登录
4. 王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录. 将一把王麻子剪刀抽象成如图6所示，如果$∠1+∠2=60°$，那么$∠3$的度数是（
A.$60°$
B.$120°$
C.$150°$
D.$30°$
C
）.A.$60°$
B.$120°$
C.$150°$
D.$30°$
答案
4.C
解析
【分析】
观察图形可知直线a、b相交，形成了对顶角和邻补角。解题时首先利用对顶角相等的性质，结合已知∠1+∠2=60°求出∠1的度数；再根据邻补角之和为180°，代入∠1的度数即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵直线a与b相交，∠1和∠2是对顶角
∴∠1=∠2（对顶角相等）
又
∵∠1+∠2=60°
∴2∠1=60°，解得∠1=30°
∵∠1和∠3是邻补角
∴∠1+∠3=180°（邻补角的定义）
∴∠3=180°-30°=150°
【答案】
C
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的定义；角度计算
【点评】
本题是相交线相关的基础题型，核心考查对顶角和邻补角性质的应用，解题时结合图形找到角的数量关系即可快速求解，注重基础概念的落实。
【难度系数】
0.8
观察图形可知直线a、b相交，形成了对顶角和邻补角。解题时首先利用对顶角相等的性质，结合已知∠1+∠2=60°求出∠1的度数；再根据邻补角之和为180°，代入∠1的度数即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵直线a与b相交，∠1和∠2是对顶角
∴∠1=∠2（对顶角相等）
又
∵∠1+∠2=60°
∴2∠1=60°，解得∠1=30°
∵∠1和∠3是邻补角
∴∠1+∠3=180°（邻补角的定义）
∴∠3=180°-30°=150°
【答案】
C
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的定义；角度计算
【点评】
本题是相交线相关的基础题型，核心考查对顶角和邻补角性质的应用，解题时结合图形找到角的数量关系即可快速求解，注重基础概念的落实。
【难度系数】
0.8
5. 如图7，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分.
（1）图中∠AOC的对顶角为
（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数.
（1）图中∠AOC的对顶角为
∠BOD
.（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数.
答案
5. (1) ∠BOD (2) 152°
解析
【分析】
（1）根据对顶角的定义：两条直线相交后有公共顶点、两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，观察直线AB和CD相交形成的角，即可确定∠AOC的对顶角。
（2）解题分三步思考：首先利用对顶角相等的性质，由已知的∠AOC的度数求出∠BOD的度数；其次根据∠BOE和∠EOD的比例关系，计算出∠BOE的度数；最后利用邻补角和为180°的性质，用180°减去∠BOE的度数，就能得到∠AOE的度数。
【解析】
（1）直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠BOD有公共顶点O，且两边互为反向延长线，因此∠AOC的对顶角为∠BOD。
（2）解：
∵ 直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角
∴ ∠BOD=∠AOC=70°
∵ ∠BOE:∠EOD=2:3，设∠BOE=2x，∠EOD=3x
∴ 2x+3x=70°，解得x=14°
∴ ∠BOE=2×14°=28°
又
∵ ∠AOE与∠BOE是邻补角，和为180°
∴ ∠AOE=180°-28°=152°
【答案】
（1）∠BOD；（2）152°
【知识点】
对顶角相等；邻补角互补；角的比例计算
【点评】
本题属于相交线的基础题，主要考查对顶角、邻补角性质的应用，结合比例关系计算角度，熟练掌握相交线相关角的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
（1）根据对顶角的定义：两条直线相交后有公共顶点、两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，观察直线AB和CD相交形成的角，即可确定∠AOC的对顶角。
（2）解题分三步思考：首先利用对顶角相等的性质，由已知的∠AOC的度数求出∠BOD的度数；其次根据∠BOE和∠EOD的比例关系，计算出∠BOE的度数；最后利用邻补角和为180°的性质，用180°减去∠BOE的度数，就能得到∠AOE的度数。
【解析】
（1）直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠BOD有公共顶点O，且两边互为反向延长线，因此∠AOC的对顶角为∠BOD。
（2）解：
∵ 直线AB、CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角
∴ ∠BOD=∠AOC=70°
∵ ∠BOE:∠EOD=2:3，设∠BOE=2x，∠EOD=3x
∴ 2x+3x=70°，解得x=14°
∴ ∠BOE=2×14°=28°
又
∵ ∠AOE与∠BOE是邻补角，和为180°
∴ ∠AOE=180°-28°=152°
【答案】
（1）∠BOD；（2）152°
【知识点】
对顶角相等；邻补角互补；角的比例计算
【点评】
本题属于相交线的基础题，主要考查对顶角、邻补角性质的应用，结合比例关系计算角度，熟练掌握相交线相关角的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
