疑难点拨

如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB、IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的
度数为.
点拨 要分清圆的内心和外心,不能混淆,同时要明确各自的特征是解题的关键.

$20°$

【分析】
要解决本题，需先明确三角形内心和外心的性质：内心是角平分线的交点，可利用其求∠BAC；外心是外接圆圆心，结合圆周角定理得圆心角∠BOC，再利用等腰三角形内角和计算∠OBC。步骤如下：1. 由内心性质得∠BAC的度数；2. 由外心性质和圆周角定理得圆心角∠BOC；3. 在等腰△OBC中计算∠OBC。
【解析】
∵点I是△ABC的内心，
∴IA平分∠BAC，即∠BAI=∠CAI=35°，
∴∠BAC=∠BAI+∠CAI=35°+35°=70°。
∵点O是△ABC的外心，
∴同弧BC所对的圆心角∠BOC=2∠BAC=2×70°=140°，且OB=OC，即△OBC为等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB。
根据三角形内角和定理：
∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-140°)÷2=20°。
【答案】
20°
【知识点】
三角形内心性质、三角形外心性质、圆周角定理
【点评】
本题考查三角形内心与外心的性质，结合圆周角定理和等腰三角形内角和求解，核心是区分内心（角平分线交点）和外心（外接圆圆心）的不同特征，理清角度间的关系即可解题。
【难度系数】
0.5

1. 若点I是△ABC的内心,则点I是△ABC的 ()

A.三条中垂线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点

1. B

【分析】要解决本题，需明确三角形中几个特殊点的定义：三角形的内心是三条角平分线的交点，外心是三条中垂线的交点，重心是三条中线的交点，垂心是三条高的交点。逐一对应选项即可得出正确答案。
【解析】逐一分析各选项：
选项A：三角形三条中垂线的交点是外心，并非内心，错误；
选项B：三角形三条角平分线的交点叫做内心，符合题意，正确；
选项C：三角形三条中线的交点是重心，错误；
选项D：三角形三条高的交点是垂心，错误。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】三角形内心的定义
【点评】本题是基础概念识记题，考查三角形特殊点的基本性质，属于初中几何的核心基础知识点，难度较低，只要牢记各特殊点对应的交点性质即可轻松解答。
【难度系数】0.8

2. 如图,△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F.若∠DEF=53°,则∠A的度
数是 ()

A.36°
B.53°
C.74°
D.128°

2. C

【分析】要解决该问题，需结合内切圆的切线性质、圆周角定理及四边形内角和的知识。首先连接圆心与切点得到垂直于切线的线段，再通过圆周角定理由已知圆周角求出对应圆心角，最后利用四边形内角和计算∠A的度数。
【解析】连接OD、OF，
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，与AB、AC分别相切于D、F，
∴ OD⊥AB，OF⊥AC，即∠ODA=∠OFA=90°。
∵ ∠DEF是⊙O的圆周角，所对弧为弧DF，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴ ∠DOF=2∠DEF=2×53°=106°。
在四边形ODAF中，内角和为360°，
∴ ∠A=360° - ∠ODA - ∠OFA - ∠DOF = 360° - 90° -90° -106°=74°。
【答案】C
【知识点】圆周角定理，切线的性质，四边形内角和
【点评】本题综合考查圆的性质与三角形内切圆的应用，核心是利用圆周角与圆心角的关系，结合切线垂直性质和四边形内角和求解，属于中等难度的几何题，需掌握圆的基本性质和多边形内角和知识点。
【难度系数】0.6

3. 用无刻度的直尺和圆规确定△ABC的内心,则下列作法正确的是 ()

3. C

【分析】要确定△ABC的内心，需明确内心的定义：三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，因此需作出两个内角的角平分线，它们的交点即为内心。接下来逐一分析各选项的作图：选项A、D的作图是边的垂直平分线，得到的是三角形的外心；选项B的作图并非角平分线；选项C是分别作∠B和∠C的角平分线，交点I就是内心。
【解析】三角形内心是三个内角角平分线的交点，需作两个内角的角平分线，其交点为内心。
选项A：作边的垂直平分线，交点是外心，不符合要求；
选项B：作图不是角平分线，无法得到内心，不符合要求；
选项C：作出∠B和∠C的角平分线，交点I为内心，符合要求；
选项D：作边的垂直平分线，交点不是内心，不符合要求。
【答案】C
【知识点】三角形内心、角平分线作图
【点评】本题考查三角形内心的作图，核心是掌握内心是角平分线交点的定义，需区分角平分线与垂直平分线的作图差异，属于基础作图题。
【难度系数】0.5

4. 如图,⊙I是△ABC的内切圆,点I是内心.若∠A=28°,则∠BIC=.

4. $104°$

【分析】首先明确三角形内心是三条角平分线的交点，因此BI、CI分别平分∠ABC和∠ACB。解题思路：先利用△ABC的内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再根据角平分线性质得到∠IBC与∠ICB的和，最后在△BIC中利用内角和定理计算∠BIC。
【解析】
∵I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，即∠IBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
在△ABC中，∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，已知∠A=28°，
∴∠ABC + ∠ACB = 180° - 28° = 152°。
∴∠IBC + ∠ICB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = $\frac{1}{2}$×152° = 76°。
在△BIC中，∠BIC + ∠IBC + ∠ICB = 180°，
∴∠BIC = 180° - 76° = 104°。
【答案】104°
【知识点】三角形内心性质、三角形内角和定理
【点评】本题考查三角形内心性质与内角和定理的结合应用，核心是利用内心为角平分线交点的性质，将所求角转化为已知角的关系，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.3

5. 如图,△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D、E、F,连接EF、DE、DF,作∠ABC的平分
线BP.有下列说法:① 射线BP一定过点O;② O是△DEF三条中线的交点;③ 若△ABC是
等边三角形,则$DE=\frac{1}{2}BC$;④ O不是△DEF三条边的垂直平分线的交点.其中,正确的是
(填序号).

5. ①③

【分析】
要判断各说法的正确性，需结合三角形内心、外心的性质，以及三角形中位线定理逐一分析：
1. 三角形内心是内切圆圆心，为三条角平分线的交点，据此判断射线BP是否过O；
2. △DEF是△ABC的切点三角形，O是内切圆圆心，OD=OE=OF，故O是△DEF的外心，外心与重心（三条中线交点）概念不同；
3. 当△ABC为等边三角形时，切点为各边中点，DE是△ABC的中位线，结合中位线定理判断；
4. 由OD=OE=OF可知O到△DEF三顶点距离相等，故O是△DEF的外心，即三边垂直平分线的交点。
【解析】
逐一分析各说法：
① 三角形内切圆的圆心是内心，内心是三条角平分线的交点，因此∠ABC的平分线BP必过内心O，故①正确；
② △DEF是△ABC的切点三角形，O是内切圆圆心，故OD=OE=OF，O是△DEF的外心；三角形三条中线的交点是重心，因此O不是△DEF三条中线的交点，故②错误；
③ 若△ABC是等边三角形，则AD=AE=BD=BF=CE=CF，DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，DE=1/2 BC，故③正确；
④ 由OD=OE=OF可知，O到△DEF三个顶点距离相等，因此O是△DEF的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，故④错误。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
三角形内心与内切圆、三角形外心、三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查三角形内心、外心的性质及中位线定理，需明确切点三角形的外心是原三角形的内心，区分重心、外心的概念是解题关键，难度适中。
【难度系数】
0.6