩下的就是安装健身器材的区域面积。第一步计算大长方形面积时，长是(3a+b)、宽是(3a-b)，刚好符合平方差公式的形式，可以直接用公式简化展开，不用硬乘；第二步减去小长方形面积的时候，注意去括号的符号变化，合并同类项后就能得到第一问的代数式结果。第二问只需要把给定的a、b的数值代入第一问得到的代数式，按照有理数运算规则计算就能得到最终的数值结果，这个思路比直接分割剩余区域计算要简便很多，也不容易出错。
【解析】
(1) 安装健身器材的区域面积 = 大长方形场地总面积 - 篮球场小长方形面积
代入长方形面积公式长×宽：
$\begin{aligned}S&=(3a + b)(3a - b) - b(a - b)\\&=9a^2 - b^2 - ab + b^2\\&=9a^2 - ab\end{aligned}$
因此安装健身器材的区域面积为$(9a^2 - ab)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 将$a=15$，$b=10$代入代数式$9a^2 - ab$：
$\begin{aligned}9a^2 - ab&=9×15^2 - 15×10\\&=9×225 - 150\\&=2025 - 150\\&=1875\end{aligned}$
因此代入数值后得到安装健身器材的区域面积为$1875\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 安装健身器材的区域面积为$(9a^{2} - ab) \mathrm{m}^{2}$；(2) 安装健身器材的区域面积为$1875 \mathrm{m}^{2}$。
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，代数式求值
【点评】
本题属于整式乘法的实际应用型基础题，核心是利用「整体减部分」的面积计算思路简化运算，平方差公式的使用大幅降低了大长方形面积的计算量，合并同类项时$b^2$项直接抵消，进一步减少了后续代入求值的计算步骤，只要注意去括号时的符号变化，就可以顺利得到正确结果，是巩固整式运算的典型习题。
【难度系数】
0.8
这道题是求剩余区域的面积，我们可以用「整体面积减去局部面积」的思路来解题：首先先算出整个大长方形健身场地的总面积，再减去用来建篮球场的小长方形的面积，剩下的就是安装健身器材的区域面积。第一步计算大长方形面积时，长是(3a+b)、宽是(3a-b)，刚好符合平方差公式的形式，可以直接用公式简化展开，不用硬乘；第二步减去小长方形面积的时候，注意去括号的符号变化，合并同类项后就能得到第一问的代数式结果。第二问只需要把给定的a、b的数值代入第一问得到的代数式，按照有理数运算规则计算就能得到最终的数值结果，这个思路比直接分割剩余区域计算要简便很多，也不容易出错。
【解析】
(1) 安装健身器材的区域面积 = 大长方形场地总面积 - 篮球场小长方形面积
代入长方形面积公式长×宽：
$\begin{aligned}S&=(3a + b)(3a - b) - b(a - b)\\&=9a^2 - b^2 - ab + b^2\\&=9a^2 - ab\end{aligned}$
因此安装健身器材的区域面积为$(9a^2 - ab)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 将$a=15$，$b=10$代入代数式$9a^2 - ab$：
$\begin{aligned}9a^2 - ab&=9×15^2 - 15×10\\&=9×225 - 150\\&=2025 - 150\\&=1875\end{aligned}$
因此代入数值后得到安装健身器材的区域面积为$1875\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 安装健身器材的区域面积为$(9a^{2} - ab) \mathrm{m}^{2}$；(2) 安装健身器材的区域面积为$1875 \mathrm{m}^{2}$。
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，代数式求值
【点评】
本题属于整式乘法的实际应用型基础题，核心是利用「整体减部分」的面积计算思路简化运算，平方差公式的使用大幅降低了大长方形面积的计算量，合并同类项时$b^2$项直接抵消，进一步减少了后续代入求值的计算步骤，只要注意去括号时的符号变化，就可以顺利得到正确结果，是巩固整式运算的典型习题。
【难度系数】
0.8
13. 在计算$(ax + 1)(3x + b)$时，小泉同学看错了$b$的值，计算结果为$3x^{2} + 6x + 4$；小张同学看错了$a$的值，计算结果为$4x^{2} + 12x + 6$。
(1) 求$a$，$b$的值；
(2) 计算$(ax + 1)(3x + b)$的正确结果。