6. 如图8，取两根木条$a$，$b$，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，固定木条$a$，转动木条$b$，当$∠ 1$减小$5°$时，下列说法正确的是（
A.$∠ 2$增大$5°$
B.$∠ 3$增大$5°$
C.$∠ 4$减小$5°$
D.$∠ 2$与$∠ 4$的和增大$5°$
A
）。A.$∠ 2$增大$5°$
B.$∠ 3$增大$5°$
C.$∠ 4$减小$5°$
D.$∠ 2$与$∠ 4$的和增大$5°$
答案
6.A
解析
【分析】首先明确相交线形成的角的基本性质：对顶角相等，邻补角之和为180°。先理清图中各角与∠1的对应关系：∠1与∠3是对顶角，大小相等；∠1分别和∠2、∠4互为邻补角，二者和均为180°。再结合∠1减小5°的条件，逐一推导各角的变化情况，判断选项对错即可。
【解析】两根木条相交，根据相交线的性质可得：
1. 对顶角相等：$∠ 1=∠ 3$，$∠ 2=∠ 4$；
2. 邻补角和为$180°$：$∠ 1+∠ 2=180°$，$∠ 1+∠ 4=180°$。
当$∠ 1$减小$5°$时：
对选项A：由$∠ 2=180°-∠ 1$，当$∠ 1$减小$5°$，新的$∠ 2=180°-(∠ 1-5°)=(180°-∠ 1)+5°$，即$∠ 2$增大$5°$，A正确；
对选项B：由$∠ 3=∠ 1$，$∠ 1$减小$5°$时，$∠ 3$也减小$5°$，B错误；
对选项C：由$∠ 4=180°-∠ 1$，当$∠ 1$减小$5°$，新的$∠ 4=180°-(∠ 1-5°)=(180°-∠ 1)+5°$，即$∠ 4$增大$5°$，C错误；
对选项D：$∠ 2+∠ 4=2×(180°-∠ 1)$，当$∠ 1$减小$5°$，新的和为$2×(180°-(∠ 1-5°))=2×(180°-∠ 1)+10°$，即和增大$10°$，D错误。
【答案】A
【知识点】对顶角的性质；邻补角的性质
【点评】本题考查相交线中角的数量关系，解题核心是准确识别对顶角和邻补角，结合二者的性质推导角的变化，是相交线的基础应用题型。
【难度系数】0.8
【解析】两根木条相交，根据相交线的性质可得：
1. 对顶角相等：$∠ 1=∠ 3$，$∠ 2=∠ 4$；
2. 邻补角和为$180°$：$∠ 1+∠ 2=180°$，$∠ 1+∠ 4=180°$。
当$∠ 1$减小$5°$时：
对选项A：由$∠ 2=180°-∠ 1$，当$∠ 1$减小$5°$，新的$∠ 2=180°-(∠ 1-5°)=(180°-∠ 1)+5°$，即$∠ 2$增大$5°$，A正确；
对选项B：由$∠ 3=∠ 1$，$∠ 1$减小$5°$时，$∠ 3$也减小$5°$，B错误；
对选项C：由$∠ 4=180°-∠ 1$，当$∠ 1$减小$5°$，新的$∠ 4=180°-(∠ 1-5°)=(180°-∠ 1)+5°$，即$∠ 4$增大$5°$，C错误；
对选项D：$∠ 2+∠ 4=2×(180°-∠ 1)$，当$∠ 1$减小$5°$，新的和为$2×(180°-(∠ 1-5°))=2×(180°-∠ 1)+10°$，即和增大$10°$，D错误。
【答案】A
【知识点】对顶角的性质；邻补角的性质
【点评】本题考查相交线中角的数量关系，解题核心是准确识别对顶角和邻补角，结合二者的性质推导角的变化，是相交线的基础应用题型。
【难度系数】0.8
7. 如图9，河道$l$的一侧有$A$，$B$两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向$A$，$B$两村，下列四种方案中最节省材料的是（
A
B
C
D
B
）。A
B
C
D
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先要将“最节省材料”的实际需求转化为数学问题：即铺设的引水管道总长度最短。回忆已学的两类最短路径相关结论：①两点之间，线段最短；②直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短。接下来用这两个结论逐一比对四个选项的管道总长度，即可选出最优方案。
【解析】
要使管道最节省材料，核心是让管道总长度最短：
1. 先看连接A、B两村的管道部分：根据“两点之间，线段最短”，A、B之间用线段连接时长度最短，可排除A、B之间不是线段的方案；
2. 再看从河道l引水的管道部分：根据“垂线段最短”，从l引出的管道为垂线段时长度最短。
结合两点判断，选项B的方案同时满足上述两个最短要求，总长度最小，最节省材料。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；垂线段最短
【点评】
本题结合生活实际场景考查最短路径相关结论的应用，解题关键是将实际需求转化为数学中的最短路径问题，再结合所学公理判断即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先要将“最节省材料”的实际需求转化为数学问题：即铺设的引水管道总长度最短。回忆已学的两类最短路径相关结论：①两点之间，线段最短；②直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短。接下来用这两个结论逐一比对四个选项的管道总长度，即可选出最优方案。
【解析】
要使管道最节省材料，核心是让管道总长度最短：
1. 先看连接A、B两村的管道部分：根据“两点之间，线段最短”，A、B之间用线段连接时长度最短，可排除A、B之间不是线段的方案；
2. 再看从河道l引水的管道部分：根据“垂线段最短”，从l引出的管道为垂线段时长度最短。
结合两点判断，选项B的方案同时满足上述两个最短要求，总长度最小，最节省材料。
【答案】
B
【知识点】
两点之间线段最短；垂线段最短
【点评】
本题结合生活实际场景考查最短路径相关结论的应用，解题关键是将实际需求转化为数学中的最短路径问题，再结合所学公理判断即可。
【难度系数】
0.8
