1. 下列计算正确的是()。

A.$(2ab^{3})· (-4ab) = 2a^{2}b^{4}$
B.$(m + 2)(m - 3) = m^{2} - 5m - 6$
C.$(y + 4)(y - 5) = y^{2} + 9y - 20$
D.$(x + 1)(x + 4) = x^{2} + 5x + 4$

1. D

【分析】
这是一道整式运算的正误判断题，解题思路是逐个选项对照对应的运算法则展开计算，将计算结果和选项给出的结果比对，排除错误选项，得到正确答案。首先回忆两个核心运算法则：单项式乘单项式时，系数相乘作为新系数，同底数幂分别相乘；多项式乘多项式时，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项即可验证每个选项的对错。
【解析】
我们逐个对选项进行验证：
选项A：根据单项式乘单项式法则，$(2ab^{3})· (-4ab) = 2×(-4)·a·a·b^{3}·b = -8a^2b^4$，和选项给出的$2a^{2}b^{4}$不一致，A错误。
选项B：根据多项式乘多项式展开，$(m + 2)(m - 3) = m·m -3m +2m +2×(-3) = m^2 -m -6$，和选项给出的$m^{2} - 5m - 6$不一致，B错误。
选项C：展开计算得$(y + 4)(y - 5) = y·y -5y +4y +4×(-5) = y^2 -y -20$，和选项给出的$y^{2} + 9y - 20$不一致，C错误。
选项D：展开计算得$(x + 1)(x + 4) = x·x +4x +1x +1×4 = x^2 +5x +4$，和选项结果完全一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘单项式，多项式乘多项式
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，重点考察学生对整式乘法基础运算法则的掌握程度，易错点是运算过程中符号出错、合并同类项时一次项系数计算错误，解题时逐项仔细展开验证即可避免失误。
【难度系数】
0.8

2. 若$(x + 3)(x - 5) = x^{2} + mx - 15$，则$m$的值为()。

A.2
B.$-2$
C.5
D.$-5$

2. B

$(x + 3)(x - 5) = x^{2} - 5x + 3x - 15 = x^{2} - 2x - 15$，对比$x^{2} + mx - 15$，可得$m = -2$。
B

3. 下列各式中，计算结果错误的是()。

A.$(x + 2)(x - 3) = x^{2} - x - 6$
B.$(x - 4)(x + 4) = x^{2} - 16$
C.$(2x + 3)(2x - 6) = 2x^{2} - 3x - 18$
D.$(2x - 1)(2x + 2) = 4x^{2} + 2x - 2$

3. C

【分析】
这道题要求选出计算结果错误的选项，我们的解题思路是逐一验证每个选项的整式乘法运算是否正确：符合平方差公式特征的选项可以直接套用公式计算，其余选项按照多项式乘多项式的展开法则，用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再合并同类项，将展开得到的结果和等式右侧的式子对比，不一致的就是错误选项。
【解析】
我们逐个对选项展开验证：
1. 验证A选项：
$(x+2)(x-3)=x· x + x·(-3) + 2· x + 2·(-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$，和等式右侧结果一致，A计算正确。
2. 验证B选项：
该式符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，代入$a=x,b=4$可得：$(x-4)(x+4)=x^2-4^2=x^2-16$，和等式右侧结果一致，B计算正确。
3. 验证C选项：
$(2x+3)(2x-6)=2x·2x + 2x·(-6) + 3·2x + 3·(-6)=4x^2-12x+6x-18=4x^2-6x-18$，和等式右侧的$2x^2-3x-18$不相等，C计算错误。
4. 验证D选项：
$(2x-1)(2x+2)=2x·2x + 2x·2 + (-1)·2x + (-1)·2=4x^2+4x-2x-2=4x^2+2x-2$，和等式右侧结果一致，D计算正确。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘法，平方差公式
【点评】
本题属于整式乘法的基础考察题型，整体难度偏低，易错点是展开带系数的一次二项式时，误将一次项系数做错误运算，比如选项C中两个含系数2的一次项相乘，很容易粗心把首项算成$2x^2$，做完题可以通过核验首项、常数项快速排查错误，提升做题准确率。
【难度系数】
0.8

4. 已知$a + b = 2$，$ab = -1$，则$(a - 2)(b - 2)$果是()。

A.1
B.3
C.$-1$
D.$-5$

4. C

$(a - 2)(b - 2)$
$=ab - 2a - 2b + 4$
$=ab - 2(a + b) + 4$
因为$a + b = 2$，$ab = -1$，
所以原式$=-1 - 2×2 + 4$
$=-1 - 4 + 4$
$=-1$
C

5. 若$P = (x - 2)(x - 3)$，$Q = (x - 1)(x - 4)$，则$P$与$Q$的大小关系是()。

A.$P ＞ Q$
B.$P ＜ Q$
C.$P = Q$
D.由$x$的取值而定

5. A

$P=(x-2)(x-3)=x^{2}-5x+6$，$Q=(x-1)(x-4)=x^{2}-5x+4$，$P-Q=(x^{2}-5x+6)-(x^{2}-5x+4)=2＞0$，故$P＞Q$。A

6. 化简：$(x + 4)(x - 2) - x(x + 1) =$。

6. $ x - 8 $

$(x + 4)(x - 2) - x(x + 1)$
$=x^2 - 2x + 4x - 8 - x^2 - x$
$=(x^2 - x^2) + (-2x + 4x - x) - 8$
$=x - 8$

