8. 如图10，在三角形ABC中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，$P$为直线$AB$上一动点，连接$PC$，则线段$PC$的最小值是（）.

A.3
B.2.5
C.2.4
D.2

8.C

【分析】
要找到线段PC的最小值，首先根据点到直线的线段中垂线段最短的性质，可知当PC垂直于AB时，PC的长度最小。接下来需要计算这个垂线段的长度，可利用直角三角形面积的两种计算方法建立等式求解：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上的高的一半计算，联立即可求出PC的最小值。
【解析】
根据垂线段最短的性质，当$PC ⊥ AB$时，线段$PC$的长度最小。
已知在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，
先计算$△ ABC$的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BC=\frac{1}{2} × 3 × 4=6$
同时$△ ABC$的面积也可以表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × PC$
将面积和AB的长度代入等式可得：
$\frac{1}{2} × 5 × PC=6$
解得$PC=\frac{12}{5}=2.4$，即PC的最小值为2.4。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短；三角形面积计算；等面积法求线段长
【点评】
本题是几何求最短距离的典型基础题，解题的核心是先确定最短距离对应的线段位置，再通过等面积法快速计算出线段长度，掌握该类题型的解题思路能大幅提高同类题的解题效率。
【难度系数】
0.75

9. 如图11，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC.
【基础尝试】（1）如图11，若∠AOC=40°，求∠DOE的度数.
【画图探究】（2）作射线OF⊥OC，请你利用图12画出图形.设∠AOC=x°，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，并用含x的代数式表示∠EOF.
【拓展运用】（3）在第（2）题中，∠EOF和∠DOE可能互补吗？请你作出判断并说明理由.

9. (1) 110°
(2) $∠ EOF = \frac{1}{2}∠ AOC$ 或$∠ EOF = 180°-\frac{1}{2}∠ AOC$. 当OF在$∠ BOC$内部时，如答图1. $\because ∠ AOC+∠ BOC=180°$, $∠ AOC=x°$, $\therefore ∠ BOC=(180-x)°$. $\because OE$平分$∠ BOC$, $\therefore ∠ COE=\frac{1}{2}∠ BOC=(90-\frac{1}{2}x)°$. $\because OF⊥ OC$, $\therefore ∠ COF=90°$, $\therefore ∠ EOF=90°-∠ COE=90°-(90-\frac{1}{2}x)°=\frac{1}{2}x°$. 当OF在$∠ AOD$内部时，如答图2. $∠ EOF=90°+∠ COE=90°+(90-\frac{1}{2}x)°=(180-\frac{1}{2}x)°$
(3) $∠ EOF$和$∠ DOE$可能互补，如答图3. 当$AB⊥ CD$，且OF与OB重合时，$∠ BOC=∠ BOD=90°$. $\because OE$平分$∠ BOC$，$\therefore ∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOC=45°$，即$∠ EOF=45°$, $\therefore ∠ DOE=∠ BOD+∠ BOE=135°$, $\therefore ∠ EOF+∠ DOE=180°$, 即$∠ EOF$和$∠ DOE$互补

【分析】
（1）先利用邻补角的性质求出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义算出∠COE的度数，最后结合平角的性质即可求出∠DOE的度数。
（2）作OF⊥OC时有两种位置情况：①OF在∠BOC内部；②OF在∠AOD内部。分别结合垂直的性质、角平分线的定义，先表示出∠COE，再结合∠COF=90°推导∠EOF和∠AOC的关系即可。
（3）要判断∠EOF和∠DOE是否互补，只需判断是否存在角度使得两个角的和为180°，可结合特殊情况或者前两问的角度表达式推导验证即可。
【解析】
（1）
∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC=40°
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-40°=140°，∠BOD=∠AOC=40°
∵OE平分∠BOC
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×140°=70°
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=40°+70°=110°
（2）分两种情况讨论：
①当OF在∠BOC内部时，如答图1：
∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=x°
∴∠BOC=(180-x)°
∵OE平分∠BOC
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC=$(90-\frac{1}{2}x)°$
∵OF⊥OC
∴∠COF=90°
∴∠EOF=∠COF-∠COE=$90°-(90-\frac{1}{2}x)°=\frac{1}{2}x°$，即$∠ EOF = \frac{1}{2}∠ AOC$
②当OF在∠AOD内部时，如答图2：
同理可得∠COE=$(90-\frac{1}{2}x)°$，∠COF=90°
∴∠EOF=∠COF+∠COE=$90°+(90-\frac{1}{2}x)°=(180-\frac{1}{2}x)°$，即$∠ EOF = 180°-\frac{1}{2}∠ AOC$
（3）∠EOF和∠DOE可能互补，理由如下：
如答图3，当AB⊥CD，且OF与OB重合时：
∠BOC=∠BOD=90°
∵OE平分∠BOC
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°，即∠EOF=45°
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=90°+45°=135°
∴∠EOF+∠DOE=45°+135°=180°，即∠EOF和∠DOE互补。
【答案】
(1) $110°$
(2) $∠ EOF = \frac{1}{2}∠ AOC$ 或$∠ EOF = 180°-\frac{1}{2}∠ AOC$


(3) $∠ EOF$和$∠ DOE$可能互补，理由见解析
【知识点】
邻补角的性质，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题围绕相交线的角度计算展开，重点考查分类讨论思想，解题时需注意射线OF的位置存在两种情况，避免漏解，整体对角度关系的转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.7