(1) 求$a$，$b$的值；
(2) 计算$(ax + 1)(3x + b)$的正确结果。
答案
13. 解：（1）因为 $ (ax + 1)(3x + b) = 3ax^{2} + abx + 3x + b $，
所以 $ 3a = 3 $，$ b = 6 $，
解得 $ a = 1 $，$ b = 6 $。
（2）因为 $ a = 1 $，$ b = 6 $，
所以 $ (ax + 1)(3x + b) = (x + 1)(3x + 6) $
$ = 3x^{2} + 6x + 3x + 6 $
$ = 3x^{2} + 9x + 6 $。
所以 $ 3a = 3 $，$ b = 6 $，
解得 $ a = 1 $，$ b = 6 $。
（2）因为 $ a = 1 $，$ b = 6 $，
所以 $ (ax + 1)(3x + b) = (x + 1)(3x + 6) $
$ = 3x^{2} + 6x + 3x + 6 $
$ = 3x^{2} + 9x + 6 $。
解析
【分析】
我们先回忆多项式乘多项式的展开规则，先把原式$(ax+1)(3x+b)$展开，明确每一项的系数和参数a、b的关联。接下来分析两个同学看错参数的特点：小泉只看错了b，说明他计算时用的a是完全正确的，而展开式的二次项系数只和a有关，不受b取值的影响，所以小泉得到的结果里的二次项系数就是正确的二次项系数，据此就能直接求出a的值。同理，小张只看错了a，说明他计算时用的b是完全正确的，展开式的常数项是1乘b，不受a取值的影响，所以小张得到的结果里的常数项就是正确的常数项，据此就能直接求出b的值。得到a和b之后，代入原式重新展开计算就能得到正确结果。
【解析】
(1) 先将原式按多项式乘法法则展开：
$(ax+1)(3x+b) = 3ax^2 + abx + 3x + b$
小泉看错b，但a取值正确，展开式的二次项系数$3a$与b无关，小泉的计算结果$3x^2+6x+4$的二次项系数为3，因此可得：
$3a = 3$
解得 $a=1$。
小张看错a，但b取值正确，展开式的常数项为$b$，与a无关，小张的计算结果$4x^2+12x+6$的常数项为6，因此可得：
$b=6$
综上，$a=1$，$b=6$。
(2) 将$a=1$，$b=6$代入原式计算正确结果：
$\begin{aligned}(ax+1)(3x+b)&=(x+1)(3x+6)\\&=3x^2 +6x +3x +6\\&=3x^2 +9x +6\end{aligned}$
【答案】
(1) $a=1$，$b=6$；(2) 正确结果为$3x^2+9x+6$
【知识点】
多项式乘多项式，整式运算
【点评】
本题的核心是抓住“看错单个参数时，不受该参数影响的项的系数仍然正确”这一特点，不需要列复杂方程就能快速求出未知参数，重点考察对多项式展开后各项系数构成的理解，避开了常规硬算的误区，能有效锻炼学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
我们先回忆多项式乘多项式的展开规则，先把原式$(ax+1)(3x+b)$展开，明确每一项的系数和参数a、b的关联。接下来分析两个同学看错参数的特点：小泉只看错了b，说明他计算时用的a是完全正确的，而展开式的二次项系数只和a有关，不受b取值的影响，所以小泉得到的结果里的二次项系数就是正确的二次项系数，据此就能直接求出a的值。同理，小张只看错了a，说明他计算时用的b是完全正确的，展开式的常数项是1乘b，不受a取值的影响，所以小张得到的结果里的常数项就是正确的常数项，据此就能直接求出b的值。得到a和b之后，代入原式重新展开计算就能得到正确结果。
【解析】
(1) 先将原式按多项式乘法法则展开：
$(ax+1)(3x+b) = 3ax^2 + abx + 3x + b$
小泉看错b，但a取值正确，展开式的二次项系数$3a$与b无关，小泉的计算结果$3x^2+6x+4$的二次项系数为3，因此可得：
$3a = 3$
解得 $a=1$。
小张看错a，但b取值正确，展开式的常数项为$b$，与a无关，小张的计算结果$4x^2+12x+6$的常数项为6，因此可得：
$b=6$
综上，$a=1$，$b=6$。
(2) 将$a=1$，$b=6$代入原式计算正确结果：
$\begin{aligned}(ax+1)(3x+b)&=(x+1)(3x+6)\\&=3x^2 +6x +3x +6\\&=3x^2 +9x +6\end{aligned}$
【答案】
(1) $a=1$，$b=6$；(2) 正确结果为$3x^2+9x+6$
【知识点】
多项式乘多项式，整式运算
【点评】
本题的核心是抓住“看错单个参数时，不受该参数影响的项的系数仍然正确”这一特点，不需要列复杂方程就能快速求出未知参数，重点考察对多项式展开后各项系数构成的理解，避开了常规硬算的误区，能有效锻炼学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