7. 长方形的一边长为$2a + b$，另一边比它小$a - b$，则长方形的面积为。

7. $ 2a^{2} + 5ab + 2b^{2} $

另一边的长为：$(2a + b) - (a - b) = 2a + b - a + b = a + 2b$
长方形的面积为：$(2a + b)(a + 2b) = 2a · a + 2a · 2b + b · a + b · 2b = 2a^{2} + 4ab + ab + 2b^{2} = 2a^{2} + 5ab + 2b^{2}$
$2a^{2} + 5ab + 2b^{2}$

8. 计算：
(1) $(x + 2)(x + 6)$；
(2) $(x + a)(x + b)$；
(3) $(x - 3y)(x - 7y)$；
(4) $(-4a - 1)(4a - 1)$。

8. 解：（1）原式 $ = x^{2} + 8x + 12 $。
（2）原式 $ = x^{2} + bx + ax + ab $。
（3）原式 $ = x^{2} - 10xy + 21y^{2} $。
（4）原式 $ = - 16a^{2} + 1 $。

【分析】
这是一组整式乘法的基础计算题，我们可以依托多项式乘多项式的核心运算法则求解：用其中一个多项式的每一项，分别去乘另一个多项式的每一项，再把所有得到的乘积相加，最后合并同类项化简。解题时可以先观察式子结构特征：第(1)(2)(3)题都符合(x+p)(x+q)的特殊二项式相乘结构，展开后二次项为x²，一次项是两个常数项分别和x相乘后的和，常数项是两个常数的乘积；第(4)题可以调整括号内项的顺序，凑出平方差公式的结构，不用逐项硬乘就能快速计算，还能降低符号出错的概率。
【解析】
我们逐个小题按规则运算：
(1) 展开$(x + 2)(x + 6)$：
用x分别乘x、6得到$x^2$、$6x$，用2分别乘x、6得到$2x$、12，合并同类项：
原式$=x· x + x·6 + 2· x + 2×6 = x^2 + 6x + 2x + 12 = x^2 + 8x + 12$
(2) 展开$(x + a)(x + b)$：
用x分别乘x、b得到$x^2$、$bx$，用a分别乘x、b得到$ax$、$ab$，合并同类项：
原式$=x· x + x· b + a· x + a· b = x^2 + bx + ax + ab$
(3) 展开$(x - 3y)(x - 7y)$：
用x分别乘x、$-7y$得到$x^2$、$-7xy$，用$-3y$分别乘x、$-7y$得到$-3xy$、$21y^2$，合并同类项：
原式$=x· x + x·(-7y) + (-3y)· x + (-3y)·(-7y) = x^2 -7xy -3xy +21y^2 = x^2 -10xy + 21y^2$
(4) 计算$(-4a - 1)(4a - 1)$：
先调整括号内项的顺序，变形为$(-1 -4a)(-1 +4a)$，符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的形式，其中$m=-1$，$n=4a$：
原式$=(-1)^2 - (4a)^2 = 1 -16a^2 = -16a^2 +1$
【答案】
(1) $x^{2} + 8x + 12$；(2) $x^{2} + ax + bx + ab$；(3) $x^{2} - 10xy + 21y^{2}$；(4) $- 16a^{2} + 1$
【知识点】
多项式乘多项式，平方差公式，整式化简
【点评】
本题是整式乘法的入门基础练习题，覆盖了普通二项式相乘、含参数二项式相乘、带字母系数二项式相乘、可套用平方差公式的特殊二项式相乘四类典型题型，核心考察学生对多项式乘法法则的掌握，提醒学生运算时要重点留意符号问题，符合公式特征的式子优先用乘法公式简化运算，能有效提升运算准确率和速度。
【难度系数】
0.8

9. 若$(x - 2)(x^{2} + ax + b)$的积中不含$x$的二次项和一次项，则$a^{b}$的值为。

9. 16

$(x - 2)(x^{2} + ax + b)$
$=x^{3}+ax^{2}+bx-2x^{2}-2ax-2b$
$=x^{3}+(a - 2)x^{2}+(b - 2a)x - 2b$
因为积中不含$x$的二次项和一次项，所以二次项系数和一次项系数都为$0$，即：
$\begin{cases}a - 2 = 0 \\ b - 2a = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 2 \\ b = 4\end{cases}$
所以$a^{b}=2^{4}=16$
16

10. 如图是宋朝时期著名的“杨辉三角”，利用它可以将$(a + b)^{n}$展开，如：

$(a + b)^{0} = 1$，
$(a + b)^{1} = a + b$，
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$，
$(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$，
……
照此规律，$(a + b)^{8}$的展开式中从左往右第三项的系数是。

10. 28

$(a + b)^n$展开式中从左往右第$k$项的系数对应杨辉三角第$n + 1$行第$k$个数。
$(a + b)^8$中，$n = 8$，从左往右第三项，即$k = 3$。
杨辉三角第$8 + 1 = 9$行第$3$个数。
杨辉三角前几行数字为：
第1行：1
第2行：1 1
第3行：1 2 1
第4行：1 3 3 1
第5行：1 4 6 4 1
第6行：1 5 10 10 5 1
第7行：1 6 15 20 15 6 1
第8行：1 7 21 35 35 21 7 1
第9行：1 8 28 56 70 56 28 8 1
第9行第3个数是28。
28